人教版九年级数学上册重难考点专题06正多边形与圆(知识串讲+4大考点)特训(原卷版+解析)

专题06正多边形与圆考点类型知识串讲（一）正多边形与圆（1）正多边形：各边相等，各角相等的多边形叫做正多边形．（2）正n边形的内角和=180°（n-2）；正n边形的每个内角度数=180∘(n−2)n；正n边形外角和=360°（3）圆与正多边形的有关概念：一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心，外接圆的半径叫做正多边形的半径，正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角，中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．半径、边心距，边长之间的关系：考点训练考点1：正多边形与圆——求角典例1：（2023·四川内江·统考中考真题）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，点P在AF上，Q是DE的中点，则∠CPQ的度数为（

）A．30° B．36° C．45° D．60°【变式1】（2022·山东青岛·统考中考真题）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，点M在AB上，则∠CME的度数为（

）

A．30° B．36° C．45° D．60°【变式2】（2023·吉林长春·校联考二模）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，点M在AF上，则∠CMD的大小为（）A．60° B．45° C．30° D．15°【变式3】（2023·四川成都·模拟预测）如图，正六边形与正方形有重合的中心O，若∠BOC是正n边形的一个中心角，则n的值为（

）A．8 B．10 C．12 D．16考点2：正多边形与圆——求边长、边心距典例2：（2023·四川成都·模拟预测）如图，多边形A1A2A3⋅⋅⋅An是⊙O的内接正n边形，已知⊙O的半径为r，∠A1OA2①当n变化时，α随n的变化而变化，α与n满足的函数关系是反比例函数关系；②若α为定值，当r变化时，d随r的变化而变化，d与r满足的函数关系是正比例函数关系；③若n为定值，当r变化时，S随r的变化而变化，S与r满足的函数关系是二次函数关系．其中正确的是（

）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【变式1】（2022春·九年级课时练习）如图，四边形ABCD为⊙O的内接正四边形，△AEF为⊙O的内接正三角形，若DF恰好是同圆的一个内接正n边形的一边，则n的值为（）A．6 B．8 C．10 D．12【变式2】（2022秋·云南红河·九年级统考期末）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，⊙O的半径为2，则边心距OM的长为（

）A．1 B．3 C．23 D．【变式3】（2023·江苏·九年级假期作业）如图，点A、B、C、D为一个正多边形的顶点，点O为正多边形的中心，若∠ADB=18°，则这个正多边形的边数为（A．10 B．12 C．15 D．20考点3：正多边形与圆——求面积典例3：（2023·广西梧州·统考二模）剪纸艺术是我国非物质文化遗产，如图是一幅包含了圆，正八边形等图形设计成的剪纸作品，已知圆的半径是2，此作品的阴影部分面积是（）

A．π2 B．π C．2π D．【变式1】（2022秋·浙江绍兴·九年级统考期末）如图，点O为正六边形ABCDEF对角线FD上一点，S△AFO=4,S△CDO=1A．12 B．15 C．18 D．20【变式2】（2023·江苏·九年级假期作业）下列图形中，正多边形内接于半径相等的圆，其中正多边形周长最小的是（

）A．B．C．D．【变式3】（2023·河北承德·统考一模）如图，正六边形的两条对角线AE、BE把它分成Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三部分，则该三部分的面积比为（

）A．1:2:3 B．2:2:4 C．1:2:4 D．2:3:5考点4：正多边形与圆的综合应用典例4：（2023·浙江杭州·统考中考真题）如图，六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，设正六边形ABCDEF的面积为S1，△ACE的面积为S2，则S

【变式1】（2023·山东菏泽·统考二模）如图，边长为4的正六边形ABCDEF的中心与原点O重合，AB∥x轴，交y轴于点P，将△OAP绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第2023次旋转结束时，点A的坐标为

【变式2】（2023·湖南株洲·校考三模）古人认为“天圆地方”，故以圆璧祭天，以玉琮祭地，《周礼·春官·大宗伯》记载“以玉作六器，以礼天地四方”，长江流域良渚文化，创制美玉，尤以琮（如图1所示）、璧最为经典．琮为内圆外方之器，此玉琮素面琢磨细腻，色泽温润，两端射口稍露，比例恰到好处．如图2，是“琮”的横截面的示意图，其“外方”是一个边长为10cm的正方形ABCD，内圆圆O的圆心与正方形的中心重合，正方形的四个角上各有一个腰长为4cm的等腰Rt△，圆O与其斜边相切，则圆O

【变式3】（2023·湖南长沙·校考三模）如图所示，已知正八边形ABCDEFGH内接于⊙O，连接AC，BD，相交于点P．若⊙O的半径为1，以下结论正确的是．（填序号）①AC=2；②∠APD=135°；③△ABC的面积为2−12

同步过关一、单选题1．（2022秋·广东云浮·九年级校考期末）已知正六边形的边长为4，则它的边心距为（）A．1 B．2 C．3 D．22．（2023春·九年级课时练习）如图，⊙O的半径为2，△ABC是⊙O的内接等边三角形，点DE在⊙O上．四边形BCDE为平行四边形，则平行四边形BCDE的面积是（）A．43 B．4 C．2 D．233．（2023·山东青岛·九年级青岛二中校考期中）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，若⊙O的半径为5，则AB的长度为（

）A．π B．2π C．5π D．105．（2023·山东济宁·统考一模）如图①，直六棱柱的底面是正六边形，侧面ABCD中，AB＝10cm，BC＝20cm，现用一块矩形纸板EFGH制作图①中的直六棱柱，按图②中的方案裁剪，则GF的长是（

）A．（20+103）cm B．（30+103）cm C．（20+203）cm D．403cm6．（2023·河北石家庄·统考二模）如图，正十二边形A1A2…A12，连接A3A7，A7A10，则∠A3A7A10的度数为（）A．60° B．65° C．70° D．75°7．（2022秋·九年级单元测试）利用圆的等分，在半径为3的圆中作出如图的图案，则相邻两等分点之间的距离为（

）A．3 B．33 C．4 8．（2022·江苏南通·校联考一模）若一个正多边形的一个内角是135∘，则这个正多边形的中心角为(A．20∘ B．45∘ C．60∘9．（2022春·九年级课时练习）已知圆内接正六边形的半径为2，则该内接正六边形的边心距为(

)A．1 B．2 C．3 D．510．（2022秋·九年级单元测试）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，⊙O的半径为3，则正六边形ABCDEF的边长为（

）

A．3 B．6 C．33 D．11．（2022秋·湖北恩施·九年级校考阶段练习）如图，正方形ABCD与正方形DEFG彼此相邻且正方形ABCD内接于半圆，点F在半圆上，若小正方形DEFG的面积为16cm2，则该半圆的半径为（A．4+5cm B．9cm C．412．（2022秋·福建福州·九年级福州三牧中学校考期末）已知正五边形的边长为1，则该正五边形的对角线长度为（

）．A．3 B．5−12 C．5+113．（2023·江苏无锡·统考中考真题）下列命题：①各边相等的多边形是正多边形；②正多边形是中心对称图形；③正六边形的外接圆半径与边长相等；④正n边形共有n条对称轴．其中真命题的个数是（

）A．4 B．3 C．2 D．114．（2022秋·湖北孝感·九年级校联考阶段练习）半径为a的圆的内接正六边形的边心距是（）A．a2 B．2a2 C．315．（2023春·全国·九年级专题练习）半径相等的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边长之比（

）A．1：2：5 B．3：2：1 C．3：2：1 D．1：2：3二、填空题16．（2022秋·河南郑州·九年级校联考阶段练习）六个带30°角的直角三角板拼成一个正六边形，直角三角板的最短边为2，求中间正六边形的面积．17．（2022秋·九年级单元测试）如图所示，⊙O的半径为1，作两条互相垂直的直径AB，CD，弦AC是⊙O的内接正四边形的一条边.若以A为圆心，以1为半径画弧，交⊙O于点E，F，连接AE，CE，弦EC是该圆一个内接正多边形的一边，则该正多边形的面积为．

18．（2023春·全国·九年级专题练习）如图，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，则∠ADC的度数是．19．（2022秋·天津宁河·九年级阶段练习）一个正六边形的半径为R，则这个正六边形的边心距为20．（2023春·广东揭阳·九年级普宁二中实验学校校考阶段练习）如图，边长为4的正六边形ABCDEF的中心与坐标原点O重合，AF∥x轴，将正六边形ABCDEF绕原点O顺时针旋转n次，每次旋转60°，当n=2023时，顶点A的坐标为．21．（2023·山东青岛·统考一模）如图，有六个矩形水池环绕，矩形的内侧边所在直线恰好围成正六边形ABCDEF，正六边形的边长为4米．要从水源点P处向各水池铺设供水管道，这些管道的总长度最短是米．（结果保留根号）22．（2022秋·河北石家庄·九年级校联考期末）如图，如果AB、AC分别是圆O的内接正三角形和内接正方形的一条边，则∠COB=°，BC一定是圆O的内接正n边形的一条边，那么n=．23．（2023春·上海·九年级专题练习）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，点F为BC上一点，连接AF，若∠AFC＝126°，则∠BAF的度数为．24．（2022秋·浙江宁波·九年级统考期末）圆内接正方形的每条边所对的圆心角的度数是．25．（2023·九年级课时练习）“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣．”这是我国古代著名数学家刘徽在《九章算术注》中提到的“如何求圆的周长和面积”的方法，即“割圆术”．“割圆术”的主要意思是用圆内接正多边形去逐步逼近圆．刘徽从圆内接正六边形出发，将边数逐次加倍，并逐次得到正多边形的周长和面积．如图，AB是圆内接正六边形的一条边，半径OB=1，OC⊥AB于点D，则圆内接正十二边形的边BC的长是（结果不取近似值）．26．（2022秋·全国·九年级统考期中）若正多边形的边心距与边长的比为1:2，则这个正多边形的边数是．27．（2022秋·北京朝阳·九年级对外经济贸易大学附属中学（北京市第九十四中学）校考期中）已知：如图，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，点P是劣弧CD，则∠BPC的度数是．28．（2023春·全国·九年级专题练习）如图，⊙O的内接正六边形ABCDEF边长为23cm，则该正六边形的面积为cm29．（2022秋·浙江·九年级期末）如图，正六边形ABCDEF内接于圆O，点M是边CD的中点，连结AM，若圆O的半径为2，则AM=.30．（2023·上海·九年级专题练习）已知正多边形的边长为a，且它的一个外角是其内角的一半，那么此正多边形的边心距是．（用含字母a的代数式表示）．

专题06正多边形与圆考点类型知识串讲（一）正多边形与圆（1）正多边形：各边相等，各角相等的多边形叫做正多边形．（2）正n边形的内角和=180°（n-2）；正n边形的每个内角度数=180∘(n−2)n；正n边形外角和=360°（3）圆与正多边形的有关概念：一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心，外接圆的半径叫做正多边形的半径，正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角，中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．半径、边心距，边长之间的关系：考点训练考点1：正多边形与圆——求角典例1：（2023·四川内江·统考中考真题）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，点P在AF上，Q是DE的中点，则∠CPQ的度数为（

）A．30° B．36° C．45° D．60°【答案】C【分析】先计算正六边形的中心角，再利用同圆或等圆中，等弧对的圆心角相等，圆周角定理计算即可．【详解】如图，连接OC,OD,OQ,OE，∵正六边形ABCDEF，Q是DE的中点，∴∠COD=∠DOE=360°6=60°∴∠COQ=∠COD+∠DOQ=90°，∴∠CPQ=1故选Ｃ．【点睛】本题考查了正多边形与圆，圆周角定理，熟练掌握正多边形中心角计算，圆周角定理是解题的关键．【变式1】（2022·山东青岛·统考中考真题）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，点M在AB上，则∠CME的度数为（

）

A．30° B．36° C．45° D．60°【答案】D【分析】先求出正六边形的中心角，再利用圆周角定理求解即可．【详解】解：连接OC、OD、OE，如图所示：

∵正六边形ABCDEF内接于⊙O，∴∠COD=3606=60°，则∠COE∴∠CME=12∠COE故选：D．【点睛】本题考查正多边形的中心角、圆周角定理，熟练掌握正n多边形的中心角为360n【变式2】（2023·吉林长春·校联考二模）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，点M在AF上，则∠CMD的大小为（）A．60° B．45° C．30° D．15°【答案】C【分析】由正六边形的性质得出∠COD=60°，由圆周角定理求出∠CMD．【详解】解：连接OC，OD，∵多边形ABCDEF是正六边形，∴∠COD=60°，∴∠CMD=1故选：C．【点睛】本题考查了正六边形的性质，圆周角定理，熟练掌握知识点是解题的关键．【变式3】（2023·四川成都·模拟预测）如图，正六边形与正方形有重合的中心O，若∠BOC是正n边形的一个中心角，则n的值为（

）A．8 B．10 C．12 D．16【答案】C【分析】连接OA，先求出∠AOB的度数，然后利用正多边形外角和等于360°，即可求出答案．【详解】解：连接OA，如图：根据题意，正六边形和正方形的中心都是点O，∴∠AOC=90°，∠AOB=60°，∴∠COB=90°−60°=30°；∵∠COB是某正n边形的一个中心角，∴n=360°故选：C．【点睛】本题考查了正多边形的性质，正多边形的外角和定理，解题的关键是掌握正多边形的性质，正确求出∠COB的度数．考点2：正多边形与圆——求边长、边心距典例2：（2023·四川成都·模拟预测）如图，多边形A1A2A3⋅⋅⋅An是⊙O的内接正n边形，已知⊙O的半径为r，∠A1OA2①当n变化时，α随n的变化而变化，α与n满足的函数关系是反比例函数关系；②若α为定值，当r变化时，d随r的变化而变化，d与r满足的函数关系是正比例函数关系；③若n为定值，当r变化时，S随r的变化而变化，S与r满足的函数关系是二次函数关系．其中正确的是（

）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【答案】D【分析】（1）正n边形每条边对应的圆心角度数为α=360（2）d与r是α2的邻边和斜边，因此是d（3）三角形面积为12×底×高，底为2rsinα【详解】①α=360°n，所以α与②dr=cosα2，所以d=r⋅③S=12⋅2r⋅sinα故选D【点睛】本题考查正多边形、圆心角的度数、弦心距、三角形的面积之间的函数关系，解题的关键是读懂题意，求出其中的函数关系式．【变式1】（2022春·九年级课时练习）如图，四边形ABCD为⊙O的内接正四边形，△AEF为⊙O的内接正三角形，若DF恰好是同圆的一个内接正n边形的一边，则n的值为（）A．6 B．8 C．10 D．12【答案】D【分析】连接AC,OD,OF，先根据圆内接正多边形的性质可得点O在AC上，且AC是∠BAD和∠EAF的角平分线，从而可得∠CAD=12∠BAD=45°,∠CAF=12【详解】解：如图，连接AC,OD,OF，∵四边形ABCD为⊙O的内接正四边形，△AEF为⊙O的内接正三角形，∴点O在AC上，且AC是∠BAD和∠EAF的角平分线，∠BAD=90°,∠EAF=60°，∴∠CAD=1∴∠DAF=∠CAD−∠CAF=15°，∴∠DOF=2∠DAF=30°，∵DF恰好是圆O的一个内接正n边形的一边，∴n=360°故选：D．【点睛】本题考查了圆内接正多边形、圆周角定理等知识点，熟练掌握圆内接正多边形的性质是解题关键．【变式2】（2022秋·云南红河·九年级统考期末）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，⊙O的半径为2，则边心距OM的长为（

）A．1 B．3 C．23 D．【答案】B【分析】证明△OAB是等边三角形，得出AB=OA=2，由等边三角形的性质求出AM，再由勾股定理求出OM即可．【详解】解：如图所示，连接OA，∵六边形ABCDEF为正六边形，∠AOB=360°∵OA=OB，∴△OAB是等边三角形，∴AB=OA=2，∵OM⊥AB，∴AM=BM=1∴OM=O故选：B．【点睛】本题考查了正多边形和圆，证明三角形是等边三角形是解决问题的关键．【变式3】（2023·江苏·九年级假期作业）如图，点A、B、C、D为一个正多边形的顶点，点O为正多边形的中心，若∠ADB=18°，则这个正多边形的边数为（A．10 B．12 C．15 D．20【答案】A【分析】作正多边形的外接圆，根据圆周角定理得到∠AOB=36°，根据中心角的定义即可求解．【详解】解：如图，作正多边形的外接圆，∵∠ADB=18∴∠AOB=2∠ADB=36°，∴这个正多边形的边数为360°故选：A．【点睛】此题主要考查正多边形的性质，解题的关键是熟知圆周角定理．考点3：正多边形与圆——求面积典例3：（2023·广西梧州·统考二模）剪纸艺术是我国非物质文化遗产，如图是一幅包含了圆，正八边形等图形设计成的剪纸作品，已知圆的半径是2，此作品的阴影部分面积是（）

A．π2 B．π C．2π D．【答案】C【分析】由圆及正八边形的对称性可得：图中阴影部分的面积等于圆面积的一半，据此即可求解.【详解】解：由圆及正八边形的对称性可得：图中阴影部分的面积等于圆面积的一半，所以此作品的阴影部分面积是12故选：C.【点睛】本题考查了求阴影部分的面积，熟知圆及正八边形的对称性、得出阴影部分的面积等于圆面积的一半是解题的关键.【变式1】（2022秋·浙江绍兴·九年级统考期末）如图，点O为正六边形ABCDEF对角线FD上一点，S△AFO=4,S△CDO=1A．12 B．15 C．18 D．20【答案】B【分析】连接三条对角线交于一点，会形成6个全等的等边三角形，那么求出一个三角形面积即可；S△AFO与S△CDO的和可转化为S△ADF【详解】解：连接AD，BE，CF交于点P，∵六边形ABCDEF是正六边形，∴AF=CD，求出S△APF即可求出S∵S△AFO又∵S△AFD∴S△AFD∵P是AD中点，∴S△APF∴S正六边形故选：B．【点睛】此题考查正多边形和圆，解题关键是将正六边形的面积转化为等边三角形的面积，解题技巧是将阴影部分面积换成一个大三角形的面积．【变式2】（2023·江苏·九年级假期作业）下列图形中，正多边形内接于半径相等的圆，其中正多边形周长最小的是（

）A．B．C．D．【答案】A【分析】根据圆的内接正多边形边数越多，越接近圆的周长，正多边形周长越长．【详解】解：圆的内接正多边形边数越多，越接近圆的周长，正多边形周长越长，故选：A．【点睛】本题主要考查了正多边形与圆，解题的关键是掌握“圆的内接正多边形边数越多，越接近圆的周长，正多边形周长越长”．【变式3】（2023·河北承德·统考一模）如图，正六边形的两条对角线AE、BE把它分成Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三部分，则该三部分的面积比为（

）A．1:2:3 B．2:2:4 C．1:2:4 D．2:3:5【答案】A【分析】根据正多边形的性质，三角形中线的性质即可求解．【详解】解：如图，S△AFE∴Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三部分的面积比为1:2:3，故选：A．【点睛】本题考查了正多边形，三角形中线的性质，熟记图形的性质并准确识图是解题的关键．考点4：正多边形与圆的综合应用典例4：（2023·浙江杭州·统考中考真题）如图，六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，设正六边形ABCDEF的面积为S1，△ACE的面积为S2，则S

【答案】2【分析】连接OA,OC,OE，首先证明出△ACE是⊙O的内接正三角形，然后证明出△BAC≌△OACASA，得到S△BAC=【详解】如图所示，连接OA,OC,OE，

∵六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，∴AC=AE=CE，∴△ACE是⊙O的内接正三角形，∵∠B=120°，AB=BC，∴∠BAC=∠BCA=1∵∠CAE=60°，∴∠OAC=∠OAE=30°，∴∠BAC=∠OAC=30°，同理可得，∠BCA=∠OCA=30°，又∵AC=AC，∴△BAC≌△OACASA∴S△BAC由圆和正六边形的性质可得，S△BAC由圆和正三角形的性质可得，S△OAC∵S1∴S1故答案为：2．【点睛】此题考查了圆内接正多边形的性质，正六边形和正三角形的性质，全等三角形的性质和判定等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．【变式1】（2023·山东菏泽·统考二模）如图，边长为4的正六边形ABCDEF的中心与原点O重合，AB∥x轴，交y轴于点P，将△OAP绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第2023次旋转结束时，点A的坐标为

【答案】(−2【分析】首先确定点A的坐标，再根据4次一个循环，推出经过第2023次旋转后点的坐标即可．【详解】解：∵正六边形ABCDEF边长为4，中心与原点O重合，AB∥∴AP=2，∴OP=A∴第1次旋转结束时，点A的坐标为23第2次旋转结束时，点A的坐标为−2，第3次旋转结束时，点A的坐标为−23第4次旋转结束时，点A的坐标为2，∴4次一个循环，∵2023÷4=505⋯⋯3，∴第2023次旋转结束时，点A的坐标为(−23故答案为：(−23【点睛】本题考查正多边形的性质，规律型问题，坐标与图形变化——旋转等知识，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考常考题型．【变式2】（2023·湖南株洲·校考三模）古人认为“天圆地方”，故以圆璧祭天，以玉琮祭地，《周礼·春官·大宗伯》记载“以玉作六器，以礼天地四方”，长江流域良渚文化，创制美玉，尤以琮（如图1所示）、璧最为经典．琮为内圆外方之器，此玉琮素面琢磨细腻，色泽温润，两端射口稍露，比例恰到好处．如图2，是“琮”的横截面的示意图，其“外方”是一个边长为10cm的正方形ABCD，内圆圆O的圆心与正方形的中心重合，正方形的四个角上各有一个腰长为4cm的等腰Rt△，圆O与其斜边相切，则圆O

【答案】3【分析】设AC与EF交于点M，根据正方形的性质得到△AME是等腰直角三角形，然后利用勾股定理得到AM=22，AC=【详解】如图所示，设AC与EF交于点M，

∵△AEF是等腰直角三角形，∴∠AEF=45°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠CAE=45°，∴△AME是等腰直角三角形，∴AM2+E∴解得AM=22∵AB=AC=10cm，∠B=90°∴AC=A∴AO=OC=1∴OM=AO−AM=32故答案为：32【点睛】此题考查了正方形的性质，切线的性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．【变式3】（2023·湖南长沙·校考三模）如图所示，已知正八边形ABCDEFGH内接于⊙O，连接AC，BD，相交于点P．若⊙O的半径为1，以下结论正确的是．（填序号）①AC=2；②∠APD=135°；③△ABC的面积为2−12

【答案】①②③④【分析】连接OA，OB，OC，OD，OB交AC于Q，由正多边形与圆可知OA=OB=OC=1，∠AOB=∠BOC=∠COD=360°8=45°，进而可知△AOC，△BOD【详解】解：连接OA，OB，OC，OD，OB交AC于Q，

∵正八边形ABCDEFGH内接于⊙O，∴OA=OB=OC=1，故④正确，∠AOB=∠BOC=∠COD=360°8=45°，则∠AOC=90°∴△AOC为等腰直角三角形，同理，△BOD为等腰直角三角形，∴AC=2∠OAC=∠ODB=45°，则△AOQ为等腰直角三角形，由四边形AODP的内角和为360°，可知∠APD=135°，故②正确，∵△AOQ为等腰直角三角形，∴OQ=22OA=∴S△ABC故答案为：①②③④．【点睛】本题考查正多边形与圆，等腰直角三角形的判定及性质，掌握正多边形与圆的关系是解决问题的关键．同步过关一、单选题1．（2022秋·广东云浮·九年级校考期末）已知正六边形的边长为4，则它的边心距为（）A．1 B．2 C．3 D．2【答案】D【分析】证出△AOB是等边三角形，再由勾股定理求解即可．【详解】解：如图所示，过O作OG⊥AB于G，∵∠AOB=360°6=60°∴△AOB是等边三角形，∵OG⊥AB，∴∠AOG=30°，∴AG=1∴OG=O故选：D．【点睛】本题考查了正多边形和圆、正六边形的性质、等边三角形的判定与性质，勾股定理；熟练掌握正六边形的性质是解题的关键．2．（2023春·九年级课时练习）如图，⊙O的半径为2，△ABC是⊙O的内接等边三角形，点DE在⊙O上．四边形BCDE为平行四边形，则平行四边形BCDE的面积是（）A．43 B．4 C．2 D．23【答案】A【分析】连接BD、OC，根据平行四边形的性质得∠BCD=90°，再根据圆周角定理得BD为⊙O的直径，利用圆周角定理得到∠BOC=2∠A=120°，根据含30°的直角三角形三边的关系得到CD，【详解】解：连接BD、OC，如图，∵四边形BCDE为平行四边形，∴∠E=∠BCD，∵∠E+∠BCD=180°，∴∠E=∠BCD=90°，∴BD为⊙O的直径，∴BD=4，∵△ABC为等边三角形，∴∠A=60°，∴∠BOC=2∠A=120°，而OB=OC，∴∠CBD=30°，在Rt△BCD中，CD=12BD=2∴矩形BCDE的面积=BC⋅CD=43故选：A．【点睛】本题考查了三角形外接圆与外心，垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了圆周角定理、等边三角形的性质和矩形的性质，综合运用以上知识是解题的关键．3．（2023·山东青岛·九年级青岛二中校考期中）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，若⊙O的半径为5，则AB的长度为（

）A．π B．2π C．5π D．10π【答案】B【分析】利用正五边形的性质得出中心角度数，进而利用弧长公式求出即可．【详解】解：连接OA、OB，∵⊙O为正五边形ABCDE的外接圆，⊙O的半径2，∴∠AOB=360°5∴AB的长度=72π×5180=2π故选：B．【点睛】本题考查的是正多边形的性质、弧长的计算，掌握正多边形的中心角的计算公式、弧长的计算公式是解题的关键．4．（2022秋·河南商丘·九年级统考期中）一个圆的半径为2，则该圆的内接正方形的边长为（

）A．3 B．23 C．2 D．【答案】D【分析】通过添加辅助线构造直角三角形，进而运用勾股定理进行求解即可．【详解】解：根据题意可画出图形，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BOC=90°，∴OB2+O∴BC=22故选：D．【点睛】本题考查了圆内接正方形，勾股定理，解题的关键是熟练运用圆内接正多边形解决问题．5．（2023·山东济宁·统考一模）如图①，直六棱柱的底面是正六边形，侧面ABCD中，AB＝10cm，BC＝20cm，现用一块矩形纸板EFGH制作图①中的直六棱柱，按图②中的方案裁剪，则GF的长是（

）A．（20+103）cm B．（30+103）cm C．（20+203）cm D．403cm【答案】C【分析】直接利用正六边形的性质结合六棱柱侧面展开图的性质分析得出答案．【详解】如图所示：可得MN＝BC＝20cm，△OWM是等边三角形，边长为10cm，则它的高为：102−52＝5故FG＝20+4×53＝（20+203）cm．故选：C．【点睛】本题主要考查了正多边形，正确掌握正六边形的性质是解题的关键．6．（2023·河北石家庄·统考二模）如图，正十二边形A1A2…A12，连接A3A7，A7A10，则∠A3A7A10的度数为（）A．60° B．65° C．70° D．75°【答案】D【详解】设该正十二边形的中心为O，如图，连接A10O和A3O，由题意知，A3B7∴∠A3OA10=512∴∠A3A7A10=75°.故选D．7．（2022秋·九年级单元测试）利用圆的等分，在半径为3的圆中作出如图的图案，则相邻两等分点之间的距离为（

）A．3 B．33 C．4 【答案】A【分析】如解析图，只需要证明△AOB是等边三角形，即可得到AB=OA=3．【详解】解：如图所示，A、B是相邻两等分点，连接AB，由题意得∠AOB=360°∵OA=OB，∴△AOB是等边三角形，∴AB=OA=3，故选A．【点睛】本题主要考查了正多边形和圆，证明△AOB是等边三角形是解题的关键．8．（2022·江苏南通·校联考一模）若一个正多边形的一个内角是135∘，则这个正多边形的中心角为(A．20∘ B．45∘ C．60∘【答案】B【分析】根据正多边形的一个内角是135∘，则知该正多边形的一个外角为45∘，再根据多边形的外角之和为【详解】解：∵正多边形的一个内角是135∘∴该正多边形的一个外角为45∘∵多边形的外角之和为360∘∴边数n=∴该正多边形为正八边形，故这个正多边形的中心角为：360∘故选B．【点睛】本题主要考查了正多边形和圆，解答本题的关键是知道多边形的外角之和为360∘9．（2022春·九年级课时练习）已知圆内接正六边形的半径为2，则该内接正六边形的边心距为(

)A．1 B．2 C．3 D．5【答案】C【分析】构建直角三角形，利用直角三角形的边角关系即可求出．【详解】解：连接OA，作OM⊥AB，则∠AOM=30°，AB=2，∴AM=1，根据勾股定理可得OM=O∴正六边形的边心距是3．故选：C．【点睛】此题主要考查了正多边形和圆、勾股定理，正确掌握正六边形的性质是解题关键．10．（2022秋·九年级单元测试）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，⊙O的半径为3，则正六边形ABCDEF的边长为（

）

A．3 B．6 C．33 D．【答案】A【分析】连接OA，OF，证明△AOF是等边三角形，即可得AF的长，即正六边形的边长．【详解】解：连接OA，OF，如图．

∵∠AOF是正六边形ABCDEF的中心角，∴∠AOF=1又∵OA=OF=3，∴△AOF是等边三角形，∴AF=OA=3．∴正六边形ABCDEF的边长为3．故选：A．【点睛】本题考查了正多边形的性质，等边三角形的性质与判定，外接圆的定义与性质，熟练掌握相关性质定理是解题的关键．11．（2022秋·湖北恩施·九年级校考阶段练习）如图，正方形ABCD与正方形DEFG彼此相邻且正方形ABCD内接于半圆，点F在半圆上，若小正方形DEFG的面积为16cm2，则该半圆的半径为（A．4+5cm B．9cm C．4【答案】C【分析】连接OC，OF，设正方形ABCD的边长为2x，圆的半径为r，在Rt△COD和Rt△FOG中，由勾股定理可得：5x【详解】解:连接OC，OF，设正方形ABCD的边长为2x，圆的半径为r，∵正方形ABCD与正方形DEFG彼此相邻且正方形ABCD内接于半圆，点F在半圆上，∴OD=x，CD=2x，∵小正方形DEFG的面积为16cm∴小正方形DEFG的边长DG=FG=4，在Rt△COD和Rtr2=OD2+C∴5x解得：x=4或x=−2（舍去）∴r2∴r=45故选：C.【点睛】本题考查了正多边形和圆、勾股定理及正方形的性质，熟练掌握圆内接正方形的性质及作出辅助线是解决问题的关键12．（2022秋·福建福州·九年级福州三牧中学校考期末）已知正五边形的边长为1，则该正五边形的对角线长度为（

）．A．3 B．5−12 C．5+1【答案】C【分析】如图，五边形ABCDE为正五边形，证明AB=BC=AE=CD,AF=BF=BG=CG,AB=AG=1,再证明△ABF∽△ACB,可得：ABAC=BFCB,设AF=x【详解】解：如图，五边形ABCDE为正五边形，∴五边形的每个内角均为108°，AB=BC=AE=CD,

∴∠BAG=∠ABF=∠ACB=∠CBD=36°，∴∠BGF=∠BFG=72°，∠ABG=∠AGB=72°,

AF=BF,BG=GC,BG=BF,∴AF=BF=BG=CG,AB=AG=1,∵∠BAC=∠FAB,∠ABF=∠ACB,∴△ABF∽△ACB,∴ABAC设AF=x，则AC=1+x，∴1∴x解得：x1经检验：x=−1−∴AC=1+−1+故选C【点睛】本题考查的是正多边形的性质，等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，证明△ABF∽△ACB是解本题的关键.13．（2023·江苏无锡·统考中考真题）下列命题：①各边相等的多边形是正多边形；②正多边形是中心对称图形；③正六边形的外接圆半径与边长相等；④正n边形共有n条对称轴．其中真命题的个数是（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】C【分析】根据正多边形的性质以及正多边形与圆的关系逐一进行判断即可．【详解】解：各边相等各角相等的多边形是正多边形，只有各边相等的多边形不一定是正多边形，如菱形，故①是假命题；正三角形和正五边形就不是中心对称图形，故②为假命题；正六边形中由外接圆半径与边长可构成等边三角形，所以外接圆半径与边长相等，故③为真命题；根据轴对称图形的定义和正多边形的特点，可知正n边形共有n条对称轴，故④为真命题.故选：C．【点睛】本题考查的是正多边形的概念以及正多边形与圆的关系，属于基础题型．14．（2022秋·湖北孝感·九年级校联考阶段练习）半径为a的圆的内接正六边形的边心距是（）A．a2 B．2a2 C．3【答案】C【分析】连接OA、OB，过点O作OH垂直AB于点H．根据圆内接正六边形的性质，即可证明△AOB是等边三角形，再根据等边三角形的性质结合勾股定理，即可解出正六边形边心距．【详解】如图，连接OA、OB，过点O作OH垂直AB于点H，∵六边形ABCDEF为正六边形∴∠AOB=60°，OA=OB=AB=a，AH=BH=a2∴OH=OOH即为正六边形边心距．故选C【点睛】本题考查圆内接正六边形的性质．了解圆的半径即为正六边形的边长是解本题的关键．15．（2023春·全国·九年级专题练习）半径相等的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边长之比（

）A．1：2：5 B．3：2：1 C．3：2：1 D．1：2：3【答案】B【分析】设圆的半径为R，分别画出圆的内接正三角形、正方形、正六边形，根据锐角三角函数的定义，等腰直角三角形的性质和等边三角形的性质，求出边长即可．【详解】解：设圆的半径为R，如图（一），连接OB，过O作OD⊥BC于D，则∠OBC=30°，BD=OB·cos故BC=2BD=3如图（二），连接OB、OC，过O作OE⊥BC于E，则△OBE是等腰直角三角形，即BE=2故BC=2BE=2如图（三），连接OA、OB，过O作OG⊥AB于G，则△OAB是等边三角形，故AG=OA·cos∴AB=2AG=R，故圆内接正三角形、正方形、正六边形的边长之比为3R:故选：B．【点睛】本题考查了正多边形的计算，一般是通过中心作边的垂线，连接半径，把正多边形中的半径，边长，边心距，中心角之间的计算转化为解直角三角形．二、填空题16．（2022秋·河南郑州·九年级校联考阶段练习）六个带30°角的直角三角板拼成一个正六边形，直角三角板的最短边为2，求中间正六边形的面积．【答案】6【分析】利用△ABG≌△BCH得到AG=BH，再根据含30度的直角三角形三边的关系得到BG=2AG，接着证明HG=AG可得结论．【详解】解：如图，作正六边形的中心点O，连接OM、ON、OP、OQ、OH、OG，∵△ABG≌△BCH，∴AG=BH，∵∠ABG=30°，∴BG=2AG，即BH+HG=2AG，∴HG=AG=2，∴中间正六边形可以看作是6个边长为2的正三角形组成的，∴中间正六边形的面积=6×1故答案为：63【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．也考查了正多边形与圆，解题的关键是求出HG．17．（2022秋·九年级单元测试）如图所示，⊙O的半径为1，作两条互相垂直的直径AB，CD，弦AC是⊙O的内接正四边形的一条边.若以A为圆心，以1为半径画弧，交⊙O于点E，F，连接AE，CE，弦EC是该圆一个内接正多边形的一边，则该正多边形的面积为．

【答案】3【分析】如图所示，连接OE，作EG⊥OC于点G，由题意可得三角形AEO是等边三角形，进而可得∠EOC=30°，可得EC是该圆内接正十二边形的一边，然后根据该正多边形的面积=12S【详解】解：如图所示，连接OE，作EG⊥OC于点G．

根据题意可知，AB⊥CD，AE=AO=EO，∴三角形AEO是等边三角形，∠AOC=90°，∴∠AOE=60°，∴∠EOC=30°，∴EC是该圆内接正十二边形的一边．∵△COE是顶角为30°的等腰三角形，∴EG=1∴该正多边形的面积为12S故答案为：3．【点睛】本题考查了正多边形和圆，属于常考题型，正确理解题意、熟练掌握相关知识是解题的关键．18．（2023春·全国·九年级专题练习）如图，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，则∠ADC的度数是．【答案】72°【分析】连接AC，根据正五边形的性质以及三角形内角和定理可得∠ACB+∠BAC=72°，根据圆周角定理可得∠ADC=∠ADB+∠CDB=∠ACB+∠BAC=72°．【详解】解：连接AC，∵ABCDE是正五边形，∴其每个内角都是108°，∴∠ACB+∠BAC=72°，∵∠ACB=∠ADB，∠BAC=∠CDB，∴∠ADC=∠ADB+∠CDB=∠ACB+∠BAC=72°，故答案为：72°．【点睛】本题考查圆与正多边形，掌握圆周角定理、正五边形每个内角的度数是解题的关键．19．（2022秋·天津宁河·九年级阶段练习）一个正六边形的半径为R，则这个正六边形的边心距为【答案】32【详解】试题解析：如图所示，∵正六边形的半径是OA=OB=R，∴∠AOB=（3606）°=60°，∠AOD=1∴OD=OA•cos30°=3220．（2023春·广东揭阳·九年级普宁二中实验学校校考阶段练习）如图，边长为4的正六边形ABCDEF的中心与坐标原点O重合，AF∥x轴，将正六边形ABCDEF绕原点O顺时针旋转n次，每次旋转60°，当n=2023时，顶点A的坐标为．【答案】（4，0）【分析】由正六边形的中心角是60°可知，将正六边形ABCDEF绕原点O顺时针旋转2023次时，点A所在的位置与点E点所在的位置重合．【详解】解：连接OA、OC、OD、OF，∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠AOF=∠FOE=∠EOD=∠DOC=∠COB=∠BOA=60°，∵将正六边形ABCDEF绕原点O顺时针旋转，每次旋转60°，∴点A旋转6次回到点A，2023÷6=336…2，∴正六边形ABCDEF绕原点O顺时针旋转2023次，与点E重合，∴顶点A的坐标为（4，0），故答案为（4，0）．【点睛】此题主要考查了图形类探索与规律，正六边形的性质，坐标与图形的性质-旋转，此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．21．（2023·山东青岛·统考一模）如图，有六个矩形水池环绕，矩形的内侧边所在直线恰好围成正六边形ABCDEF，正六边形的边长为4米．要从水源点P处向各水池铺设供水管道，这些管道的总长度最短是米．（结果保留根号）【答案】123【分析】根据正六边形的性质，可得ED∥AB，DC∥FA，EF∥CB，然后根据平行线之间的距离处处相等，可令点P为正六边形ABCDEF的中心，过点P作PG⊥ED于G，先求出正六边形的中心角，即可求出∠P，根据正六边形的性质和锐角三角函数分别求出GD和PG，根据垂线段最短，P到ED的最短距离即为PG，最后根据正六边形的性质即可求出这些管道的最短总长度.【详解】解：∵六边形ABCDEF为正六边形∴ED∥AB，DC∥FA，EF∥CB根据平行线之间的距离处处相等，可令点P为正六边形ABCDEF的中心过点P作PG⊥ED于G，∵正六边形的中心角为360°÷6＝60°，∴∠P＝30°，∵正六边形的边长为4米，∴GD＝12×4＝2PG＝GDtan30°＝23根据垂线段最短，P到ED的最短距离为PG＝23米．∴这些管道的总长度最短是6×23＝123米．故答案为:123.【点睛】此题考查的是正六边形的性质、平行线的性质和解直角三角形，掌握正六边形的性质、平行线之间的距离处处相等、垂线段最短和用锐角三角函数解直角三角形是解决此题的关键.22．（2022秋·河北石家庄·九年级校联考期末）如图，如果AB、AC分别是圆O的内接正三角形和内接正方形的一条边，则∠COB=°，BC一定是圆O的内接正n边形的一条边，那么n=．【答案】3012【分析】利用正多边形与圆，分别计算圆O的内接正方形与内接正三角形的中心角得到∠AOC=90°，∠AOB=120°，则∠BOC=30°，然后计算即可得到n的值．【详解】解：如图，∵AB、AC分别为圆O的内接正方形与内接正三角形的一边，∴∠AOC=360°4=90°∴∠BOC=∠AOB−∠AOC=30°，∴n=360°故答案为：30，12．【点睛】本题考查了正多边形与圆：把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆；熟练掌握正多边形的有关概念是关键．23．（2023春·上海·九年级专题练习）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，点F为BC上一点，连接AF，若∠AFC＝126°，则∠BAF的度数为．【答案】18°．【分析】根据正五边形内角和可以求出∠ABC的度数，再根据三角形外角的性质即可求出∠BAF的度数．【详解】解：∵正五边形ABCDE内接于⊙O，∴∠ABC=(5−2)×180°5∵∠AFC=126°，∴∠BAF=