人教版九年级数学上册重难考点专题01一元二次方程(知识串讲+5大考点)特训(原卷版+解析)

专题01一元二次方程考点类型知识串讲（一）一元二次方程的定义及一般式（1）概念：等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。（2）一般形式：ax2+bx+c=0（a≠0）。其中a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项。（3）【注意】①只含有一个未知数；②所含未知数的最高次数是2；③整式方程。（二）一元二次方程的解（1）概念：使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫一元二次方程的根。（2）方法技巧：一元二次方程解的应用方法，将解代入方程，化简式子求解（或是整体思想）考点训练考点1：一元二次方程的识别典例1：（2022春·八年级课时练习）下列方程中，属于一元二次方程的有______________________（填题号）．①2x2−3y−5=0；②2④1x+4=x【变式1】（2023春·浙江·八年级专题练习）若关于x的一元二次方程的一个根是1，且二次项系数为正整数，则符合条件的一元二次方程可以是_______．（写出一个方程即可）【变式2】（2022秋·全国·九年级期中）下列方程：（1）2x−1=4−y（2）3x2−1=0（3）(x−1)x−3=x2（4）a【变式3】（2023秋·全国·九年级专题练习）判断下列各式是一元二次方程的是________．①x2+x+1；②9x2−6x=0；③12y2=0考点2：一元二次方程的定义求解字母的值典例2：（2022秋·江苏盐城·九年级统考期中）若关于x的方程a−4xa−2【变式1】（2023春·安徽·八年级淮北一中校联考阶段练习）若a−1x2+a+1x=2【变式2】（2023秋·云南保山·九年级统考期末）如果关于x的方程(m+3)x|m+1|+4x−2=0【变式3】（2023秋·新疆乌鲁木齐·九年级校考阶段练习）若a−3xa−1−2x+3=0是关于考点3：一元二次方程一般形式（求系数）典例3：（2023春·安徽亳州·八年级校考阶段练习）方程3x+22x【变式1】（2022秋·山东青岛·九年级校考期中）把一元二次方程3xx−2【变式2】（2022秋·广东梅州·九年级校考阶段练习）若关于x的一元二次方程(2a−4)x2+(3a+6)x+a−8=0【变式3】（2022春·八年级课时练习）方程(x−1)2考点4：一元二次方程解的应用——求字母的值典例4：（2023·江苏扬州·统考一模）若关于x的方程x2－mx【变式1】（2022秋·江苏宿迁·九年级统考期中）已知x=−1是关于x的一元二次方程x【变式2】（2023秋·陕西渭南·九年级统考期末）已知关于x的方程x2+kx−10=0的一个根是1，则【变式3】（2022秋·河南南阳·九年级统考期末）若关于x的一元二次方程a+1x2−ax+考点5：一元二次方程解的应用——求代数式的值典例5：（2022秋·河北沧州·九年级统考期中）已知m是方程x2+x−1=0的根，则【变式1】（2023秋·江苏镇江·九年级统考期末）已知a是方程2x2−x−3=0【变式2】（2022秋·江苏连云港·九年级校考阶段练习）若关于x的一元二次方程ax2+bx−1=0a≠0有一根为【变式3】（2023春·江西吉安·九年级江西省泰和中学校考阶段练习）若a是方程x2+x−1=0的一个解，则代数式同步过关一、单选题1．（2023秋·山东德州·九年级统考期中）下列关于x的方程中，是一元二次方程的为（）A．（a﹣1）x2﹣2＝0 B．x2+2x＝﹣1 C．x2﹣4＝2y D．﹣2x22．（2023秋·湖北武汉·九年级校考阶段练习）将一元二次方程3x2﹣3＝6x化成一般形式后，二次项系数和一次项系数分别是（）A．3，﹣3 B．3，0 C．3，6 D．3，﹣63．（2022秋·福建漳州·九年级校考期中）把方程x2+2x＝5（x﹣2）化成ax2+bx+c＝0的形式，则a，b，c的值分别为（）A．1，﹣3，2 B．1，7，﹣10 C．1，﹣5，12 D．1，﹣3，104．（2023秋·河北石家庄·九年级石家庄市第四十一中学校考阶段练习）关于x的方程(a−2)x2−4x+1=0A．a=2 B．a≠0 C．a=2或a=−2 D．a=−25．（2022秋·河北保定·九年级统考期末）一元二次方程2x2+x−5=0A．2，1，5 B．2，1，－5 C．2，0，－5 D．2，0，56．（2022·四川遂宁·统考中考真题）已知m为方程x2+3x−2022=0的根，那么m3A．−2022 B．0 C．2022 D．40447．（2023秋·广东阳江·九年级统考期中）下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（

）A．x2+3x=0 B．y28．（2022秋·上海·八年级专题练习）下列方程中，属于一元二次方程的是（

）A．32x−1=0； B．x+1x2=3； C．9．（2023春·八年级课时练习）下列方程①x2﹣5x＝2022，②ax2+bx+c=0，③3x2+xA．1个 B．2个 C．3个 D．4个10．（2022秋·江苏苏州·九年级校考期中）若方程mx2+4x−3=2x2是关于xA．m>0 B．m≠0 C．m≠2 D．m≠−211．（2022秋·九年级课时练习）若x=2是关于x的一元二次方程ax2−x−b=0的一个根，则2+8a−2bA．0 B．2 C．4 D．612．（2023·云南昆明·校考二模）已知a是方程x2﹣3x﹣2＝0的根，则代数式﹣2a2+6a+2019的值为（）A．2014 B．2015 C．2016 D．201713．（2022秋·湖北武汉·九年级校考阶段练习）若x=0是一元二次方程x2+b−1x+bA．2 B．−2 C．±2 D．414．（2022秋·全国·九年级专题练习）下列方程中，是一元二次方程的有（

）个①5x2=x；②x2−32−6=0A．1 B．2 C．3 D．415．（2022秋·九年级课时练习）已知下面三个关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0，bA．0 B．1 C．3 D．不确定二、填空题16．（2023秋·四川成都·九年级成都七中万达学校通锦校区校考期中）关于x的方程x2﹣kx﹣6＝0有一根为x＝﹣3，则k的值为____．17．（2022秋·广东惠州·九年级校考阶段练习）写出一个二次项系数为2，且方程有一个根为0的一元二次方程是____________18．（2023秋·江苏连云港·九年级校考周测）请你写出一个有一根为1，另一个根介于−2和1之间的的一元二次方程：_______________________.19．（2022秋·贵州黔东南·九年级校考期中）关于x方程(m−2)x|m|+2x+3=020．（2020春·四川内江·九年级校考阶段练习）关于x的方程ax+m2+b=0的解是x1=−2，x221．（2023春·浙江·八年级专题练习）若关于x的一元二次方程的一个根是1，且二次项系数为正整数，则符合条件的一元二次方程可以是_______．（写出一个方程即可）22．（2023秋·江苏南通·九年级阶段练习）方程(m−2)x23．（2023秋·湖北襄阳·七年级阶段练习）若m−2x24．（2022秋·青海西宁·九年级校考期末）关于x的方程(m−1)x25．（2023秋·北京海淀·九年级期末）关于x的一元二次方程mx三、解答题26．（2023秋·八年级课时练习）判断下列方程哪些是一元二次方程．（1）3x2+6=3x；

（2）x−23x（4）−x2=0；

27．（2023秋·全国·七年级专题练习）x=2是下列方程的解吗？（1）3x+10−x=20；

（2）28．（2022·全国·九年级假期作业）将4个数a，b，c，d排成2行2列，两边各加一条竖线，记成abcd，定义a29．（2023秋·九年级单元测试）若一元二次方程（m﹣3）x2+mx+m2﹣3m=0的常数项是0，求m的值．30．（2023春·八年级课时练习）已知a为方程2x2−3x−1=031．（2023秋·江苏扬州·九年级校联考期中）已知m是方程x2﹣x﹣2=0的一个实数根，求代数式（m2﹣m）（m﹣2m32．（2023春·八年级课时练习）若x2a＋b－2xa－b＋3＝0是关于x的一元二次方程，试求整数a，b的值．33．（2022秋·全国·九年级专题练习）如果方程x2+ax34．（2020秋·广西桂林·九年级统考期中）解下列方程（1）2x2-x=0（2）x2-4x=435．（2023春·八年级课时练习）已知方程(m−2)x （1）当m为何值时，它是一元二次方程？（2）当m为何值时，它是一元一次方程？

专题01一元二次方程考点类型知识串讲（一）一元二次方程的定义及一般式（1）概念：等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。（2）一般形式：ax2+bx+c=0（a≠0）。其中a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项。（3）【注意】①只含有一个未知数；②所含未知数的最高次数是2；③整式方程。（二）一元二次方程的解（1）概念：使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫一元二次方程的根。（2）方法技巧：一元二次方程解的应用方法，将解代入方程，化简式子求解（或是整体思想）考点训练考点1：一元二次方程的识别典例1：（2022春·八年级课时练习）下列方程中，属于一元二次方程的有______________________（填题号）．①2x2−3y−5=0；②2④1x+4=x【答案】②③⑤【分析】根据一元二次方程的定义判断即可．【详解】根据一元二次方程的定义，得②③⑤是一元二次方程，①④不是，故答案为：②③⑤．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义即含有一个未知数且含未知数的项的最高次数是2的整式方程，熟练掌握定义是解题的关键．【变式1】（2023春·浙江·八年级专题练习）若关于x的一元二次方程的一个根是1，且二次项系数为正整数，则符合条件的一元二次方程可以是_______．（写出一个方程即可）【答案】x2【分析】直接利用一元二次方程的解写成符合题意的一个方程即可．【详解】解：关于x的一元二次方程的一个根是1，且二次项系数为正整数的一个一元二次方程可以是：x-1整理得x2故答案为：x2【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义、方程的根等知识点，正确掌握一元二次方程解是解题关键．【变式2】（2022秋·全国·九年级期中）下列方程：（1）2x−1=4−y（2）3x2−1=0（3）(x−1)x−3=x2（4）a【答案】（2）（4）/（4）（2）【分析】根据一元二次方程的定义进行判断即可．【详解】解：（1）2x−1=4−y中未知数的最高次数是1次，因此此方程不是一元二次方程；（2）3x（3）(x−1)x−3=x（4）a2+1x（5）x+1（6）mx2+2x−3=0综上分析可知，一定是关于x的一元二次方程的是（2）（4）．故答案为：（2）（4）．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义，熟练掌握定义，是解题的关键．【变式3】（2023秋·全国·九年级专题练习）判断下列各式是一元二次方程的是________．①x2+x+1；②9x2−6x=0；③12y2=0【答案】②③⑥【分析】直接根据一元二次方程的定义进行判断即可．【详解】解：①x2②9x③12④5x⑤x2⑥3y⑦(x+1)(x−1)=x∴②③⑥符合一元二次方程的定义．故答案为：②③⑥．【点睛】此题主要考查了一元二次方程的辨别，熟练掌握一元二次方程的定义是解答此题的关键．考点2：一元二次方程的定义求解字母的值典例2：（2022秋·江苏盐城·九年级统考期中）若关于x的方程a−4xa−2【答案】−4【分析】根据一元二次方程的定义得出a−4≠0且a−2=2，再求出a【详解】解：∵关于x的方程a−4x∴a−4≠0且a−2=2解得：a=−4．故答案为：−4．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义和绝对值，能根据一元二次方程的定义得出a−4≠0且a−2=2【变式1】（2023春·安徽·八年级淮北一中校联考阶段练习）若a−1x2+a+1x=2【答案】a≥−1且a≠1【分析】根据一元二次方程的定义及二次根式有意义的条件直接列不等式求解即可得到答案；【详解】解：∵a−1x2+∴a−1≠0，a+1≥0，解得：a≥−1且a≠1，故答案为：a≥−1且a≠1；【点睛】本题考查一元二次方程定义及二次根式有意义的条件，解题的关键是熟练掌握两个知识点．【变式2】（2023秋·云南保山·九年级统考期末）如果关于x的方程(m+3)x|m+1|+4x−2=0【答案】1【分析】根据一元二次方程的定义，得到m+1=2，m+3≠0，求解即可得出m【详解】解：(m+3)x|m+1|+4x−2=0∴m+1∴m=1或−3，∵m+3≠0，∴m≠−3，∴m=1，故答案为：1．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，解题关键是理解一元二次方程的定义：只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0【变式3】（2023秋·新疆乌鲁木齐·九年级校考阶段练习）若a−3xa−1−2x+3=0是关于【答案】−3【分析】根据一元二次方程的定义求解即可．【详解】解：∵a−3xa−1∴a−3≠0a解得a=−3，故答案为：−3．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义，一般地，形如ax2+bx+c=0a≠0，考点3：一元二次方程一般形式（求系数）典例3：（2023春·安徽亳州·八年级校考阶段练习）方程3x+22x【答案】6【分析】先根据多项式乘以多项式的计算法则去括号，然后移项合并同类项即可得到答案．【详解】解：∵3x+22x−3∴6x∴6x∴6x故答案为：6x【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a【变式1】（2022秋·山东青岛·九年级校考期中）把一元二次方程3xx−2【答案】3x2【分析】先去括号，再移项即可化成一般式，从而可得出答案．【详解】解：3xx−2=4化为一般形式是其中二次项系数是3，一次项是−6x．故答案为：3x2−6x−4=0【点睛】本题考查一元二次方程的一般式及相关概念，形如ax2+bx+c=0a≠0（a、b、c是常数）的方程叫一元二次方程的上般式，其中ax2是二次项，bx是一次项，【变式2】（2022秋·广东梅州·九年级校考阶段练习）若关于x的一元二次方程(2a−4)x2+(3a+6)x+a−8=0【答案】−2【分析】根据一元二次方程的一般形式可知一次项为(3a+6)x，由方程没有一次项可得3a+6=0，即可得答案．【详解】∵关于x的一元二次方程(2a−4)x∴3a+6=0，解得：a=−2．故答案为：−2．【点睛】本题考查一元二次方程的一般形式，解题的关键是掌握一元二次方程的一般形式．一元二次方程：只含有一个未知数（一元），并且未知数项的最高次数是2（二次）的整式方程叫做一元二次方程．一元二次方程经过整理都可化成一般形式ax【变式3】（2022春·八年级课时练习）方程(x−1)2【答案】5x2−3x−12=05x25【分析】根据一元二次方程的概念，方程的解的概念以及配方法解一元二次方程的一般步骤对选项进行判断即可．一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a【详解】解：(x−1)去括号得：x即5∴方程(x−1)2+5=(3x+2)(2x−3)其中二次项是5x2，二次项系数是5；一次项是−3x，一次项系数是−3【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，将方程化为一般形式是解题的关键．考点4：一元二次方程解的应用——求字母的值典例4：（2023·江苏扬州·统考一模）若关于x的方程x2－mx【答案】7【分析】根据题意把3代入方程，得到关于m的方程，解方程即可得．【详解】解：依题意得32解得：m=7故答案为：73【点睛】本题考查了一元二次方程的根、解一元一次方程，熟练掌握一元二次方程根的定义是解题关键．【变式1】（2022秋·江苏宿迁·九年级统考期中）已知x=−1是关于x的一元二次方程x【答案】−5【分析】把x=【详解】解：把x=−1解得：m=−5，故答案为：−5．【点睛】本题考查一元二次方程的解，也叫一元二次方程的根，掌握一元二次方程的解的定义是解题的关键．【变式2】（2023秋·陕西渭南·九年级统考期末）已知关于x的方程x2+kx−10=0的一个根是1，则【答案】9【分析】根据一元二次方程根的定义把x=1代入到方程x2+kx−10=0中求出【详解】解：∵关于x的方程x2∴1+k−10=0，∴k=9，故答案为：9．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解，熟知一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值是解题的关键．【变式3】（2022秋·河南南阳·九年级统考期末）若关于x的一元二次方程a+1x2−ax+【答案】1【分析】将x=0代入方程中结合一元二次方程的二次项系数不为0即可得出答案．【详解】解：将x=0代入方程中得a2∴a=±1，∵a+1≠0，∴a=1，故答案为：1．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义以及一元二次方程解的定义，熟记相关定义是解本题的关键．考点5：一元二次方程解的应用——求代数式的值典例5：（2022秋·河北沧州·九年级统考期中）已知m是方程x2+x−1=0的根，则【答案】2024【分析】由m是方程的根，可得m2+m=1，变形m3【详解】解：∵m是方程x2∴m2∴m==m=m+=1+2023=2024．故答案为：2024．【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义及整体代入的思想，解决本题的关键是利用根的定义得关于m的等式，变形m3【变式1】（2023秋·江苏镇江·九年级统考期末）已知a是方程2x2−x−3=0【答案】12【分析】根据a是原方程的解，求得2a2−a=3【详解】解：∵a是方程2x2−x−3=0∴2a∴6a∴6a故答案为：12．【点睛】本题主要考查了方程的解的定义，通过已知方程转变为代数式内式子相等关系的式子是解题的关键．【变式2】（2022秋·江苏连云港·九年级校考阶段练习）若关于x的一元二次方程ax2+bx−1=0a≠0有一根为【答案】2【分析】利用整体思想设x−1=t，得到方程at2+bt−1=0，再根据a【详解】解：∵在a(x−1)2∴a∵ax2∴在at2∴即在a(x−1)2∴x=2故答案为：2【点睛】本题考查了换元法解一元二次方程，利用整体思想解一元二次方程是解题的关键．【变式3】（2023春·江西吉安·九年级江西省泰和中学校考阶段练习）若a是方程x2+x−1=0的一个解，则代数式【答案】−1【分析】将a代入一元二次方程的得到a2=1−a，再将代数式中【详解】解：∵a是方程x2∴a2∴a2∴a2故答案为：−1．【点睛】本题考查了一元二次方程的解，已知式子的值化简代数式，理解一元二次方程的解是解题的关键．同步过关一、单选题1．（2023秋·山东德州·九年级统考期中）下列关于x的方程中，是一元二次方程的为（）A．（a﹣1）x2﹣2＝0 B．x2+2x＝﹣1 C．x2﹣4＝2y D．﹣2x2【答案】D【分析】根据一元二次方程的定义（只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程）逐个判断即可．【详解】A．当a=1时，不是一元二次方程，故不符合题意；B．是分式方程，不是整式方程，不是一元二次方程，故不符合题意；C．是二元二次方程，不是一元二次方程，故不符合题意；D．是一元二次方程，故符合题意；故答案选：D．【点睛】考查了一元二次方程的定义，解题关键是熟记一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程．2．（2023秋·湖北武汉·九年级校考阶段练习）将一元二次方程3x2﹣3＝6x化成一般形式后，二次项系数和一次项系数分别是（）A．3，﹣3 B．3，0 C．3，6 D．3，﹣6【答案】D【分析】先化成一元二次方程的一般形式，再找出二次项系数和一次项系数即可．【详解】解：3x2﹣3＝6x，移项得：3x2-6x-3=0，二次项系数和一次项系数分别是3和-6，故选：D．【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式，多项式的项和单项式的系数等知识点，能熟记一元二次方程的一般形式是解此题的关键，注意：①一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0（a、b、c为常数，a≠0），②找项的系数带着前面的符号．3．（2022秋·福建漳州·九年级校考期中）把方程x2+2x＝5（x﹣2）化成ax2+bx+c＝0的形式，则a，b，c的值分别为（）A．1，﹣3，2 B．1，7，﹣10 C．1，﹣5，12 D．1，﹣3，10【答案】D【分析】先把x2+2x＝5（x﹣2）化简，然后根据一元二次方程的一般形式即可得到a、b、c的值．【详解】解：x2+2x＝5（x﹣2），x2+2x＝5x﹣10，x2+2x﹣5x+10＝0，x2﹣3x+10＝0，则a＝1，b＝﹣3，c＝10，故选：D．【点睛】此题主要考查了一元二次方程化为一般形式，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键．4．（2023秋·河北石家庄·九年级石家庄市第四十一中学校考阶段练习）关于x的方程(a−2)x2−4x+1=0A．a=2 B．a≠0 C．a=2或a=−2 D．a=−2【答案】D【分析】根据一元二次方程的定义知：a-2≠0，据此可以求得a的取值范围．【详解】∵关于x的方程(a−2)x∴a−2≠0∴a≠2只有D选项符合题意，故选D．【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，掌握一元二次方程的概念是解题的关键，一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．5．（2022秋·河北保定·九年级统考期末）一元二次方程2x2+x−5=0A．2，1，5 B．2，1，－5 C．2，0，－5 D．2，0，5【答案】B【分析】根据一元二次方程的基本概念，找出一元二次方程的二次项系数，一次项系数，以及常数项即可．【详解】解：∵一元二次方程2x2+x-5=0，∴二次项系数、一次项系数、常数项分别是2、1、-5，故选：B．【点睛】此题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式为ax2+bx+c=0（a≠0）．6．（2022·四川遂宁·统考中考真题）已知m为方程x2+3x−2022=0的根，那么m3A．−2022 B．0 C．2022 D．4044【答案】B【分析】根据题意有m2+3m−2022=0，即有【详解】∵m为x2∴m2+3m−2022=0，且∴m3则有原式=(m故选：B．【点睛】本题考查了利用未知数是一元二次方程的根求解代数式的值，由m为x2+3x−2022=0得到7．（2023秋·广东阳江·九年级统考期中）下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（

）A．x2+3x=0 B．y2【答案】C【分析】根据一元二次方程的定义即可.【详解】A.x2B.y2C.x2D.ax2−2=0故选：C.【点睛】本题考查了一元二次方程的定义；判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．8．（2022秋·上海·八年级专题练习）下列方程中，属于一元二次方程的是（

）A．32x−1=0； B．x+1x2=3； C．【答案】D【分析】根据一元二次方程的定义进行判断即可．【详解】A、为一元一次方程，不符合题意；B、是分式方程，不是整式方程，不符合题意；C、为一元一次方程，不符合题意；D、为一元二次方程，符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，解答本题的关键是理解掌握一元二次方程的定义：含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程叫一元二次方程．9．（2023春·八年级课时练习）下列方程①x2﹣5x＝2022，②ax2+bx+c=0，③3x2+xA．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】根据一元二次方程的定义进行判断即可．【详解】解：①x2﹣5x＝2022，是一元二次方程；②ax2+bx+c=0③3x④(x−2)(x+6)=x所以，一定是关于x的一元二次方程的是①③，共2个，故选：B【点睛】本题主要考查一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0（a≠0）．特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．10．（2022秋·江苏苏州·九年级校考期中）若方程mx2+4x−3=2x2是关于xA．m>0 B．m≠0 C．m≠2 D．m≠−2【答案】C【分析】根据一元二次方程的定义：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数，可得答案．【详解】解：由mx2+4x−3=2根据题意，得m-2≠0．解得m≠2．故选：C．【点睛】本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．11．（2022秋·九年级课时练习）若x=2是关于x的一元二次方程ax2−x−b=0的一个根，则2+8a−2bA．0 B．2 C．4 D．6【答案】D【分析】根据一元二次方程的解的定义，把x=2代入方程ax2−x−b=0得4a-b=2，再把2+8a−2b变形为2+2（4a【详解】解：∵x=2是关于x的一元二次方程ax∴4a-2-b=0，∴4a-b=2，∴2+8a−2b=故选：D．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解，将代数式进行适当变形是解答本题的关键．12．（2023·云南昆明·校考二模）已知a是方程x2﹣3x﹣2＝0的根，则代数式﹣2a2+6a+2019的值为（）A．2014 B．2015 C．2016 D．2017【答案】B【分析】利用一元二次方程解的定义得到a2﹣3a＝2，再把﹣2a2+6a+2019变形为﹣2（a2﹣3a）+2019，然后利用整体代入的方法计算．【详解】∵a是方程x2﹣3x﹣2＝0的根，∴a2﹣3a﹣2＝0，∴a2﹣3a＝2，∴﹣2a2+6a+2019＝﹣2（a2﹣3a）+2019＝﹣2×2+2019＝2015．故选B．【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．13．（2022秋·湖北武汉·九年级校考阶段练习）若x=0是一元二次方程x2+b−1x+bA．2 B．−2 C．±2 D．4【答案】A【分析】根据一元二次方程的解的定义，把x=0代入x2+b−1x+b【详解】解：把x=0代入x2+b−1x+解得b=±2，∵b-1≥0，∴b≥1，∴b=2．故选：A．【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．14．（2022秋·全国·九年级专题练习）下列方程中，是一元二次方程的有（

）个①5x2=x；②x2−32−6=0A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根据一元二次方程的定义判断，应仅有一个未知数，且是最高次数为2的整式方程．【详解】①变形为x−5x②x2−32③x2=1，变形为④7x(x−2)=7x2变形为⑤x2故①③满足，共有2个一元二次方程故选B．【点睛】本题考查了一元二次方程，一元二次方程应仅有一个未知数，且是最高次数为2的整式方程．15．（2022秋·九年级课时练习）已知下面三个关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0，bA．0 B．1 C．3 D．不确定【答案】A【分析】把x=a代入3个方程得出a•a2+ba+c=0，ba2+ca+a=0，ca2+a•a+b=0，3个方程相加即可得出（a+b+c）（a2+a+1）=0，即可求出答案．【详解】把x=a代入ax2+bx+c=0，bx2+cx+a=0，cx2+ax+b=0得：a•a2+ba+c=0，ba2+ca+a=0，ca2+a•a+b=0，相加得：（a+b+c）a2+（b+c+a）a+（a+b+c）=0，∴（a+b+c）（a2+a+1）=0．∵a2+a+1=（a+12）2+3∴a+b+c=0．故选A．【点睛】本题考查了一元二次方程的解，使方程左右两边相等的未知数的值叫方程的解．二、填空题16．（2023秋·四川成都·九年级成都七中万达学校通锦校区校考期中）关于x的方程x2﹣kx﹣6＝0有一根为x＝﹣3，则k的值为____．【答案】−1【分析】将x=−3，代入x2−kx−6=0中，即可得到【详解】解：将x=−3代入x2−323k=−3k=−1故答案为：−1【点睛】本题考查知道一元二次方程的解的应用，根据相关知识点解题是重点．17．（2022秋·广东惠州·九年级校考阶段练习）写出一个二次项系数为2，且方程有一个根为0的一元二次方程是____________【答案】2【分析】根据一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a、b、c【详解】由题意得：2故答案为2x【点睛】本题考查一元二次方程的一般形式以及方程的解，难度较低，熟练掌握相关知识点是解题关键.18．（2023秋·江苏连云港·九年级校考周测）请你写出一个有一根为1，另一个根介于−2和1之间的的一元二次方程：_______________________.【答案】x−1x+1【详解】试题分析：此题答案不唯一.因另一个根介于-2和1之间，设另一个根为-1，利用两交点式建立方程即可.解：根据题意，设中另一个根为-1，∴x−1x+1故答案为x−1x+119．（2022秋·贵州黔东南·九年级校考期中）关于x方程(m−2)x|m|+2x+3=0【答案】−2【分析】根据一元二次方程定义可得，m−2≠0,m【详解】解：∵关于x方程(m−2)x∴m−2≠0,m解得：m=−2．故答案为：−2．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的定义是解题的关键．一元二次方程定义，只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．20．（2020春·四川内江·九年级校考阶段练习）关于x的方程ax+m2+b=0的解是x1=−2，x2【答案】x1=−4【分析】把后面一个方程中的x＋2看作整体，相当于前面一个方程中的x求解．【详解】解：∵关于x的方程a(x＋m)²＋b＝0的解是x1＝−2，x2＝1，（a，m，b均为常数，a≠0），∴方程a(x＋m＋2)2＋b＝0变形为a[(x＋2)＋m]²＋b＝0，即此方程中x＋2＝−2或x＋2＝1，解得x＝−4或x＝−1．故答案为：x1＝−4，x2＝−1．【点睛】此题主要考查了方程解的定义．注意由两个方程的特点进行简便计算．21．（2023春·浙江·八年级专题练习）若关于x的一元二次方程的一个根是1，且二次项系数为正整数，则符合条件的一元二次方程可以是_______．（写出一个方程即可）【答案】x2【分析】直接利用一元二次方程的解写成符合题意的一个方程即可．【详解】解：关于x的一元二次方程的一个根是1，且二次项系数为正整数的一个一元二次方程可以是：x-1整理得x2故答案为：x2【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义、方程的根等知识点，正确掌握一元二次方程解是解题关键．22．（2023秋·江苏南通·九年级阶段练习）方程(m−2)x【答案】﹣2【分析】根据一元二次方程的定义得出答案.【详解】解：∵(m−2)xm−5x＋m−3＝0是一元二次方程，∴m＝2，m【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义，注意一元二次方程的二次项系数不能为0.23．（2023秋·湖北襄阳·七年级阶段练习）若m−2x【答案】-2

【详解】∵m−2x∴m−2≠0m−1=1，解得：点睛：方程m−2xm−1−4=0是一元一次方程需同时满足两个条件：（1）24．（2022秋·青海西宁·九年级校考期末）关于x的方程(m−1)x【答案】m=-1【分析】本题根据一元二次方程的定义求解．一元二次方程必须满足两个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0．由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可．【详解】根据题意得：{|m|+1=2解得：m=-1．故答案为m=-1.．【点睛】本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件．25．（2023秋·北京海淀·九年级期末）关于x的一元二次方程mx【答案】-1.【分析】先利用根的判别式，确定m的范围，后利用公式法，确定用m表示的方程的根，根据m的整数性质，根的整数性质求解即可.【详解】∵一元二次方程mx∴△＞0，∴[−(m+1)]2∴(m−1)2∴m≠1，∵x=m+1±|m−1|∴当m＞1时，x=m+1±∴x1=m+1+m−1∵一元二次方程mx∴m=1，与m≠1矛盾，∴此种情形不成立；∴当m＜1时，x=m+1±∴x1=m+1+1-m∵一元二次方程mx∴m=-1，∴此种情形成立；综上所述，m的值为-1，故答案为：-1.【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，一元二次方程根的判别式，整数根的意义，熟练利用公式法求方程的根，并活用分类思想，化简绝对值是解题的关键.三、解答题26．（2023秋·八年级课时练习）判断下列方程哪些是一元二次方程．（1）3x2+6=3x；

（2）x−23x（4）−x2=0；

【答案】（1）（4）【分析】本题根据一元二次方程的一般形式为ax2+bx+c=0（a≠0）．一元二次方程必须满足两个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0．由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可．【详解】方程（1）3x方程（2）x−2方程（3）4x方程（4）−x方程（5）x(5x−1)=x(x+3)+4x2经化简为4故一元二次方程为（1）（4）．【点睛】判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．27．（2023秋·全国·七年级专题练习）x=2是下列方程的解吗？（1）3x+10−x=20；

（2）【答案】（1）不是；（2）是．【分析】将x=2分别代入（1）（2）中的方程判断等式两边是否相等即可求解．【详解】解：（1）将x=2代入3x+10−x方程左边=3×2+10−2∵左边≠右边，∴x=2不是方程3x+10−x（2）将x=2代入2x方程左边=2×22+6=14∵左边=右边，∴x=2是方程2x【点睛】此题考查了一元二次方程解的含义，将x=2代入（1）（2）中的方程看等式是否成立是解题的关键．28．（2022·全国·九年级假期作业）将4个数a，b，c，d排成2行2列，两边各加一条竖线，记成abcd，定义a【答案】是，x【分析】根据题意直接可列出方程，然后根据一元二次方程的定义进行判断即可．【详解】解：根据题意，得：x+1⋅2x−整理，得x2它是一元二次方程，一般形式为x2【点睛】本题主要考查一元二次方程的定义，正确理解定义是解题的关键．29．（2023秋·九年级单元测试）若一元二次方程（m﹣