专题09 三角形中的特殊模型-燕尾（飞镖）型、风筝（鹰爪）模型（解析版）

专题09三角形中的特殊模型-燕尾（飞镖）型、风筝（鹰爪）模型近年来各地考试中常出现一些几何导角模型，该模型主要涉及角度的计算（内角和定理、外角定理等）。熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题就燕尾（飞镖）型、风筝（鹰爪）模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。模型1、“飞镖”模型（“燕尾”模型）图1图2条件：如图1，凹四边形ABCD；结论：①；②。条件：如图2，线段BO平分∠ABC，线段OD平分∠ADC；结论：∠O=（∠A+∠C）。飞镖模型结论的常用证明方法：例1．（2023·福建南平·八年级校考阶段练习）请阅读下列材料，并完成相应的任务：有趣的“飞镖图”．如图，这种形似飞镖的四边形，可以形象地称它为“飞镖图”．当我们仔细观察后发现，它实际上就是凹四边形．那么它具有哪些性质呢？又将怎样应用呢?下面我们进行认识与探究：凹四边形通俗地说，就是一个角“凹”逃去的四边形，其性质有：凹四边形中最大内角外面的角等于其余三个内角之和．（即如图1，∠ADB=∠A+∠B+∠C）理由如下：方法一：如图2，连结AB，则在△ABC中，∠C+∠CAB+∠CBA=180°，即∠1+∠2+∠3+∠4+∠C=180°，又：在△ABD中，∠1+∠2+∠ADB=180°，∴∠ADB=∠3+∠4+∠C，即∠ADB=∠CAD+∠CBD+∠C．方法二：如图3，连结CD并延长至F，∵∠1和∠3分别是△ACD和△BCD的一个外角，．．．．．．．．．．大家在探究的过程中，还发现有很多方法可以证明这一结论．任务：(1)填空：“方法一”主要依据的一个数学定理是_________；(2)探索及应用：根据“方法二”中辅助线的添加方式，写出该证明过程的剩余部分．【答案】(1)三角形的内角和定理(2)见解析【分析】（1）根据解题过程作答即可；（2）连结CD并延长至F，由三角形外角的性质即可证明．【详解】（1）由解题过程可得，“方法一”主要依据的一个数学定理是三角形的内角和定理，故答案为：三角形的内角和定理；（2）连结CD并延长至F，∵∠1和∠3分别是△ACD和△BCD的一个外角，，，即．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理和三角形外角的性质，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键．例2．（2023·吉林·八年级统考期末）图1是用一种彭罗斯瓷砖平铺成的图案，它的基础部分是“风筝”和“飞镖”两郎分，图2中的“风筝”和“飞镖”是由图3所示的特殊菱形制作而成．在菱形中，，在对角线上截取，连按，，可将菱形分割为“风筝”（凸四边）和“飞镖”（凹四边形）两部分，则图2中的°．【答案】144【分析】根据菱形的每一条对角线平分一组对角的性质、等腰三角形的相关性质以及三角形的全等证明，可以先求出的度数，再根据三角形全等求出,进而得出的度数．【详解】在菱形中，，，在与中故答案为：144【点睛】题目主要考查菱形对角线的性质、等腰三角形的相关性质以及三角形的全等证明方法，难度适中．例3．（2023·广东河源·八年级校考期末）（1）模型探究：如图1所示的“镖形”图中，请探究与、、的数量关系并给出证明；（2）模型应用：如图2，平分，平分，，，请直接写出的度数．【答案】（1）=++，理由见详解；（2）21°【分析】（1）连接CD并延长到点E，利用三角形的外角的性质求解即可；（2）由（1）可知：∠ADB-∠C=∠A+∠B=90°，从而得∠EDO-∠BCO=×90°=45°，结合∠EDO+∠E=∠BCO+∠B，即可求解．【详解】解：（1）=++，理由如下：连接CD并延长到点E，∵∠ADE＝∠ACD＋∠A，∠BDE＝∠BCD＋∠B，∴∠ADE＋∠BDE＝∠ACD＋∠A＋∠BCD＋∠B，∴=++．（2）由第（1）题可得：=++，∴∠ADB-∠ACB=∠A+∠B=66°+24°=90°，∵平分，平分，∴∠EDO-∠BCO=（∠ADB-∠C）=×90°=45°，∵∠DOE=∠BOC，∴∠EDO+∠E=∠BCO+∠B，∴∠B-∠E=∠EDO-∠BCO=45°，∴∠E=∠B-45°=66°-45°=21°．【点睛】本题考查三角形的外角的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理，掌握三角形外角的性质，是解题的关键．例4.（2023·浙江·八年级假期作业）如图所示，在中，，在上，，是上的任意一点，求证．【详解】作点关于的对称点，则点落在线段CD上．连接交于点，连接．由轴对称图形的性质可得，．在中，，在中，．因此，所以．例5．（2023·浙江杭州·八年级专题练习）（2018十三中开学考）已知，在中，∠A=60°，（1）如图①，∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O，则∠BOC=；（2）如图②，∠ABC和∠ACB的三等分线分别对应交于点O1，O2，则；（3）如图③，∠ABC和∠ACB的n等分线分别对应交于点O1，O2，…，（内部有个点），则；（4）如图③，∠ABC和∠ACB的n等分线分别对应交于点O1，O2，…，，若，求n的值．【答案】（1）120°；（2）100°；（3）；（4）n=4【分析】（1）根据三角形的内角和定理即可求出∠ABC＋∠ABC，然后根据角平分线的定义即可求出∠OBC＋∠OCB，再根据三角形的内角和定理即可求出结论；（2）根据三角形的内角和定理即可求出∠ABC＋∠ABC，然后根据三等分线的定义即可求出∠O2BC＋∠O2CB，再根据三角形的内角和定理即可求出结论；（3）根据三角形的内角和定理即可求出∠ABC＋∠ABC，然后根据n等分线的定义即可求出∠On－1BC＋∠On－1CB，再根据三角形的内角和定理即可求出结论；（4）根据（3）的结论列出方程即可求出结论．【详解】解：（1）∵在中，∠A=60°，∴∠ABC＋∠ABC=180°－∠A=120°∵∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O，∴∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB∴∠OBC＋∠OCB=∠ABC＋∠ACB=（∠ABC＋∠ACB）=60°∴∠BOC=180°－（∠OBC＋∠OCB）=120°故答案为：120°．（2）∵在中，∠A=60°，∴∠ABC＋∠ABC=180°－∠A=120°∵∠ABC和∠ACB的三等分线分别对应交于点O1，O2，∴∠O2BC=∠ABC，∠O2CB=∠ACB∴∠O2BC＋∠O2CB=∠ABC＋∠ACB=（∠ABC＋∠ACB）=80°∴180°－（∠O2BC＋∠O2CB）=100°故答案为：100°．（3）∵在中，∠A=60°，∴∠ABC＋∠ABC=180°－∠A=120°∵∠ABC和∠ACB的n等分线分别对应交于点O1，O2，……，∴∠On－1BC=∠ABC，∠On－1CB=∠ACB∴∠On－1BC＋∠On－1CB=∠ABC＋∠ACB=（∠ABC＋∠ACB）=°∴180°－（∠O2BC＋∠O2CB）=故答案为：（4）由（3）知：∴解得：n=4经检验：n=4是原方程的解．【点睛】本题考查了n等分线的定义和三角形的内角和定理，掌握n等分线的定义和三角形的内角和定理是解决此题的关键．模型2、风筝模型（鹰爪模型）或角内翻模型图1图21）鹰爪模型：结论：∠A+∠O=∠1+∠2；2）鹰爪模型（变形）：结论：∠A+∠O=∠2-∠1。图3图43）角内翻模型:如图3，将三角形纸片ABC沿EF边折叠，当点C落在四边形ABFE内部时，结论：2∠C=∠1+∠2；如图4，将三角形纸片ABC沿EF边折叠，当点C落在四边形ABFE外部时，结论：2∠C=∠2-∠1。例1．（2023·四川达州·八年级期末）如图，，，分别是四边形的外角，判定下列大小关系：①；②；③；④．其中正确的是．（填序号）【答案】①【分析】根据多边形（三角形）的外角和为即可求解．【详解】解：如图，连接，∵，，∴，故①正确，②不正确；∵多边形的外角和是，∴，故③④不正确，故答案为：①．【点睛】本题主要考查多边形的内角和定理、外角和性质，掌握以上知识，能正确添加辅助线构成三角形是解题的关键．例2.（2023春·广东·七年级专题练习）如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A'处，且A'B平分∠ABC，A'C平分∠ACB，若∠BA'C＝120°，则∠1+∠2的度数为（）A．90° B．100° C．110° D．120°【答案】D【分析】连接A'A，先求出∠BAC，再证明∠1+∠2=2∠BAC即可解决问题．【详解】解：如图，连接AA'，∵A'B平分∠ABC，A'C平分∠ACB，∴∠A'BC=∠ABC，∠A'CB=∠ACB，∵∠BA'C=120°，∴∠A'BC+∠A'CB=180°-120°=60°，∴∠ABC+∠ACB=120°，∴∠BAC=180°-120°=60°，∵沿DE折叠，∴∠DAA'=∠DA'A，∠EAA'=∠EA'A，∵∠1=∠DAA'+∠DA'A=2∠DAA'，∠2=∠EAA'+∠EA'A=2∠EAA'，∴∠1+∠2=2∠DAA'+2∠EAA'=2∠BAC=2×60°=120°，故选：D．【点睛】本题考查了三角形内角和定理、角平分线定义、三角形外角的性质、折叠变换等知识，解题的关键是正确添加辅助线，灵活应用所学知识，属于中考常考题型．例3．（2022秋·河北廊坊·八年级校考期中）如图，将三角形纸片沿折叠，当点A落在四边形的外部时，测量得，，则为（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】利用四边形的内角和定理求出，再利用三角形的内角和定理求出，根据对顶角相等得出，根据三角形内角和定理可得结果．【详解】解：∵，，∴，∴，∵，∴，故B正确．故选：B．

【点睛】本题主要考查了多边形的内角和定理及三角形的内角和定理，解题的关键是运用多边形的内角和定理求出的度数．例4．（2022秋·山东青岛·八年级统考期末）三角形内角和定理告诉我们：三角形三个内角的和等于如何证明这个定理呢？我们知道，平角是，要证明这个定理就是把三角形的三个内角转移到一个平角中去，请根据如下条件，证明定理．（1）【定理证明】

已知：如图①，求证：．（2）【定理推论】如图②，在中，有，点D是延长线上一点，由平角的定义可得，所以_______，从而得到三角形内角和定理的推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．【初步运用】如图③，点D、E分别是的边延长线上一点．（3）若，，则_______．（4）若，则_______．【拓展延伸】如图④，点D、E分别是四边形的边延长线上一点．（5）若，，则_________．（6）分别作和的平分线，如图⑤，若，则和的关系为__________．（7）分别作和的平分线，交于点O，如图⑥，求出，和的数量关系，说明理由．

【答案】（1）见解析；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7），理由见解析【分析】（1）过点作，根据平行线的性质和平角的定义解决．（2）根据三角形内角和定理和平角的定义即可解答．（3）三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和即可解答；（4）根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和可得，根据三角形的内角和定理得，以此即可求解．（5）连接，根据三角形内角和定理的推论即可解答．（6）过点作，由（1）可知，，则，根据平行线和角平分线的性质可得，则，以此即可求解．（7）由（1）可知，，则，根据角平分线的性质和四边形的内角和为即可求解．【详解】（1）证明：如图，过点作，

∵，，，，．（2），，．故答案为：．（3），，，；故答案为：；（4），，，，，．故答案为：．（5）如图，连接，

，，，，，．故答案为：．（6）如图，过点作，则，

由（1）知，，，，，，，、分别是和，，，．故答案为：．（7），理由如下：由（1）知，，，、分别为和的角平分线，，，，，，即．【点睛】本题考查三角形内角和定理的证明、三角形外角的性质、平行线的性质、角平分线的性质，根据题干作出正确的辅助线是解题关键．例5．（2022春·河南鹤壁·七年级统考期末）中，，点D，E分别是边AC，BC上的点，点P是一动点，令，，．初探：(1)如图1，若点P在线段AB上，且，则_____________；(2)如图2，若点P在线段AB上运动，则∠1，∠2，之间的关系为_____________；(3)如图3，若点P在线段AB的延长线上运动，则∠1，∠2，之间的关系为_____________；再探：(4)如图4，若点P运动到的内部，写出此时∠1，∠2，之间的关系，并说明理由．【答案】(1)；(2)；(3)；(4)，见解析．【分析】（1）连接，证明即可；（2）利用（1）中结论解答即可；（3）直接利用三角形的外角性质求解即可；（4）同样直接利用三角形的外角性质求解即可．【详解】（1）解：如图，连接，，，，，，，故答案为：；（2）解：由（1）可知，，故答案为：；（3）解：如图，，，，即，故答案为：；（4）解：，证明如下：如图，连接，，，，．【点睛】本题考查了三角形内角和定理和三角形的外角和性质，解题的关键是灵活运用所学求解．课后专项训练1．（2023春·江苏扬州·七年级统考期末）如图，、是边、上的点，沿翻折后得到，沿翻折后得到，且点在边上，沿翻折后得到，且点在边上，若，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据折叠的性质以及三角形内角和定理得出，，将已知数据代入，即可求解．【详解】解：如图所示，

依题意，∴即，∵∴∴∴∴故选：C．【点睛】本题考查了折叠的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键．2．（2023秋·浙江·八年级专题练习）如图，在ABC中，∠B+∠C＝α，按图进行翻折，使，则∠FE的度数是（）A． B．90°﹣ C．α﹣90° D．2α﹣180°【答案】D【分析】设∠ADB′＝γ，∠AGC′＝β，∠CEB′＝y，∠C′FE＝x，利用平行线的性质，三角形内角和定理构建方程组即可解决问题．【详解】解：设∠ADB′＝γ，∠AGC′＝β，∠CEB′＝y，∠C′FE＝x，∵，∴，，∴γ+β＝∠B+∠C＝α，∵EB′∥FG，∴∠CFG＝∠CEB′＝y，∴x+2y＝180°①，根据平行线的性质和翻折的性质可得：，，∴，∵γ+y＝2∠B，同理可得出：β+x＝2∠C，∴γ+y+β+x＝2α，∴x+y＝α②，②×2﹣①可得x＝2α﹣180°，∴∠C′FE＝2α﹣180°．故选：D．【点睛】本题考查三角形内角和定理，平行线的性质，翻折变换等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．3．（2023·河南·八年级假期作业）如图，在中，，与的角平分线交于，与的角平分线交于点，依此类推，与的角平分线交于点，则的度数是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据题意可得∠ABC+∠ACB=160°，BD1，CD1，CD2，BD2…BDn，CDn是角平分线，可得∠ABDn+∠ACDn=160×（）n，可求∠BCDn+∠CBDn的值，再根据三角形内角和定理可求结果．【详解】解：∵∠A=20°，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∴∠ABC+∠ACB=160°，∵BD1平分∠ABC，CD1平分∠ACB，∴∠ABD1=∠ABC，∠ACD1=∠ACD，∵BD2平分∠ABD1，CD2平分∠ACD1，∴∠ABD2=∠ABD1=∠ABC，∠ACD2=∠ACD1=∠ACB，同理可得∠ABD5=∠ABC，∠ACD5=∠ACB，∴∠ABD5+∠ACD5=160×=5°，∴∠BCD5+∠CBD5=155°，∴∠BD5C=180-∠BCD5-∠CBD5=25°，故选B．【点睛】本题考查了三角形内角和定理，角平分线，关键是找出其中的规律，利用规律解决问题．4．（2023春·江苏苏州·七年级统考期末）如图，在三角形纸片，，现将该纸片沿折叠，使点、分别落在点、处．其中，点在纸片的内部，点、分别在边、上．若，则等于（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】根据折叠的性质得到，，根据四边形和三角形的内角和定理即可得到结论．【详解】解：现将该纸片沿折叠，使点、分别落在点、处．，，，，，，，，，，故选：C．【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题），三角形的内角和定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．5．（2023秋·浙江·八年级专题练习）如图，在中，是边上的高，点E，F分别是，边上的点，连接，将沿着翻折，使点A与边上的点G重合，若，，则的度数为．

【答案】/49度【分析】利用三角形内角和求出，结合已知得到，可求得，再根据折叠的性质，可得，，进一步求出，再利用三角形内角和求出结果．【详解】解：∵是边上的高，，∴，∵，∴，∵，∴，∴，由折叠可得：，，∴，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了三角形内角和，折叠的性质，三角形的高，图中线段较多，解题的关键是理清角之间的关系，根据折叠得到相等的角．6．（203·四川德阳·八年级校考阶段练习）如图，△ABC中，∠A＝60°将△ABC沿DE翻折后，点A落在BC边上的点A′处．如果∠A′DB＝50°，那么∠A′ED的度数为．【答案】55°/55度【分析】首先求得∠ADA′，根据折叠的性质可得∠A′DE=∠ADE=∠ADA′，在△A′DE中利用三角形内角和定理即可求解．【详解】解：∵∠ADA′=180°-∠A′DB=180°-50°=130°，∴根据折叠的性质得：∠A′DE=∠ADE=∠ADA′=65°，∠DA′E=∠A=60°，∴∠A′ED=180°-∠A′DE-∠DA′E=180°-65°-60°=55°．故答案为：55°．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，折叠的性质，找出图形中相等的角是关键．7．（2023秋·山东济宁·八年级统考期末）如图所示，将△ABC沿着DE翻折，若∠1+∠2＝80°，则∠B＝度．【答案】40．【分析】利用三角形的内角和和四边形的内角和即可求得．【详解】∵△ABC沿着DE翻折，∴∠1+2∠BED＝180°，∠2+2∠BDE＝180°，∴∠1+∠2+2（∠BED+∠BDE）＝360°，而∠1+∠2＝80°，∠B+∠BED+∠BDE＝180°，∴80°+2（180°﹣∠B）＝360°，∴∠B＝40°．故答案为：40°．【点睛】本题考查图形的折叠变化及三角形的内角和定理．关键是要理解折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，只是位置变化．8．（2023·山东八年级课时练习）如图，中，，D是上一点，延长至E，使．试确定与的位置关系，并证明你的结论（一题多解）．【答案】见解析【分析】解法一：如图所示，延长ED到F交BC于F，根据三角形内角和定理和三角形外角的性质证明∠B+∠BDF=90°即可得到答案；解法二：如图，过点D作DF∥BC交AC于F，根据三角形内角和定理和平行线的性质证明∠ADF+∠EDA=90°，即可得到答案．【详解】解：ED⊥BC，证明如下：解法一：如图所示，延长ED到F交BC于F，∵AB=AC，AD=AE，∴∠E=∠ADE，∠C=∠B，∵∠ADE=∠BDF，∴∠E=∠BDF，∵∠E+∠C=∠BFD，∠B+∠BFD+∠BDF=180°∴∠E+∠B+∠C+∠BDF=180°即2∠B+2∠BDF=180°，∴∠B+∠BDF=90°，∴ED⊥BC；解法二：如图，过点D作DF∥BC交AC于F，∵AB=AC，AD=AE，∴∠E=∠ADE，∠C=∠B，∵DF∥BC，∴∠B=∠ADF，∠C=∠AFD∴∠AFD=∠ADF，∵∠E+∠EDF+∠EFD=180°，即∠E+∠EDA+∠ADF+∠EFD=180°，∴2∠ADF+2∠EDA=180°，∴∠ADF+∠EDA=90°，∴∠EDF=90°，∴ED⊥DF，∴ED⊥BC．【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，等腰三角形的性质，平行线的性质，垂直的判定，三角形外角的性质等等，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．9．（2023·重庆·八年级统考期末）已知，如图，P，Q为三角形ABC内两点，B，P，Q，C构成凸四边形．

求证：．【详解】作直线PQ，分别与AB，AC交于点M，N由三角形的三边关系可得=1\*GB3①+②+③得∴，即．10．（2023秋·山东·八年级专题练习）已知，在中，点E在边上，点D是上一个动点，将沿E、D所在直线进行翻折得到．(1)如图，若，则______；(2)在图中细心的小明发现了，，之间的关系，请您替小明写出这个数量关系并证明．【答案】(1)；(2)，证明见解析．【分析】（1）先由三角形内角和求出，再由折叠的性质得，进而可求出的度数；（2）先由三角形内角和求出，再由折叠的性质得，进而可求出，，之间的关系．【详解】（1）在中，，∴．由折叠的性质，可知：，，∴．又∵∠，∴．故答案为：；（2）．证明：在中，，∴．由折叠的性质，可知：，∴．又∵，∴，即．【点睛】本题考查了三角形内角和，以及折叠的性质，熟练掌握折叠的性质是解答本题的关键．11．（2023·北京·一模）在课外活动中，我们要研究一种凹四边形——燕尾四边形的性质．定义1：把四边形的某些边向两方延长，其他各边有不在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫做凹四边形（如图1）．（1）根据凹四边形的定义，下列四边形是凹四边形的是（填写序号）；①②③定义2：两组邻边分别相等的凹四边形叫做燕尾四边形（如图2）．特别地，有三边相等的凹四边形不属于燕尾四边形．小洁根据学习平行四边形、菱形、矩形、正方形的经验，对燕尾四边形的性质进行了探究.下面是小洁的探究过程，请补充完整：（2）通过观察、测量、折叠等操作活动，写出两条对燕尾四边形性质的猜想，并选取其中的一条猜想加以证明；（3）如图2，在燕尾四边形ABCD中，AB=AD=6，BC=DC=4，∠BCD=120°，求燕尾四边形ABCD的面积（直接写出结果）．【答案】（1）①；（2）证明见解析；（3）．【分析】（1）根据凹四边形的定义即可得出结论；（2）由燕尾四边形的定义可以得出燕尾四边形的性质；（3）连接BD，根据SΔABD-SΔBCD即可求出燕尾四边形ABCD的面积．【详解】解：（1）由凹四边形的定义得出，图①是凹四边形．故答案是①；（2）①一组对角相等；②它是一个轴对称图形；①已知：如图1，在凹四边形ABCD中，AB=AD，BC=DC．求证：∠B=∠D．证明：连接AC．在△ABC和△ADC中，，∴△ABC≌△ADC．∴∠B=∠D．②由①知，△ABC≌△ADC，∴AC所在的直线是燕尾四边形的对称轴；（3）如图2，连接AC，过点B作BE⊥AC交AC的延长线于E；由（2）知，燕尾四边形ABCD是轴对称图形，∴∠BCE=∠BCD=60°，∴∠CBE=30°，在Rt△BCE中，∠CBE=30°，BC=4，∴CE=BC=2，BE=CE=2，在Rt△ABE中，AB=6，BE=2，根据勾股定理得，AE=，∴S△ABC=S△ABE-S△CBE=BE•AE-BE•CE=BE（AE-CE）=×2×（2-2）=6-2∴燕尾四边形ABCD的面积为2S△ABC=12−4．【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，含30°的直角三角形的性质，勾股定理，三角形的面积公式，解本题的关键是构造出直角三角形．12．（2023春·河南新乡·七年级期中）发现与探究【发现】根据三角形外角的性质可推理得：如图1在四边形中，判断与的数量关系．请将如下说理过程补充完整．解：，理由：延长交于点，∵是的外角，∴________________________________，同理，是的外角，∴________________________________，∴（等量代换）．【验证】某木材零件如图2所示，图纸要求，，零件样品生产出来后，经测量得到，请你用“发现”得到的结论判断该零件样品是否符合规格，并说明理由．【探究】如图3是某公司开发的可调躺椅示意图（数据如图所示），与的交点为，且，，保持不变，为了舒适，需调整的大小，使，请直接写出，应将图中______（填“增加”或“减小”）______°．【答案】发现：，；验证：不符合规格，理由见解析；探究：增加，5【分析】（1）发现：延长交于点，根据三角形的外角定理得出，，即可得出结论；（2）验证：由“发现”中的结论可得，则，求出符合规格的零件，即可得出结论；（3）探究：根据三角形的内角和定理和对顶角相等得出，再根据“发现”中的结论得出，即可得出结论．【详解】解：（1）发现：解：，理由：延长交于点，∵是的外角，∴，同理，是的外角，∴，∴（等量代换）．故答案为：，；（2）验证：由“发现”可知：，∴，∵符合标准的零件，，∴符合标准的零件，∵，∴该零件不符合规格；（3）探究：∵，∴，∴，∵，保持不变，∴应增加故答案为：增加，5．【点睛】本题主要考查了三角形的外角定理，三角形的内角和定理，解题的关键是掌握三角形那个的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和．13．（2023春·上海·七年级专题练习）（1）在锐角中，边上的高所在直线和边上的高所在直线的交点为，，求的度数．（2）如图，和分别平分和，当点在直线上时，且B、P、D三点共线，，则_________．（3）在（2）的基础上，当点在直线外时，如下图：，，求的度数．【答案】（1）；（2）；（3）．【分析】（1）根据对顶角相等以及四边形的内角和进行判断即可；（2）法一：根据以及和分别平分和，算出和,从而算出；法二：根据三角形的外角定理得到∠APC=∠B+∠PAB＋∠PCB，再求出∠PAB＋∠PCB，故可求解；（3）法一：连接AC，根据三角形的内角和与角平分线的性质分别求出，，故可求解；法二：连接BD并延长到G根据三角形的外角定理得到∠ADC＝∠2＋∠4＋∠APC，再求出∠2＋∠4，故可求解．【详解】（1）如图边上的高所在直线和边上的高所在直线的交点为∴又∵∴∵在四边形中，内角和为∴．（2）法一：∵和分别平分和∴又∵∴∴∴．法二：连接BD，∵B、P、D三点共线∴BD、AF、CE交于P点∵∠APD=∠BAP+∠ABP，∠CPD=∠BCP+∠CBP，∴∠APC=∠B+∠PAB＋∠PCB∵和分别平分和，∴∠PAC=∠PAB，∠PCA=∠PCB，∵∠APC＝100°，∴∠PAC＋∠PCA＝180°−100°＝80°，∴∠PAB＋∠PCB＝80°，∴∠B＝∠APC−（∠PAB＋∠PCB）＝100°−80°＝20°．（3）法一：如图：连接AC∵，∴∴又∵和分别平分和∴∴∴．法二：如图，连接BD并延长到G，∵∠ADG＝∠2＋∠APD，∠CDG＝∠4＋∠CPD，∴∠ADC＝∠2＋∠4＋∠APC，∴∠2＋∠4=30°同理可得∠APC＝∠1＋∠3＋∠B，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴∠B＝∠APC-∠2-∠4=100°-30°=70°∴∠B＝70°．【点睛】本题考查三角形的外角，角平分线的定义，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．14．（2023春·福建福州·七年级校考期末）如图①，凹四边形形似圆规，这样的四边形称为“规形”，(1)如图①，在规形中，若，，，则______°；(2)如图②，将沿，翻折，使其顶点A，B均落在点O处，若，则______°；(3)如图③，在规形中，、的角平分线、交于点E，且，试探究，，之间的数量关系，并说明理由．【答案】(1)20(2)54(3)；理由见解析【分析】（1）连接，并延长到点E，根据三角形外角的性质得出、，即可得出，根据，，，即可得出答案；（2）根据翻折得出，，根据三角形内角和得出，在根据，列出关于的方程，解方程即可得出答案；（3）根据角平分线的定义结合解析（1）得出，，根据，，即可得出答案．【详解】（1）解：如