2025届山东省青岛市城阳区高二上数学期末检测试题含解析

2025届山东省青岛市城阳区高二上数学期末检测试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．为推动党史学习教育各项工作扎实开展，营造“学党史、悟思想、办实事、开新局”的浓厚氛围，某校党委计划将中心组学习、专题报告会、党员活动日、主题班会、主题团日这五种活动分5个阶段安排，以推动党史学习教育工作的进行，若主题班会、主题团日这两个阶段相邻，且中心组学习必须安排在前两阶段并与党员活动日不相邻，则不同的安排方案共有（）A.10种 B.12种C.16种 D.24种2．在中，已知点在线段上，点是的中点，，，，则的最小值为（）A. B.4C. D.3．已知是双曲线的左焦点，，是双曲线右支上的动点，则的最小值为（）A.9 B.8C.7 D.64．直线经过两个定点，，则直线倾斜角大小是（）A. B.C. D.5．在的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则（）A.5 B.6C.7 D.86．设点是点，，关于平面的对称点，则（）A.10 B.C. D.387．已知双曲线的左焦点为F，O为坐标原点，M，N两点分别在C的左、右两支上，若四边形OFMN为菱形，则C的离心率为（）A. B.C. D.8．双曲线x21的渐近线方程是（）A.y=±x B.y=±xC.y=± D.y=±2x9．若数列满足，，则该数列的前2021项的乘积是（）A. B.C.2 D.110．在下列函数中，求导错误的是（）A.， B.，C.， D.，11．过点作圆的切线，则切线的方程为（）A. B.C.或 D.或12．现有60瓶饮料，编号从1到60，若用系统抽样的方法从中抽取6瓶进行检验，则所抽取的编号可能为（）A.3，13，23，33，43，53 B.2，14，26，38，40，52C.5，8，31，36，48，54 D.5，10，15，20，25，30二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是________；14．已知正数、满足，则的最大值为__________15．某人实施一项投资计划，从2021年起，每年1月1日，把上一年工资的10%投资某个项目.已知2020年他的工资是10万元，预计未来十年每年工资都会逐年增加1万元；若投资年收益是10%，一年结算一次，当年的投资收益自动转入下一年的投资本金，若2031年1月1日结束投资计划，则他可以一次性取出的所有投资以及收益应有__________万元.（参考数据：，，）16．已知数列满足，定义使（）为整数的k叫做“幸福数”，则区间内所有“幸福数”的和为_____三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）等差数列的前项和记为，已知.（1）求的通项公式：（2）求，并求为何值时的值最大.18．（12分）在数列中，，点在直线上.（1）求的通项公式；（2）记的前项和为，且，求数列的前项和.19．（12分）已知抛物线C的方程为：，点（1）若直线与抛物线C相交于A、B两点，且P为线段AB的中点，求直线的方程.（2）若直线过交抛物线C于M，N两点，F为抛物线C的焦点，求的最小值20．（12分）已知点，圆（1）若过点的直线与圆相切，求直线的方程；（2）若直线与圆相交于A，两点，弦的长为，求的值21．（12分）已知椭圆：过点，其左、右顶点分别为，，上顶点为，直线与直线的斜率之积为.（1）求椭圆的方程；（2）如图，直线：分别与线段（不含端点）和线段的延长线交于，两点，直线与椭圆的另一交点为，求证：，，三点共线.22．（10分）已知：在四棱锥中，底面为正方形，侧棱平面，点为中点，.（1）求证：平面平面；（2）求直线与平面所成角大小；（3）求点到平面的距离.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】对中心组学习所在的阶段分两种情况讨论得解.【详解】解：如果中心组学习在第一阶段，主题班会、主题团日在第二、三阶段，则其它活动有2种方法；主题班会、主题团日在第三、四阶段，则其它活动有1种方法；主题班会、主题团日在第四、五阶段，则其它活动有1种方法，则此时共有种方法；如果中心组学习在第二阶段，则第一阶段只有1种方法，后面的三个阶段有种方法.综合得不同的安排方案共有10种.故选:A2、C【解析】利用三点共线可得，由，利用基本不等式即可求解.【详解】由点是的中点，则，又因为点在线段上，则，所以，当且仅当，时取等号，故选：C【点睛】本题考查了基本不等式求最值、平面向量共线的推论，考查了基本运算求解能力，属于基础题.3、A【解析】由双曲线方程求出，再根据点在双曲线的两支之间，结合可求得答案【详解】由，得，则，所以左焦点为，右焦点，则由双曲线的定义得，因为点在双曲线的两支之间，所以，所以，当且仅当三点共线时取等号，所以的最小值为9，故选：A4、A【解析】由两点坐标求出斜率，再得倾斜角【详解】由已知直线的斜率为，所以倾斜角为故选：A5、B【解析】当n为偶数时，展开式中第项二项式系数最大，当n为奇数时，展开式中第和项二项式系数最大.【详解】因为只有一项二项式系数最大，所以n为偶数，故，得.故选：B6、A【解析】写出点坐标，由对称性易得线段长【详解】点是点，，关于平面的对称点，的横标和纵标与相同，而竖标与相反，，，，直线与轴平行，，故选：A7、C【解析】由题意可得且，从而求出点的坐标，将其代入双曲线方程中，即可得出离心率.【详解】由题意，四边形为菱形，如图，则且，分别为的左，右支上的点，设点在第二象限，在第一象限.由双曲线的对称性，可得，过点作轴交轴于点，则，所以,则，所以，所以，则，即，解得，或，由双曲线的离心率，所以取，则故选：C8、D【解析】根据双曲线渐近线定义即可求解.【详解】双曲线的方程为，双曲线的渐近线方程为，故选：D【点睛】本题主要考查了双曲线的简单几何性质，属于容易题.9、C【解析】先由数列满足，，计算出前5项，可得，且，再利用周期性即可得到答案.【详解】因为数列满足，，所以，同理可得，…所以数列每四项重复出现，即，且，而，所以该数列的前2021项的乘积是.故选：C.10、B【解析】分别求得每个函数的导数即可判断.详解】；；；.故求导错误的是B.故选：B.11、C【解析】设切线的方程为，然后利用圆心到直线的距离等于半径建立方程求解即可.【详解】圆的圆心为原点，半径为1，当切线的斜率不存在时，即直线的方程为，不与圆相切，当切线的斜率存在时，设切线的方程为，即所以，解得或所以切线的方程为或故选：C12、A【解析】求得组距，由此确定正确选项.【详解】，即组距为，A选项符合，其它选项不符合.故选：A二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】函数，又函数在区间上单调递减∴在区间上恒成立即，解得:，当时，经检验适合题意故答案为【点睛】f(x)为增函数的充要条件是对任意的x∈(a，b)都有f′(x)≥0且在(a，b)内的任一非空子区间上f′(x)≠0.应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解14、【解析】直接利用均值不等式得到答案.【详解】，当即时等号成立.故答案为【点睛】本题考查了均值不等式，意在考查学生的计算能力.15、24【解析】根据条件求得每一年投入在最终结算时的总收入，利用错位相减法求得总收入.【详解】由题知，2021年的投入在结算时的收入为，2022年的投入在结算时的收入为，，2030年的投入在结算时的收入为，则结算时的总投资及收益为：①，则②，由①-②得，，则，故答案为：2416、2036【解析】先用换底公式化简之后，将表示出来，找出满足条件的“幸福数”，然后求和即可.【详解】当时，，所以，若满足正整数，则，即，所以在内的所有“幸福数”的和为：,故答案为：2036.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）当或时，的值最大.【解析】（1）根据等差数列前项和公式，结合等差数列的通项公式进行求解即可；（2）根据等差数列的性质进行求解即可.【小问1详解】设等差数列的公差为，因为，所以有，即；【小问2详解】由（1）可知，所以该数列是递减数列，而，当时，解得：，因此当或时，的值最大.18、（1）（2）【解析】（1）由定义证明数列是等差数列，再由得出通项公式；（2）先由求和公式得出，再由裂项相消求和法求和即可.【小问1详解】由题意可知，，所以数列是公差的等差数列又，所以，故小问2详解】，则故19、（1）（2）16【解析】（1）设，代入抛物线方程由点差法可得答案；（2）设直线为：，，与抛物线方程联立，利用韦达定理和基本不等式可得答案.【小问1详解】设则，由两式相减可得：，，即直线的方程为.【小问2详解】设直线为：，由可得，，，，又因为点坐标为，所以，从而，，所以当且仅当时，有最小值1620、（1）或；（2）【解析】（1）分直线斜率存在和不存在两种情况分析，当当过点的直线存在斜率时，设方程为，利用圆心到直线的距离等于半径求得k，即可得出答案；（2）求出圆心到直线的距离，再根据圆的弦长公式即可得出答案.【详解】解：（1）由题意知圆心的坐标为，半径，当过点的直线斜率不存在时，方程为，由圆心到直线的距离知，直线与圆相切，当过点的直线存在斜率时，设方程为，即由题意知，解得，直线的方程为故过点的圆的切线方程为或（2）圆心到直线的距离为，，解得21、（1）；（2）证明见解析.【解析】（1）由和，联立求解；（2）由（1）易得直线：，直线：，，分别与x=t联立，求得M，N坐标，设，利用，得到，然后两边乘以，结合点P在椭圆上化简得到即可，【详解】（1）在椭圆中，，，，则，，由题意得：，又，解得，，所以椭圆的方程为.（2）由（1）可知，，，，则直线：，直线：，由题意，，联立，同理联立，设，则①，且点满足：，即，两边乘以，可得：，代入①得：，而，则，所以，，三点共线.22、（1）证明见解析；（2）；（3）.【解析】（1）以AB所在的直线为x轴，以AD所在的直线为y轴，以AP所在的直线为z轴，建立如图所示的直角坐标系，求出平面PCD的法向量为，平面的法向量为，即得证；（2）设直线与平面所成角为，利用向量法求解；（3）利用向量法求点到平面的距离.【小问1详解】证明：PA平面ABCD，ABCD为正方形，以AB所在的直线为x轴，以AD所在的直线为y