2024-2025学年四川省泸州市泸县五中高二（上）月考数学试卷（9月份）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年四川省泸州市泸县五中高二（上）月考数学试卷（9月份）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.下列说法正确的是(

)A.身高是一个向量

B.温度有零上温度和零下温度之分，故温度是向量

C.有向线段由方向和长度两个要素确定

D.有向线段MN和有向线段NM的长度相等2.若复数z满足(1−i)z=2i，则z⋅z−A.14 B.12 C.2 3.如图，点O是正六边形ABCDEF的中心，图中与CA共线的向量有(

)A.1个

B.2个

C.3个

D.4个4.已知a，b是夹角为120°的两个单位向量，若向量a+λb在向量a上的投影向量为2a，则λ=A.−2 B.2 C.−235.“直线l⊥AB，l⊥AC”是“直线l⊥BC”的(

)A.充分非必要条件 B.必要非充分条件

C.充要条件 D.既非充分又非必要条件6.由斜二测画法得到的一个水平放置的三角形的直观图是等腰三角形，底角为30°，腰长为2，如图，那么它在原平面图形中，顶点B′到x轴的距离是(

)A.1

B.2

C.2

D.7.在△ABC中，D为边BC上一点，∠DAC=2π3，AD=4，AB=2BD，且△ADC的面积为43，则A.15−38 B.158.如今中国被誉为基建狂魔，可谓是逢山开路，遇水架桥.公路里程、高铁里程双双都是世界第一.建设过程中研制出用于基建的大型龙门吊、平衡盾构机等国之重器更是世界领先.如图是某重器上一零件结构模型，中间最大球为正四面体ABCD的内切球，中等球与最大球和正四面体三个面均相切，最小球与中等球和正四面体三个面均相切，已知正四面体ABCD棱长为26，则模型中九个球的表面积和为(

)A.6π B.9π C.31π4 D.二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.某次数学考试后，为分析学生的学习情况，某校从某年级中随机抽取了100名学生的成绩，整理得到如图所示的频率分布直方图.为进一步分析高分学生的成绩分布情况，计算得到这100名学生中，成绩位于[80,90)内的学生成绩方差为12，成绩位于[90,100)内的同学成绩方差为10.则(

)

参考公式：样本划分为2层，各层的容量、平均数和方差分别为：m,x−,s12；n,y−A.a=0.004

B.估计该年级学生成绩的中位数为77.14

C.估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的平均数为87.50

D.估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的方差为30.2510.已知事件A，B满足P(A)=0.6，P(B)=0.2，则下列结论正确的是(

)A.P(A−)=0.8,P(B−)=0.4

B.如果B⊆A，那么P(A∪B)=0.6

C.如果A与B互斥，那么P(A⋃B)=0.8

D.11.在长方体ABCD−A1B1C1D1A.AC⊥BD1

B.异面直线AD1与B1C所成的角为90°

C.二面角D1−AC−D三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知一组数据8.6，8.9，9.1，9.6，9.7，9.8，9.9，10.2，10.6，10.8，11.2，11.7，则该组数据的第80百分位数为______．13.已知A(2,0)，O(0,0)，且|OB|=|OC|=2，则14.△ABC中，∠ABC的角平分线BD交AC于D点，若BD=1且∠ABC=2π3，则S△ABC四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知向量a,b的夹角为3π4,|a|=3,|b|=22．

(1)求|a−216.(本小题15分)

2023年10月22日，汉江生态城2023襄阳马拉松在湖北省襄阳市成功举行，志愿者的服务工作是马拉松成功举办的重要保障，襄阳市新时代文明实践中心承办了志愿者选拔的面试工作.现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组[45,55)，第二组[55,65)，第三组[65,75)，第四组[75,85)，第五组[85,95]，绘制成如图所示的频率分布直方图.已知第一、二组的频率之和为0.3，第一组和第五组的频率相同．

(1)估计这100名候选者面试成绩的平均数和第25百分位数；

(2)在这100名候选者用分层随机抽样的方法从第四组和第五组面试者内抽取10人，再从这10名面试者中随机抽取两名，求两名面试者成绩都在第五组的概率．

(3)现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人，担任本市的宣传者.若本市宣传者中第二组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为62和40，第四组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为80和70，据此估计这次第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差．17.(本小题15分)

如图所示，在△ABC中，OC=14OA，OD=12OB，AD与BC交于M点.设OA=a，OB=b，

(1)用a，b表示OM；

(2)在已知线段AC一点E，在线段BD上取一点F，使EF过点18.(本小题17分)

如图所示，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD为等边三角形．AD=DE=2AB，F为CD的中点．

(1)证明：AF//平面BCE．

(2)证明：平面BCE⊥平面CDE．

(3)在DE上是否存在一点P，使直线BP和平面BCE所成的角为30°？19.(本小题17分)

已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．

(1)若边AB的中线CD长为3，对∀x∈[0,1]，且x+y=1，(xCB+yCA)⋅CD≥9恒成立，试判断“AC=BC”是否成立？

(2)若△ABC为非直角三角形，且a+c=mb，其中m>1．

(ⅰ)证明：tanA2tanC2=m−1m+1；

(ⅱ)是否存在函数φ(m)参考答案1.D

2.C

3.C

4.A

5.A

6.D

7.A

8.B

9.BCD

10.BCD

11.ACD

12.10.8

13.−2

14.315.解：(1)因为向量a与b的夹角为3π4，且|a|=3,|b|=22，

所以a⋅b=|a||b|cos3π4=3×22×(−22)=−6，

所以|a−2b|=(a−2b)2=|a|2+4|b|2−4a⋅b=9+4×8+24=65；

(2)因为向量a与b的夹角为3π16.解：(1)由题意可知：10a+10b=0.310(0.045+0.020+a)=0.7，

解得a=0.005b=0.025，可知每组的频率依次为：0.05，0.25，0.45，0.2，0.05，

所以平均数为50×0.05+60×0.25+70×0.45+80×0.2+90×0.05=69.5，

因为0.05+0.25=0.3>0.25，

设第25百分位数为x，则x∈[55,65)，则0.05+(x−55)×0.025=0.25，解得x=63，故第25百分位数为63．

(2)10人中，第四组为8人．第五组为2人，记第四组的人的编号为1到8，第五组的人的编号为9和10，

则样本空间Ω={(1,2)，(1,3)，(1,4)，⋯(1,10)，(2,3)，(2,4)，⋯(2,10)，(3,4)，(3,5)，⋯(3,10)，(4,5)，

(4,6)，⋯(4,10)，(5,6)，⋯(5,10)，(6,7)，⋯(6,10)，(7,8)，(7,9)，(7,10)，(8,9)，(8,10)，(9,10)}共45个样本点，

记两名面试者成绩都在第五组为事件A，则事件A={(9,10)}，故P(A)=145；

(3)设第二组、第四组面试者的面试成绩的平均数与方差分别为x−1,x−2,s12,s217.解：(1)∵OA=a，OB=b

由A，M，D三点共线可得存在实数t使得

OM=tOA+(1−t)OD=ta+(1−t)⋅12b=1−t2b+ta

同理由C，M，B三点共线可得存在实数18.证明：(1)取CE的中点M，连接MF，BM，如图所示：

∴MF是△CDE的中位线，∴MF/​/DE，MF=12DE，

∵DE//AB，DE=2AB，

∴AB//MF，且AB=MF，

∴四边形ABMF是平行四边形，

∴AF//BM，

又∵AF⊄平面BCE，BM⊂平面BCE，

∴AF/​/平面BCE．

(2)∵AB⊥平面ACD，AF⊂平面ACD，

∴AB⊥AF，∴四边形ABMF是矩形，

∴BM⊥MF，

∵△ACD是正三角形，F是CD的中点，

∴CD⊥AF，

∵AB//MF，AB⊥平面ACD，

∴MF⊥平面ACD，又∵CD⊂平面ACD，

∴MF⊥CD，

∵AF∩MF=F，AF⊂平面ABMF，MF⊂平面ABMF，

∴CD⊥平面ABMF，又∵BM⊂平面ABMF，

∴CD⊥BM，∵MF∩CD=F，MF⊂平面CDE，CD⊂平面CDE，

∴BM⊥平面CDE，又∵BM⊂平面BCE，

∴平面BCE⊥平面CDE．

解：(3)假设DE上存在一点P，使直线BP和平面BCE所成的角为30°，连接DM，过P作PN⊥CE，垂足为N，连接BN，则∠PBN=30°，

设AB=1，则DE=AC=CD=AD=2，

∴BE=BC=5，CE=22，DM=CM=2，

∴cos∠BEP=DE−ABBE=55，

设PN=x，则PE=2x，PB=2x，

在△BPE中，由余弦定理得PB219.解：(1)AC=BC成立，理由如下：

设E为边AB(包括端点)上任