人教版九年级上册数学期中考试试卷含答案

人教版九年级上册数学期中考试试题一、选择题。（每小题只有一个正确答案）1．若关于x的方程（m﹣1）x2＝﹣m是一元二次方程，则m不可能取的数为（）A．0 B．1 C．±1 D．0和12．下列抛物线中，开口最大的是（）A．y＝ B．y＝C．y＝ D．y＝﹣3．下列一元二次方程中，有实数根的是（）A．＝﹣2 B．-x＝C．-x+1＝0 D．(x+1)(x+2)＝﹣14．已知A（1，y1）、B（﹣2，y2）、C（﹣，y3）在函数y＝x2的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是（）A．＜＜ B．＜＜C．＜＜ D．＜＜5．下列说法中，正确的是（）A．弦是直径 B．相等的弦所对的弧相等C．圆内接四边形的对角互补 D．三个点确定一个圆6．抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，则下面结论中不正确的是（）A．ac＜0B．2a+b＝0C．b2＜4acD．方程ax2+bx+c＝0的根是﹣1，37．如图，在⊙O中，AB是直径，OD⊥AC于点E，交⊙O于点D，则下列结论错误的是（）A．AD＝CD B． C．BC＝2EO D．EO＝DE8．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝，将△ABC绕点A逆时针方向旋转60°到△AB'C'的位置，则图中阴影部分的面积是（）A． B． C． D．9．如图，一段抛物线：y＝﹣x（x﹣4）（0≤x≤4）记为C1，它与x轴交于两点O，A1；将C1绕A1旋转180°得到C2，交x轴于A2；将C2绕A2旋转180°得到C3，交x轴于A3；…如此变换进行下去，若点P（17，m）在这种连续变换的图象上，则m的值为（）A．2 B．﹣2 C．﹣3 D．310．如图，将△ABC绕点B顺时针旋转50°得△DBE，点C的对应点恰好落在AB的延长线上，连接AD，下列结论不一定成立的是（）A．AB=DB B．∠CBD=80° C．∠ABD=∠E D．△ABC≌△DBE二、填空题11．若关于x的方程x2＝P的两根分别为m+1和m﹣1，则P的值为_____．12．已知抛物线y＝（x﹣m）2+3，当x＞1时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是_____．13．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，BC是直径，∠B＝54°，∠BAC的平分线交⊙O于D，则∠ACD的度数是_____．14．如图，PA，PB分别切半径为2的⊙O于A，B两点，BC为直径，若∠P＝60°，则PB的长为_____．15．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，D为AC中点，E为AB上的动点，将ED绕点D逆时针旋转90°得到FD，连CF，则线段CF的最小值为_____．三、解答题16．用适当的方法解下列方程（1）（x﹣1）2＝2（1﹣x）（2）（y+）（y﹣）＝17．如图所示，在正方形网格中，△ABC的顶点坐标分别为（﹣1，0），（﹣2，﹣2），（﹣4，﹣1）．请在所给直角坐标系中按要求画图和解答下列问题：（1）将△ABC绕着某点按顺时针方向旋转得到△A′B'C'，请直接写出旋转中心的坐标和旋转角度.（2）画出△ABC关于点A成中心对称的△AED，若△ABC内有一点P（a，b），请直接写出经过这次变换后点P的对称点坐标．18．已知▱ABCD边AB，AD的长是关于x的方程x2﹣mx+4＝0的两个实数根．（1）当m为何值时，四边形ABCD是菱形？（2）若AB的长为，那么▱ABCD的周长是多少？19．已知二次函数y＝，解答下列问题：（1）用配方法求其图象的顶点坐标；（2）填空：①点A（m，），B（n，）在其图象上，则线段AB的长为____；②要使直线y＝b与该抛物线有两个交点，则b的取值范围是______．20．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点O在BC上，⊙O经过点A，点C，且交BC于点D，直径EF⊥AC于点G．（1）求证：AB是⊙O的切线；（2）若AC＝8，求BD的长．21．某商场销售一种商品，进价为每件15元，规定每件商品售价不低于进价，且每天销售量不低于90件经调查发现，每天的销售量y（件）与每个商品的售价x（元）满足一次函数关系，其部分数据如下表所示：每个商品的售价x（元）…304050…每天的销售量y（件）…1008060…（1）填空：y与x之间的函数关系式是______.（2）设商场每天获得的总利润为w（元），求w与x之间的函数关系式；（3）不考虑其他因素，当商品的售价为多少元时，商场每天获得的总利润最大，最大利润是多少？22．如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D、E分别是AB、AC边的中点．将△ABC绕点A顺时针旋转a角（0°＜a＜180°），得到△AB′C′（如图2），连接DB'，EC'．（1）探究DB'与EC'的数量关系，并结合图2给予证明；（2）填空：①当旋转角α的度数为_____时，则DB'∥AE；②在旋转过程中，当点B'，D，E在一条直线上，且AD＝时，此时EC′的长为_____．23．如图，已知直线y＝x+4交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A、B．（1）求抛物线解析式；（2）点C（m，0）是x轴上异于A、O点的一点，过点C作x轴的垂线交AB于点D，交抛物线于点E．①当点E在直线AB上方的抛物线上时，连接AE、BE，求S△ABE的最大值；②当DE＝AD时，求m的值．参考答案1．B【解析】根据一元二次方程定义可得：m﹣1≠0，求出m的取值范围即可．【详解】由题意得：m﹣1≠0，解得：m≠1，故选B．【点睛】本题考查一元二次方程的定义，一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．2．B【分析】根据二次函数中|a|的绝对值越大，开口越小，|a|的绝对值越小，开口越大，即可得答案.【详解】∵|﹣|＜|﹣1|＝|1|＜，∴函数y＝+1的开口最大，故选B．【点睛】本题主要考查的是二次函数的图象和性质，掌握抛物线的开口方向和开口大小与a的关系是解题的关键．3．B【分析】根据根的判别式逐一判断即可得答案．【详解】A.∵x2+2＝0，∴△＝0﹣4×2＝﹣8＜0，故该选项无实数根，B.∵x2﹣x＝，∴x2﹣x﹣＝0，∴△＝1+4＞0，故该选项有实数根，C.∵x2﹣x+1＝0，∴△＝2﹣4＝﹣2＜0，故该选项没有实数根，D.∵（x+1）（x+2）＝﹣1，∴x2+3x+3＝0，∴△＝9﹣12＝﹣3＜0，故该选项没有实数根.故选B．【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程y=ax2+bx+c(a≠0)，判别式△=b2-4ac，当△>0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△<0时，方程没有实数根；熟练掌握根的判别式与根的个数的关系是解题关键.4．A【分析】先判断函数的对称轴及开口方向，然后根据开口向上时，横坐标离对称轴越远，函数值越大，据此可解．【详解】∵函数y＝x2，1>0，∴对称轴是y轴，开口向上，∴横坐标离y轴越远，函数值越大，∵|1|＜||＜|﹣2|∴＜＜故选A．【点睛】本题考查二次函数的性质，抛物线开口向上时，横坐标离对称轴越远，函数值越大；抛物线开口向下时，横坐标离对称轴越近，函数值越大；熟练掌握二次函数的性质是解题关键.5．C【分析】利用圆的有关性质及定义逐一判断后即可确定正确的选项．【详解】A.直径是弦，但弦不一定是直径，故错误，不符合题意，B.相等的弦对的弧不一定相等，故错误，不符合题意，C.圆内接四边形的对角互补，正确，符合题意，D.不在同一直线上的三点确定一个圆，故错误，不符合题意，故选C．【点睛】本题考查圆的有关性质及定义，熟练掌握相关性质及定义是解题关键.6．C【分析】根据图象的开口方向及与y轴的交点可得a、c的符号，根据对称轴可确定b的符号，可对A、B进行判断，根据图象与x轴的交点可C、D进行判断，即可得答案.【详解】∵图象开口向下，与y轴交于y轴正半轴，∴a＜0，c>0，∴ac<0，故A正确，∵对称轴x＝1＝﹣，∴b＝﹣2a，∴2a+b＝0，故B正确，∵图象与x轴的一个交点坐标为（3，0），对称轴为x=1，∴b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac，另一个交点为（﹣1，0），∴方程ax2+bx+c＝0的根是﹣1，3，故C错误，D正确，故选C．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定．7．D【分析】由垂径定理得出，AE＝CE，得出AD＝CD，可得出OE是△ABC的中位线，根据中位线的性质可得BC＝2OE；只有当AD＝AO时，EO＝DE，即可得出答案．【详解】∵AB是直径，OD⊥AC，∴，AE＝CE，故选项B正确，不符合题意，∴AD＝CD，故选项A正确，不符合题意，∵OA＝OB，∴OE是△ABC的中位线，∴BC＝2OE，故选项C正确，不符合题意，∵只有当AD＝AO时，EO＝DE，∴选项D错误，符合题意，故选D．【点睛】本题考查垂径定理及三角形中位线的性质，垂直于弦的直径，平分弦并且平分这条弦所对的两条弧；三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半；熟练掌握垂径定理是解题关键.8．B【分析】由等腰直角三角形的性质可求AB＝2，由旋转的性质可得AB＝AB'，∠BAB'＝60°，可得△ABB'是等边三角形，由图中阴影部分的面积＝S△AB'B即可得答案．【详解】过A作AD⊥B′B，∵∠C＝90°，AC＝BC＝，∴AB＝AC＝2，∵将△ABC绕点A逆时针方向旋转60°到△AB'C'的位置，∴AB＝AB'，∠BAB'＝60°，∴△ABB'是等边三角形，∴B′B=AB=2，∵AD⊥B′B，∴BD=B′B=1，∴AD==，∴图中阴影部分的面积＝S△AB'B=B′B·AD＝，故选B．【点睛】本题考查旋转的性质及等边三角形的判定与性质，正确得出对应边、对应角与旋转角是解题关键.9．D【分析】根据题意和题目中的函数解析式，可以得到点A1的坐标，从而可以求得OA1的长度，然后根据题意，即可得到点P（17，m）中m的值和x＝1时对应的函数值相等，即可得答案.【详解】∵y＝﹣x（x﹣4）（0≤x≤4）记为C1，它与x轴交于两点O，A1，∴点A1（4，0），∴OA1＝4，∵OA1＝A1A2＝A2A3＝A3A4……，∴OA1＝A1A2＝A2A3＝A3A4……＝4，∵点P（17，m）在这种连续变换的图象上，17÷4=4……1，∴点P（17，m）在C5上，∴x＝17和x＝1时的函数值相等，∴m＝﹣1×（1﹣4）＝﹣1×（﹣3）＝3，故选D．【点睛】本题考查二次函数的性质及旋转的性质，得出x＝17和x＝1时的函数值相等是解题关键.10．C【分析】利用旋转的性质得△ABC≌△DBE，BA=BD，BC=BE，∠ABD=∠CBE=50°，∠C=∠E，再由A、B、E三点共线，由平角定义求出∠CBD=80°，由三角形外角性质判断出∠ABD＞∠E．【详解】解：∵△ABC绕点B顺时针旋转50°得△DBE，∴AB=DB，BC=BE，∠ABD=∠CBE=50°，△ABC≌△DBE，故选项A、D一定成立；∵点C的对应点E恰好落在AB的延长线上，∴∠ABD+∠CBE+∠CBD=180°，.∴∠CBD=180°-50°-50°=80°，故选项B一定成立；又∵∠ABD=∠E+∠BDE，∴∠ABD＞∠E，故选项C错误，故选C．【点睛】本题主要考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．11．1【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可得m+1+m﹣1=0，即可求出m的值，进而可求出P值.【详解】∵关于x的方程x2＝P的两根分别为m+1和m﹣1，∴m+1+m﹣1＝0，解得：m＝0，即m﹣1＝﹣1，所以：P＝（﹣1）2＝1，故答案为1【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，若一元二次方程ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）的两个根为x1、x2，则x1+x2=，x1·x2=；熟练掌握韦达定理是解题关键.12．m≤1【分析】先求得抛物线的对称轴，再由条件可求得关于m的不等式，即可得答案．【详解】∵y＝（x﹣m）2+3，∴对称轴为x＝m，∵a＝1＞0，∴抛物线开口向上，∴在对称轴右侧y随x的增大而增大，∵当x＞1时，y随x的增大而增大，∴m≤1，故答案为：m≤1．【点睛】此题主要考查了利用二次函数增减性以及利用数形结合确定对称轴大体位置，根据二次函数解析式得出对称轴为x=m是解题关键.13．81°【分析】根据圆周角定理得到∠BAC＝90°，∠D＝∠B＝54°，根据角平分线的定义、三角形内角和定理计算即可．【详解】∵BC是⊙O的直径，∴∠BAC＝90°，∵AD平分∠BAC，∴∠DAC＝45°，∵∠D和∠B都是所对的圆周角，∠B=54°，∴∠D＝∠B＝54°，∴∠ACD＝180°﹣∠DAC﹣∠D＝180°﹣45°﹣54°＝81°，故答案为：81°【点睛】本题主要考查圆周角定理，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都定义这条弧所对的圆心角的一半；熟练掌握圆周角定理是解题关键.14．2【解析】【分析】连接AC，根据PA，PB是切线，∠P＝60°，判断出△ABP是正三角形，根据切线的性质可得∠CBP为90°，进而得出∠ABC＝30°，由BC是直径可得∠BAC-90°，根据含30°角的直角三角形的性质可得AC的长，利用勾股定理求出AB的长即可．【详解】如图所示：连接AC，∵PA，PB是切线，∴PA＝PB．又∵∠P＝60°，∴AB＝PB，∠ABP＝60°，又CB⊥PB，∴∠ABC＝30°，∵BC是直径，BC＝4，∴∠BAC＝90°，∴AC=BC=2，∴PB＝AB==2.故答案为2【点睛】本题考查切线长定理、切线的性质及含30°角的直角三角形的性质，从圆外一点可引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点与圆心的连线平分两条切线的夹角；圆的切线垂直于过切点的半径；30°角所对的直角边等于斜边的一半；熟练掌握相关性质及定理是解题关键.15．4【分析】如图所示，过F作FH⊥AC于H，则∠A＝∠DHF＝90°，由“AAS”可证△ADE≌△HFD，可得HF＝AD＝4，当点H与点C重合，线段CF的最小值为4．【详解】如图所示，过F作FH⊥AC于H，则∠A＝∠DHF＝90°，∵AC＝8，D为AC中点，∴AD＝4，由旋转可得，DE＝DF，∠EDF＝90°，∴∠ADE+∠FDH＝90°，∠FDH+∠DFH＝90°，∴∠ADE＝∠DFH，且DE＝DF，∠A＝∠DHF＝90°，∴△ADE≌△HFD（AAS），∴HF＝AD＝4，∴当点H与点C重合，此时CF＝HF＝4，∴线段CF的最小值为4，故答案为：4【点睛】本题考查旋转的性质及全等三角形的判定与性质，根据全等三角形的判定与性质得出HF的长是解题关键.16．（1）x1＝1，x2＝﹣1；（2）y1＝﹣2，y2＝+2.【分析】（1）利用因式分解法求解可得；（2）整理成一般形式后，利用公式法法求解可得．【详解】（1）（x﹣1）2＝2（1﹣x）（x﹣1）2＝﹣2（x﹣1），（x﹣1）2+2（x﹣1）＝0，（x﹣1）（x+1）＝0，x﹣1＝0或x+1＝0，解得：x1＝1，x2＝﹣1.（2）（y+）（y﹣）＝y2﹣2y﹣2＝0∴y==±2，∴y1＝﹣2，y2＝+2.【点睛】本题考查解一元二次方程，解一元二次方程的常用方法有：直接开平方法、公式法、配方法、因式分解法等，熟练掌握并灵活运用适当的方法是解题关键.17．（1）旋转中心坐标为（2，﹣3），旋转角为90°；（2）作图见解析，（﹣a﹣2，﹣b）．【分析】（1）作线段BB′，线段AA′的垂直平分线交于点K，点K即为所求．连接AK、A′K，可得∠AKA′=90°，即可得旋转角度数；（2）分别作出C，B的对应点E，D即可，利用中点坐标公式求出对称点的坐标即可．【详解】（1）如图，作线段BB′，线段AA′的垂直平分线交于点K，点K即为所求．∴旋转中心坐标为K（2，﹣3），连接AK、A′K，由网格的特点可知：∠AKA′=90°，∴旋转角为90°．（2）如图，△ADE即为所求，设点P关于点A的对称点为P′（x，y），∵A（-1，0），P（a，b），点A为PP′的中点，∴，，解得：x=-2-a，y=-b，∴点P（a，b）经过这次变换后点P的对称点坐标为（﹣a﹣2，﹣b）．【点睛】本题考查旋转的性质及坐标变换，正确得出对应点、对应边并熟记中点坐标公式是解题关键.18．（1）m＝﹣4；（2）6．【分析】（1）根据菱形的性质得出AB＝AD，根据根的判别式得出关于m的方程，求出m即可；（2）根据根与系数的关系求出AD，再根据平行四边形的性质得出另外两边的长度，求出周长即可．【详解】（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，∴方程x2﹣mx+4＝0有两个相的等实数根，∴△＝（﹣m）2﹣4×1×4＝0，解得：m＝±4，即方程为x2﹣4x+4＝0或x2+4x+4＝0，解得：x＝2或x=﹣2，∵边长不能为负数，∴x＝2，即AB＝AD＝2，∴m＝﹣4；（2）∵▱ABCD边AB，AD的长是关于x的方程x2﹣mx+4＝0的两个实数根，AB＝，∴AD＝4，解得：AD＝2，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD＝，AD＝BC＝2，∴▱ABCD的周长是++2+2＝6．【点睛】本题考查了菱形的性质、一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，对于一元二次方程y=ax2+bx+c(a≠0)，判别式△=b2-4ac，当△>0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△<0时，方程没有实数根；若一元二次方程ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）的两个根为x1、x2，则x1+x2=，x1·x2=；熟练掌握韦达定理是解题关键.19．（1）（﹣1，﹣2）；（2）①6；②b＞﹣2．【分析】（1）根据配方法可以求得该函数图象的顶点坐标；（2）①把y=代入二次函数解析式，可求得m、n的值，从而可以求得线段AB的长；②根据二次函数的顶点坐标及直线y＝b与该抛物线有两个交点，即可求得b的取值范围．【详解】（1）∵二次函数y＝，∴该函数图象的顶点坐标为（﹣1，﹣2）；（2）①∵点A（m，），B（n，）在其图象上，∴＝，解得，x1＝﹣4，x2＝2，∴m＝﹣4，n＝2或m＝2，n＝﹣4，∵|﹣4﹣2|＝|2﹣（﹣4）|＝6，∴线段AB的长为6，故答案为：6②∵该函数图象的顶点坐标为（﹣1，﹣2），直线y＝b与该抛物线有两个交点，∴b的取值范围为b＞﹣2，故答案为：b＞﹣2．【点睛】此题主要考查了二次函数的性质及二次函数图象上点的坐标特征、配方法求其顶点坐标，熟练掌握二次函数的性质是解题关键.20．（1）详见解析；（2）BD＝.【分析】（1）连接OA，由等腰三角形的性质得出∠B＝∠C＝30°，∠OAC＝∠C＝30°，求出∠OAB＝120°﹣30°＝90°，得出AB⊥OA，即可得出AB是⊙O的切线；（2）由垂径定理得出AG＝CG＝AC＝4，由直角三角形的性质得出OG＝AG＝，得出OA＝2OG＝，BO＝2OA＝2OD，即可得出BD＝OA＝．【详解】（1）如图，连接OA，∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠B＝∠C＝30°，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠C＝30°，∴∠OAB＝∠BAC-∠OAC=120°﹣30°＝90°，∴AB⊥OA，∴AB是⊙O的切线.（2）解：∵直径EF⊥AC，∴AG＝CG＝AC＝4，∵∠OAC＝30°，∴OG＝AG＝，∴OA＝2OG＝，∵∠OAB＝90°，∠B＝30°，∴BO＝2OA＝2OD，∴BD＝OA＝．【点睛】本题考查切线的判定、垂径定理及含30°角的直角三角形的性质，过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线；垂直于弦的直径平分弦，并且平分这条弦所对的两条弧；熟练掌握相关定理及性质是解题关键.21．（1）y＝﹣2x+160；（2）w＝﹣2x2+190x﹣2400；（3）当商品的售价为35元时，商场每天获得的总利润最大，最大利润是1800元．【分析】（1）根据表格所给数据即可求得一次函数解析式；（2）根据总利润等于销售量乘以单件利润即可求解；（3）根据二次函数的性质即可求解．【详解】（1）设每天的销售量y（件）与每个商品的售价x（元）满足的一次函数关系为：y＝kx+b，把（30，100）、（40，80）代入得：解得：，∴y与x之间的函数关系式是y＝﹣2x+160．故答案为y＝﹣20x+160（2）∵每天销售量不低于90件，∴-20x+160≤90，解得：x≤35，∵售价不低于进价，∴x≥15，∴15≤x≤35，w＝（x﹣15）（﹣2x+160）＝﹣2x2+190x﹣2400（15≤x≤35）．答：w与x之间的函数关系式为w＝﹣2x2+190x﹣2400（15≤x≤35）．（3）w＝﹣2x2+190x﹣2400＝﹣2（x﹣47.5）2+2112.5∵15≤x≤35，﹣2＜0，∴图象在对称轴左侧，w随x的增大而增大，∴当x＝35时，w最大为1800．答：当商品的售价为35元时，商场每天获得的总利润最大，最大利润是1800元．【点睛】本题考查一次函数的应用，待定系数法求一次函数解析式及求二次函数的最值，熟练掌握二次函数的性质是解题关键.22．（1）DB'＝EC'，证明详见解析；（2）①60°；②-1．【分析】（1）由旋转的性质可得∠DAE＝∠B'AC'＝90°，AB'＝AC'，利用“SAS”可证明△ADB'≌△AEC'，可得DB'＝EC'；（2）由平行线的性质和直角三角形的性质可求解；（3）由全等三角形的性质可得∠ADB'＝∠AEC'，B'D＝C'E，由等腰直角三角形的性质可得B'C'＝AB'＝4，DE＝AD＝2，由勾股定理可求EC'的长．【详解】（1）DB'＝EC'，理由如下：∵AB＝AC，D、E分别是AB、AC边的中点，∴AD＝AE，由旋转可得，∠DAE＝∠B'AC'＝90°，AB'＝AC'，∴∠DAB'＝∠EAC'，且AB'＝AC'，AD＝AE∴△ADB'≌△AEC'（SAS），∴DB′＝EC′，（2）①∵DB′∥AE，∴∠B'DA＝∠DAE＝90°，∵AD＝AB，AB=AB'，∴AD