专题03 圆中的重要模型-四点共圆模型（原卷版）

专题03圆中的重要模型-四点共圆模型四点共圆是初中数学的常考知识点，近年来，特别是四点共圆判定的题目出现频率较高。相对四点共圆性质的应用，四点共圆的判定往往难度较大，往往是填空题或选择题的压轴题，而计算题或选择中四点共圆模型的应用（特别是最值问题），通常能简化运算或证明的步骤，使问题变得简单。本文主要介绍四点共圆的四种重要模型。四点共圆：若在同一平面内，有四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，一般简称为“四点共圆”。模型1、定点定长共圆模型（圆的定义）【模型解读】若四个点到一定点的距离相等，则这四个点共圆。这也是圆的基本定义，到定点的距离等于定长点的集合。条件：如图，平面内有五个点O、A、B、C、D，使得OA=OB=OC=OD，结论：A、B、C、D四点共圆（其中圆心为O）。例1．（2022·江苏·二模）如图，点为线段的中点，点到点的距离相等，若则的度数是例2．（2022秋·江西赣州·九年级校联考期中）如图，点O为线段AB的中点，点B，C，D到点O的距离相等，连接AC，BD．则下面结论不一定成立的是（

）A．∠ACB=90°B．∠BDC=∠BACC．AC平分∠BADD．∠BCD+∠BAD=180°例3．（2022·内蒙古包头·三模）问题背景：如图1，等腰中，，作于点D，则D为的中点，，于是；迁移应用：如图2，和都是等腰三角形，，D，E，C三点在同一条直线上，连接．①求证：；②请直接写出线段之间的等量关系式；拓展延伸：如图3，在菱形中，，在内作射线，作点C关于的对称点E，连接并延长交于点F，连接，．证明是等边三角形；例4．（2022·北京市·九年级专题练习）如图，四边形中，、分别是，的中垂线，，，则___，___．模型2、定边对双直角共圆模型同侧型异侧型1）定边对双直角模型（同侧型）条件：若平面上A、B、C、D四个点满足，结论：A、B、C、D四点共圆，其中AD为直径。2）定边对双直角模型（异侧型）条件：若平面上A、B、C、D四个点满足，结论：A、B、C、D四点共圆，其中AC为直径。例1．（2022秋·福建福州·九年级校考期中）如图，四边形ABCD中，连接AC、BD，点O为AB的中点，若，则下面结论一定正确的是．①DC＝CB；②∠DAC＝∠DBC；③；④点A、C、D到点O的距离相等．例2．（2022·浙江嘉兴·二模）如图，四边形ABCD中，∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝1，AE⊥AD，交BC于点E，EA平分∠BED．（1）CD的长是；（2）当点F是AC中点时，四边形ABCD的周长是．例3．（2022·湖北武汉·校考二模）如图，等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为BC边上一点，连接AD．（1）如图1，作BE⊥AD延长线于E，连接CE，求证：∠AEC＝45°；（2）如图2，P为AD上一点，且∠BPD＝45°，连接CP．若AP＝2，求△APC的面积；例4．（2022·四川成都·统考二模）如图，在矩形ABCD中，AB＝9，AD＝6，点O为对角线AC的中点，点E在DC的延长线上且CE＝1.5，连接OE，过点O作OF⊥OE交CB延长线于点F，连接FE并延长交AC的延长线于点G，则＝．模型3、定边对定角共圆模型条件：如图1，平面上A、B、C、D四个点满足，结论：A、B、C、D四点共圆．条件：如图2，AC、BD交于H，，结论：四点共圆.例1．（2023·黑龙江哈尔滨·九年级校联考阶段练习）如图，等边△ABC中，D在BC上，E在AC上，BD＝CE，连BE、AD交于F，T在EF上，且DT＝CE，AF＝50，TE＝16，则FT＝．例2．（2022秋·湖南长沙·九年级校考阶段练习）如图，已知中，，，，，过点作的垂线，与的延长线交于点，则的最大值为（

）A．4 B．5 C． D．例3．（2023·浙江·九年级假期作业）请阅读以下材料，完成相应任务．我们知道，过任意一个三角形的三个顶点能作一个圆，那么过任意一个四边形的四个顶点能作一个圆吗？李雷经过实践探究发现了如下结论：如果线段同侧两点（与线段在同一平面内）分别与线段两端点的连线所组成的夹角相等，那么这两点和线段两端点四点共圆．下面是李雷证明上述命题的过程（不完整）．已知：如图1，点，是线段同侧两点，且．求证：点，，，四点共圆．证明：作的外接圆，假设点在外或在内．如图2，若点在外．设与交于点，连接，则（依据一），又（依据二），．．这与已知条件“”矛盾，故点在外不成立；如图3，若点在内，（请同学们补充完整省略的部分证明过程）综上所述，作的外接圆，点在上，即点，，，四点共圆．(1)填空：将材料中依据一、依据二补充完整；依据一：；依据二：．(2)请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；(3)填空：如图4，在四边形中，，对角线，交于点，为中点，若，，则．模型4、对角互补共圆模型条件：如图1，平面上A、B、C、D四个点满足，结论：A、B、C、D四点共圆．条件：如图2，BA、CD的延长线交于P，，结论：A、B、C、D四点共圆.例1．（2022秋·广东惠州·九年级校考阶段练习）如图，将绕点A逆时针旋转，得到，其中点与点对应，点与点对应．(1)画出．(2)直线与直线相交于点，证明：A，，，四点共圆．例2．（2023·江苏·九年级假期作业）如图，中，，平分，，连接，并延长分别交，于点和点，若，，则的长为（）A．10 B．12 C．15 D．16例3．（2023·江苏·九年级假期作业）如图，，，点、分别是线段、射线上的动点，以为斜边向上作等腰，，连接，则的最小值为．

例4．（2023·河南南阳·校考三模）综合实践课上，刘老师介绍了四点共圆的判定定理：若平面上四点连成四边形的对角互补或一个外角等于其内对角，那么这四点共圆．在实际应用中，如果运用这个定理，往往可以让复杂的问题简单化，以下是小明同学对一道四边形问题的分析，请帮助他补充完整．

特殊情况分析：(1)如图1，正方形中，点为对角线上一个动点，连接，将射线绕点顺时针旋转的度数，交直线于点．小明的思考如下：连接，∵，，∴，（依据1）∵，∴，∴点共圆，∴，，（依据2）∴，∴．（依据3）填空：①依据1应为___________，②依据2应为___________，③依据3应为___________；一般结论探究：(2)将图1中的正方形改为菱形，其他条件不变，（1）中的结论是否成立，若成立，请仅以图2的形式证明，若不成立，请说明理由；结论拓展延伸：(3)如图2，若，，当为直角三角形时，请直接写出线段的长．课后专项训练1．（2023·广西·中考模拟）如图所示，四边形ABCD中，DC∥AB，BC=1，AB=AC=AD=2．则BD的长为（）A．B．C．D．2．（2023·浙江·统考中考真题）如图，在四边形中，，以为腰作等腰直角三角形，顶点恰好落在边上，若，则的长是（

）

A． B． C．2 D．13．（2021·浙江嘉兴·统考中考真题）如图，在中，，AB=AC=5，点在上，且，点E是AB上的动点，连结，点，G分别是BC，DE的中点，连接，，当AG=FG时，线段长为（

）A． B． C． D．44．（2022·四川宜宾·中考真题）如图，和都是等腰直角三角形，，点D是BC边上的动点（不与点B、C重合），DE与AC交于点F，连结CE．下列结论：①；②；③若，则；④在内存在唯一一点P，使得的值最小，若点D在AP的延长线上，且AP的长为2，则．其中含所有正确结论的选项是（

）A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④5．（2023·浙江·九年级假期作业）如图，在矩形ABCD中，已知AB＝3，BC＝4，点P是BC边上一动点（点P不与B，C重合），连接AP，作点B关于直线AP的对称点M，则线段MC的最小值为（）A．2 B． C．3 D．6．（2023春·湖北武汉·九年级校考阶段练习）如图，在中，点D为上一点，，点E在线段上，，若，，则的最大值为．7．（2023春·广东梅州·九年级校考开学考试）如图，量角器的直径与直角三角板ABC的斜边重合（），其中量角器0刻度线的端点N与点A重合，射线从处出发沿顺时针方向以每秒3度的速度旋转，与量角器的半圆弧交于点E，第20秒时点E在量角器上运动路径长是．

8．（2022秋·北京海淀·九年级校考期中）如图，点O为线段的中点，点B，C，D到点O的距离相等，连接，．请写出图中任意一组互补的角为和（不添加辅助线，不添加数字角标和字母）9．（2022·广东·东莞市九年级期末）如图，在锐角△ABC中，AB＝2，AC＝，∠ABC＝60°．D是平面内一动点，且∠ADB＝30°，则CD的最小值是________10．（2023·成都市·九年级专题练习）如图，在矩形中，为的中点，为边上的任意一点，把沿折叠，得到，连接．若，，当取最小值时，的值等于．11．（2023·江苏·九年级假期作业）如图，在中，，，的中点为O．求证：A，B，C，D四点在以O为圆心的圆上．

12．（2023·江苏·九年级假期作业）已知：如图，在正方形中，、分别是、的中点．(1)线段与有何关系．说明理由；(2)延长、交于点H，则B、D、G、H这四个点是否在同一个圆上．说明理由．13．（2023·广东·九年级专题练习）【结论理解】“善思”小组开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形的四个顶点共圆．该小组继续利用上述结论进行探究．(1)【问题探究】如图1，在矩形中，点E为上一点，将沿翻折，点C的对应点F恰好落在边上，做经过F、E、C三点的圆，请根据以上结论判断点B点______（填“在”或“不在”）该圆上；(2)如图2，四边形是的内接四边形，，，，求四边形的面积．(3)【问题解决】如图3，四边形是某公园的一块空地，现计划在空地中修建与两条小路，（小路宽度不计），将这块空地分成四部分，记两条小路的交点为P，其中与空地中种植草坪，与空地中分别种植郁金香和牡丹花．已知，且点C到的距离是，求种植牡丹花的地块的面积比种植郁金香的地块的面积多多少？14．（2023秋·湖北鄂州·九年级统考期末）请仔细阅读以下材料：定理一：一般地，如图，四边形中，如果连接两条对角线后形成的，则四点共圆．我们由定理可以进一步得出结论：，，．定理二：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．温馨提示：下面问题的关键地方或许能够用到上述定理，如果用到，请直接运用相关结论；如果你有自己更好的做法，那就以自己的做法为主，只要正确，一样得分．探究问题：如图，在和中，，，，连接交于点，交于点，连接．(1)求证；(2)请直接写出___________度，___________度；(3)若，求证．15．（2023·江苏·九年级假期作业）以下是“四点共圆”的几个结论，你能证明并运用它们吗？I．若两个直角三角形有公共斜边，则这两个三角形的4个顶点共圆（图①、②）；Ⅱ．若四边形的一组对角互补，则这个四边形的4个顶点共圆（图③）；Ⅲ．若线段同侧两点与线段两端点连线的夹角相等，则这两点和线段两端点共圆（图④）．(1)在图①、②中，取的中点O，根据得，即A，B，C，D共圆；(2)在图③中，画⊙O经过点A，B，D（图⑤）．假设点C落在外，交于点E，连接，可得，所以，得出矛盾；同理点C也不会落在内，即A，B，C，D共圆．结论Ⅲ同理可证．(3)利用四点共圆证明锐角三角形的三条高交于一点．已知：如图⑥，锐角三角形的高，相交于点H，射线交于点F．求证：是的高．（补全以下证明框图，并在图上作必要标注）(4)如图⑦，点P是外部一点，过P作直线，，的垂线，垂足分别为E，F，D，且点D，E，F在同一条直线上．求证：点P在的外接圆上．16．（2022春·成都市九年级课时练习）定义：如果同一平面内的四个点在同一个圆上，那么我们把这称为四点共圆．(1)下列几何图形的四个顶点构成四点共圆的有．（填序号）①平行四边形；②菱形；③矩形；④正方形；⑤等腰梯形．(2)已知△ABC中，∠A＝40°，如图1，平面上一点D，使得A、B、C、D四点共圆，试求∠BDC的度数．(3)若△ABC的外接圆为⊙O，半径为r，平面上有两点E、F，分别与△ABC的三个顶点构成四点共圆（E在AB的左侧，F点在AC的右侧），如图2．①试判断∠E+∠F﹣∠BAC的值是否为定值？如果是，请求出这个值；如果不是，请说明理由；②若BC弦的长度与⊙O的半径r之比为：1，并且边AB经过圆心O，如图3，试求五边形AEBCF的最大面积（用含r的式子表示）．17．（2023·河南商丘·统考三模）综合与实践小明在刘老师的指导下开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆．小明继续利用上述结论进行探究．【提出问题】如图1，在线段同侧有两点，，连接，，，，如果，那么，，，四点在同一个圆上．探究展示：如图2，作经过点，，的，在劣弧上取一点不与，重合，连接，，则依据．，，点，，，四点在同一个圆上对角互补的四边形四个顶点共圆，点，在点，，所确定的上依据．点，，，四点在同一个圆上．

【反思归纳】(1)上述探究过程中的“依据1”“