数学学案：第二章离散型随机变量及其分布列

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精§1离散型随机变量及其分布列学习目标重点难点1.在对具体问题的分析中，能说出随机变量、离散型随机变量的意义．2．能写出随机变量所取的值及表示的随机实验的结果．3．能解决取有限值的离散型随机变量的分布列的问题.重点：离散型随机变量的分布列．难点：离散型随机变量表示的实验结果及每个随机变量的概率的求法.1．随机变量(1）我们将随机现象中试验（或观测）的每一个可能的结果都对应于一个数，这种对应称为一个随机变量，通常用大写的英文字母如X，Y来表示．实际上，随机变量是从随机试验每一个可能的结果所组成的集合到实数集的映射．(2）随机变量的取值能够一一列举出来，这样的随机变量称为离散型随机变量．预习交流1随机变量与函数的关系是怎样的？提示：随机变量与函数都是一种映射，随机变量是随机试验结果到实数的映射，函数是实数到实数的映射；随机试验的结果的范围相当于函数的定义域，随机变量的取值范围相当于函数的值域．2．离散型随机变量的分布列设离散型随机变量X的取值为a1，a2,…随机变量X取ai的概率为pi(i＝1,2，…)，记作P（X＝ai)＝pi(i＝1,2,…)，①或列成表X＝aia1a2…P(X＝ai）p1p2…表或①式称为离散型随机变量X的分布列．显然pi＞0，p1＋p2＋…＝1。预习交流2盒中装有6支白粉笔和8支红粉笔．从中任意取出3支，其中所含白粉笔的支数为ξ，那么ξ可能的取值是什么？当ξ＝2时表示怎样的试验结果？提示：ξ的取值为0,1,2,3，“ξ＝2”表示取出2支白粉笔和1支红粉笔．1．随机变量指出下列变量中，哪些是随机变量,哪些不是随机变量，并说明理由．(1)某人射击一次命中的环数;(2）任意掷一枚均匀的硬币5次,出现正面向上的次数；（3)掷一枚质地均匀的骰子出现的点数(最上面的数字）；（4)某个人的属相随年龄的变化．思路分析：利用随机变量的定义去分析相应的实例．解：(1）某人射击一次，可能命中的环数是0环，1环，…，10环结果中的一个而且出现哪一个结果是随机的，因此是随机变量．(2)任意掷一枚硬币1次，可能出现正面向上也可能出现反面向上，因此投掷5次硬币，出现正面向上的次数可能是0，1，2,3，4,5,而且出现哪种结果是随机的，所以是随机变量．（3）掷一颗骰子可能出现的结果是1点，2点,3点,4点，5点,6点中的一个，且出现哪个结果是随机的，因此是随机变量．(4）属相是出生时便确定的,不随年龄的变化而变化，因此不是随机变量．下列变量中属于离散型随机变量的有__________．①在2008张已编号的卡片(从1号到2008号）中任取一张,被取出的编号数为X；②连续不断射击，首次命中目标需要的射击次数X；③从2008张已编号的卡片(从1号到2008号)中任取3张，被取出的卡片的号数和X；④某工厂加工的某种钢管,外径与规定的外径之差X;⑤投掷一颗骰子，六面都刻有数字6，所得的点数X。答案：①②③解析：①②③中变量X的所有可能取值是可以一一列举出来的，是离散型随机变量，④中的X的取值为某一范围内的实数，无法列出,不是离散型随机变量．⑤中的X的取值是确定的,是6，不是随机变量．判断一个变量是否为随机变量，主要是看变量的值的出现是否是随机的，结果是随机的变量为随机变量，如果随机变量能按一定的顺序列举出来，则这种随机变量则是离散型随机变量．2。离散型随机变量的分布列从装有6个白球，4个黑球和2个黄球的箱中随机地取出两个球，规定每取出一个黑球赢2元,而每取出一个白球输1元，取出黄球无输赢，以X表示赢得的钱数，随机变量X可以取哪些值呢?求X的分布列．思路分析:要求赢得的钱数X的概率分布列，需先写出X的可能取值,然后求出X中每一个可能值的概率，从而列出分布列．解：从箱中取两个球的情形有以下六种：｛2白｝，｛1白1黄｝，{1白1黑｝，｛2黄｝，｛1黑1黄}，｛2黑}．当取到2白时，结果输2元，随机变量x＝－2，此时P(X＝－2)＝eq\f(Ceq\o\al（2,6），Ceq\o\al（2，12))＝eq\f（5,22）；当取到1白1黄时，结果输1元，随机变量x＝－1，此时P（X＝－1）＝eq\f（Ceq\o\al（1,6）Ceq\o\al（1,2),Ceq\o\al（2,12）)＝eq\f(2，11）;当取到1白1黑时,结果赢1元，随机变量x＝1，此时P（X＝1)＝eq\f(Ceq\o\al(1，6）Ceq\o\al（1,4),Ceq\o\al(2,12))＝eq\f(4,11）;当取到2黄时，结果无输赢，随机变量x＝0，此时P(X＝0）＝eq\f(Ceq\o\al(2,2),Ceq\o\al(2,12））＝eq\f（1，66）；当取到1黑1黄时，结果赢2元，随机变量x＝2，此时P(X＝2）＝eq\f（Ceq\o\al（1，4）Ceq\o\al(1，2）,Ceq\o\al（2,12))＝eq\f（4，33）；当取到2黑时，结果赢4元，随机变量x＝4，此时P（X＝4）＝eq\f（Ceq\o\al（2,4）,Ceq\o\al（2，12)）＝eq\f（1，11），可见，随机变量X可以取－2，－1，0，1，2，4，其分布列为：X＝xi－2－10124P(X＝xi)eq\f(5，22）eq\f(2，11）eq\f（1,66)eq\f（4,11)eq\f(4,33）eq\f（1,11）设随机变量X的分布列Peq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(X＝\f（k，5)）)＝ak(k＝1,2,3,4,5)，(1)求常数a的值；（2)求Peq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(X≥\f(3,5）））的值．解:由题意得x的分布列为：Xeq\f（1，5）eq\f(2,5)eq\f(3,5)eq\f（4，5)1Pa2345(1）由a＋2a＋3a＋4a＋5a＝1，得a＝eq\f(1,15)(2)Peq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(X≥\f（3,5）))＝Peq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(X＝\f(3,5)）)＋Peq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(X＝\f(4,5））)＋P(X＝1）＝eq\f（3，15)＋eq\f(4，15)＋eq\f（5，15）＝eq\f（12，15）＝eq\f(4，5).解答此类问题的关键有两点:一是依据试验的所有可能结果写出随机变量的可能取值；二是依据随机变量取值所对应的结果求出随机变量取每一个值的概率．1．10件产品中有3件次品，从中任取2件，可作为随机变量的是（）．A．取到产品的件数B．取到正品的概率 C．取到次品的件数D．取到次品的概率答案：C解析：对于A中取到产品的件数是一个常量不是变量，B，D也是一个定值，而C中取到次品的件数可能是0,1,2，是随机变量．2．袋中装有大小相同的5个球,分别标有1，2，3,4,5五个号码，现在在有放回取出的条件下依次取出两个球,设两个球号码之和为随机变量ξ，则ξ所有可能取值的个数是（）．A．5 B．9 C．10 D．答案：B解析:两个球的号码之和可能为2,3,4,5，6，7,8，9,10，共9个．3．某人进行射击，共有5发子弹，击中目标或子弹打完就停止射击,射击次数为ξ，则“ξ＝5”表示试验结果是(）．A．第5次击中目标 B．第5次未击中目标C．前4次均未击中目标 D．第4次击中目标答案：C解析:ξ＝5表示射击5次，即前4次均未击中，否则不可能射击第5次，但第5次是否击中，就不一定，因为他只有5发子弹．4．掷一枚骰子，出现点数X是一随机变量，则P（X＞4)的值为__________．答案:eq\f（1,3）解析：P（x＞4)＝P（x＝5)＋P(x＝6)＝eq\f(1，6）＋eq\f（1,6)＝eq\f（1，3).5．某车间三天内每天生产10件某产品，其中第一天,第二天分别生产了1件，2件次品,而质检部门每天要在生产的10件产品中随