2024-2025学年高中数学第一章算法初步1.3算法案例学案含解析新人教版必修3

PAGE1．3算法案例内容标准学科素养1.会用辗转相除法与更相减损术求两个数的最大公约数.2.会用秦九韶算法求多项式的值.3.会在不同进位制间进行相互转化.提升数学运算发展逻辑推理培育数据分析授课提示：对应学生用书第20页[基础相识]学问点一辗转相除法与更相减损术预习教材P34－37，思索并完成以下问题韩信是秦末汉初的闻名军事家．据说有一次汉高祖刘邦在卫士的蜂拥下来到练兵场，刘邦问韩信有什么方法，不要逐个报数，就能知道场上的士兵的人数．韩信先令士兵排成3列纵队，结果有2个人多余；接着马上下令将队形改为5列纵队，这一改，又多出3人；随后他又下令改为7列纵队，这次又剩下2人无法成整行．在场的人都哈哈大笑，以为韩信不能清点出精确的人数，不料笑声刚落，韩信高声报告共有士兵2333人．众人听了一愣，不知道韩信用什么方法这么快就能得出正确的结果的．(1)如何求18与54的最大公约数？提示：短除法．(2)要求6750与3492的最大公约数，上述法还好用吗？提示：数值太大，短除法不便利用．学问梳理1.辗转相除法(1)辗转相除法，又叫欧几里得算法，是一种求两个正整数的最大公约数的古老而有效的算法．(2)辗转相除法的算法步骤：第一步，给定两个正整数m，n．其次步，计算m除以n所得的余数r．第三步，m＝n，n＝r．第四步，若r＝0，则m，n的最大公约数等于m；否则返回其次步．2．更相减损术(1)更相减损术是我国古代数学专著《九章算术》中介绍的一种求两个正整数的最大公约数的算法．(2)其基本过程是：第一步，随意给定两个正整数，推断它们是否都是偶数．若是，用2约简；若不是，执行其次步．其次步，以较大的数减去较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数，接着这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数(等数)或这个数与约简的数的乘积就是所求的最大公约数．学问点二秦九韶算法预习教材P37－39，思索并完成以下问题已知多项式f(x)＝x5＋3x4－3x3＋4x2－x－1.(1)求f(1)．提示：f(1)＝1＋3－3＋4－1－1＝3.(2)若求f(39)，再代入运算出现什么状况？提示：运算量太大，不易运算．学问梳理秦九韶算法的算法原理把一个n次多项式f(x)＝anxn＋an－1xn－1＋…＋a1x＋a0改写成如下形式：f(x)＝anxn＋an－1xn－1＋…＋a1x＋a0＝(anxn－1＋an－1xn－2＋…＋a1)x＋a0＝((anxn－2＋an－1xn－3＋…＋a2)x＋a1)x＋a0＝…＝(…((anx＋an－1)x＋an－2)x＋…＋a1)x＋a0.求多项式的值时，首先计算最内层括号内一次多项式的值，即v1＝anx＋an－1，然后由内向外逐层计算一次多项式的值，即v2＝v1x＋an－2，v3＝v2x＋an－3，…vn＝vn－1x＋a0.这样，求n次多项式f(x)的值就转化为求n个一次多项式的值．学问点三进位制预习教材P40－45，思索并完成以下问题(1)今日是星期二，那么20天后是星期几？提示：20天后是星期一．(2)每周七天，逢七便又是一循环，这与我们所学过的十进制，逢十进一是否有相像之处？提示：其实一周七天，与十进制一样，相当于逢七进一，是七进制法．学问梳理1.进位制(1)概念：进位制是为了计数和运算便利而约定的记数系统，“满几进一”就是几进制．(2)基数：几进制的基数就是几．2．不同进位制之间的互化(1)k进制化为十进制的方法：anan－1…a1a0(k)＝an×kn＋an－1×kn－1＋…＋a1×k＋a0(an，an－1，…，a1，a0∈N，0＜an＜k，0≤an－1，…，a1，a0＜k(2)十进制化为k进制的方法——除k取余数．[自我检测]1．设计程序框图，用秦九韶算法求多项式的值，所选用的结构是()A．依次结构B．条件结构C．循环结构 D．以上都有解析：依据秦九韶算法的含义知选D.答案：D2．以下各数有可能是五进制数的是()A．15 B．106C．731 D．21340解析：五进制数中各个数字均是小于5的自然数，故选D.答案：D3．228与1995的最大公约数是__________．解析：1995＝228×8＋171，228＝171×1＋57，171＝57×3，∴57是228与1995的最大公约数．答案：57授课提示：对应学生用书第21页探究一求两个正整数的最大公约数[阅读教材P36例1]用更相减损术求98与63的最大公约数．方法步骤：第一步，随意给定两个正整数m，n(m>n)．其次步，计算m－n所得的差k.第三步，比较n与k的大小，其中大者用m表示，小者用n表示．第四步，若m＝n，则m，n的最大公约数等于m；否则，返回其次步．[例1]分别用辗转相除法和更相减损术求261和319的最大公约数．[解析]法一：(辗转相除法)319÷261＝1(余58)，261÷58＝4(余29)，58÷29＝2(余0)，所以319与261的最大公约数为29.法二：(更相减损术)319－261＝58，261－58＝203，203－58＝145，145－58＝87，87－58＝29，58－29＝29，29－29＝0，所以319与261的最大公约数是29.方法技巧1.利用辗转相除法求给定的两个数的最大公约数，即利用带余除法，用数对中较大的数除以较小的数，若余数不为零，则将余数和较小的数构成新的数对，再利用带余除法，直到大数被小数除尽，则这时的较小数就是原来两个数的最大公约数．2．利用更相减损术求两个正整数的最大公约数的一般步骤是：首先推断两个正整数是否都是偶数．若是，用2约简．也可以不除以2，干脆求最大公约数，这样不影响最终结果．跟踪探究1.用辗转相除法求80与36的最大公约数，并用更相减损术检验你的结果．解析：80＝36×2＋8，36＝8×4＋4，8＝4×2＋0，即80与36的最大公约数是4.验证：80÷2＝40，36÷2＝18.40÷2＝20，18÷2＝9.20－9＝11，11－9＝2.9－2＝7，7－2＝5.5－2＝3，3－2＝1.2－1＝1，1×2×2＝4.所以80与36的最大公约数为4.探究二秦九韶算法[阅读教材P38例2]已知一个5次多项式为f(x)＝4x5＋2x4＋3.5x3－2.6x2＋1.7x－0.8，用秦九韶算法求这个多项式当x＝5时的值．方法步骤：第一步，改写多项式；其次步，由内到外依次计算；第三步，结论．[例2]用秦九韶算法求多项式f(x)＝7x7＋6x6＋5x5＋4x4＋3x3＋2x2＋x当x＝3时的值．[解析]f(x)＝((((((7x＋6)x＋5)x＋4)x＋3)x＋2)x＋1)x所以有v0＝7，v1＝7×3＋6＝27，v2＝27×3＋5＝86，v3＝86×3＋4＝262，v4＝262×3＋3＝789，v5＝789×3＋2＝2369，v6＝2369×3＋1＝7108，v7＝7108×3＝21324.故当x＝3时，多项式f(x)＝7x7＋6x6＋5x5＋4x4＋3x3＋2x2＋x的值为21324.方法技巧秦九韶算法原理及留意事项(1)秦九韶算法的原理是eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(v0＝an，,vk＝vk－1x＋an－k，))(k＝1，2，…，n)．(2)在运用秦九韶算法进行计算时，应留意每一步的运算结果，像这种一环扣一环的运算，假如错一步，那么下一步，始终到最终一步就会全部算错，同学们在计算这种题时应特别当心．跟踪探究2.用秦九韶算法计算多项式f(x)＝12＋35x－8x2＋6x4＋5x5＋3x6在x＝－4时的值时，v3的值为()A．－144 B．－136C．－57 D．34解析：依据秦九韶算法多项式可化为f(x)＝(((((3x＋5)x＋6)x＋0)x－8)x＋35)x＋12.由内向外计算v0＝3；v1＝3×(－4)＋5＝－7；v2＝－7×(－4)＋6＝34；v3＝34×(－4)＋0＝－136.答案：B3．用秦九韶算法计算f(x)＝6x5－4x4＋x3－2x2－9x，须要加法(或减法)与乘法运算的次数分别为()A．5，4 B．5，5C．4，4 D．4，5解析：n次多项式需进行n次乘法；若各项均不为零，则需进行n次加法，缺一项就削减一次加法运算．f(x)中无常数项，故加法次数要削减一次，为5－1＝4.故选D.答案：D探究三进位制[阅读教材P41例3]把二进制数110011(2)化为十进制数．方法步骤：第一步，写成不同位上数字与2的幂的乘积之和；其次步，依据十进制数的运算规则进行计算．[例3]把“五进制”数1234(5)转化为“十进制”数，再把它转化为“八进制”数．[解析]∵1234(5)＝1×53＋2×52＋3×51＋4×50＝194，而∴1234(5)＝194＝302(8)．方法技巧1.把k进制数化为十进制数的方法是：先把这个k进制数写成用各位上的数字与k的幂的乘积之和的形式，再依据十进制数的运算法则计算出结果．2．将十进制数化为k进制数的方法是除k取余法，即用k连续地去除十进制数所得的商，直到商为0为止，然后将余数倒排写出，即得到所求的k进制数．3．把一个非十进制数转化为另一个非十进制数，通常是把这个数先转化为十进制数，然后再利用除k取余法，再把这个数转化为另一个非十进制数．延长探究1.将例题改为：把210(6)化成十进制数为__________．85化成七进制数为__________．解析：210(6)＝2×62＋1×6＝78，所以85＝151(7)．答案：78151(7)2．将例题改为：把1234(5)化成七进制数为__________．解析：∵1234(5)＝1×53＋2×52＋3×51＋4×50＝194.而∴1234(5)＝194＝365(7)．答案：365(7)授课提示：对应学生用书第23页[课后小结]1．求两个正整数的最大公约数的问题，可以用辗转相除法，也可以用更相减损术．用辗转相除法，即依据a＝nb＋r这个式子，反复相除，直到r＝0为止；用更相减损术，即依据r＝|a－b|这个式子，反复相减，直到r＝0为止．2．秦九韶算法的关键在于把n次多项式转化为一次多项式，留意体会递推的实现过程，实施运算时要由内向外，一步一步执行．3．把一个非十进制转化为另一种非十进制数，通常是把这个数先转化为十进制数，然后再利用除k取余法，把十进制数转化为k进制数．而在运用除k取余法时要留意以下几点：(1)必需除到所得的商是0为止；(2)各步所得的余数必需从下到上排列；(3)切记在所求数的右下角标明基数．[素养培优]对秦九韶算法中的运算次数理解错误已知f(x)＝x5＋2x4＋3x3＋4x2＋5x＋6，用秦九韶算法求这个多项式当x＝2时的值时，做了几次乘法？几次加法