数学同步优化训练：任意角

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精第一章三角函数1。1任意角和弧度制1。1.1任意角5分钟训练（预习类训练，可用于课前)1.经过2个小时，钟表上的时针旋转了（)A.60°B。—60°C.30°D。—30°解析:钟表的时针旋转一周是-360°，其中每小时旋转=—30°，所以经过2个小时应旋转-60°.答案：B2.判断下列命题是否正确，并说明理由。（1)小于90°的角是锐角;(2)第一象限的角小于第二象限的角；(3)终边相同的角一定相等；（4)相等的角终边一定相同；(5）若α∈［90°,180°]，则α是第二象限角。解:(1）锐角集合是{α｜0°＜α＜90°}，即α∈(0°,90°）,它是小于90°的正角，而小于90°的角还可以是负角和零角，显然(1）是错误的；（2)由于角的概念的推广，第一、二象限的角不再局限于0°—360°间的（0°，90°)与（90°,180°），像390°是第一象限角，120°是第二象限角，显然390°＞120°,所以(2）也是错误的；(3)终边相同的角可能彼此相差360°的整数倍，显然(3)是错误的;（4）由于角的顶点是原点,始边与x轴的非负半轴重合，所以相等的角终边一定相同,显然（4）是正确的；⑤由于90°、180°都不是象限角,显然(5）是错误的.3.在体操、花样滑冰、跳台跳水比赛中，常常听到“转体三周”“转体两周半”的说法，像这种动作表示的是多大角？解:如果是逆时针转体，则分别是360°×3=1080°和360°×2.5=900°；若是顺时针转体，则分别为-1080°和-900°。4。在直角坐标系中，作出下列各角,并指出它们是第几象限角.（1）60°；(2)120°；(3)240°；（4)300°；（5）420°；(6)480°.解：10分钟训练(强化类训练，可用于课中）1。与—457°角终边相同的角的集合是()A。｛α｜α=k·360°+457°,k∈Z｝B.｛α｜α=k·360°+97°,k∈Z｝C.｛α｜α=k·360°+263°，k∈Z｝D.｛α｜α=k·360°-263°，k∈Z}解析：-457°=-2×360°+263°。∴应选C项。答案：C2.集合A=｛α｜α=k·90°—36°,k∈Z｝,B={β|-180°＜β＜180°｝,则A∩B等于()A.｛-36°，54°}B.｛-126°，144°｝C。｛-126°,-36°，54°，144°}D。｛-126°,54°｝解析:在集合A中,令k取不同的整数,找出既属于A又属于B的角即可.k=-2，-1，0，1,2,3,验证可知A∩B=｛—126°,-36°,54°,144°}。答案：C3。设A=｛θ|θ为锐角｝,B={θ｜θ为小于90°的角｝，C={θ｜θ为第一象限角},D=｛θ｜θ为小于90°的正角｝，则（)A。A=BB。B=CC.A=CD。A=D解析:A={θ|0°＜θ＜90°｝，B={θ｜θ＜90°}，C={θ|k·360°＜θ＜90°+k·360°，k∈Z}，D=｛θ|0°＜θ＜90°｝，显然A=D。答案:D4。角α小于180°而大于-180°，它的7倍角的终边又与自身终边重合,则满足条件的角α的集合为___________________________.解析：终边相同的角的大小相差360°的整数倍.与角α终边相同的角连同角α在内可表示为{β｜β=α+k·360°,k∈Z｝。∵它的7倍角的终边与其终边相同，∴7α=α+k·360°.解之得α=k·60°，k∈Z。∴满足条件的角α的集合为｛-120°,—60°,0°,60°,120°}。答案:{—120°,—60°，0°，60°，120°}。5。若角α与β的终边关于y轴对称,则α与β的关系是__________________；若角α与β的终边互相垂直，则α与β的关系是_______________________。解析：角α与β的终边关于y轴对称,则β=k·360°+180°—α,k∈Z，而β+α=k·360°+180°=(2k+1)·180°，k∈Z,角α与β的终边互相垂直，则β=k·360°+α±90°，k∈Z,即β—α=k·360°±90°,k∈Z。答案：α+β=（2k+1）·180°，k∈Zα-β=±90°+k·360°，k∈Z6。已知角α的终边与y轴的正半轴所夹的角是30°，且终边落在第二象限，又-720°＜α＜0°，求α.解析:∵α=120°+k·360°,k∈Z,-720°＜α＜0,∴α=-240°，—600°。30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)1。若α是锐角，则180°-α是()A。第一象限角B.第二象限角C。第三象限角D。第四象限角解析：因为α是锐角，即0°＜α＜90°，则—90°＜-α＜0°。所以90°＜180°—α＜180°，即180°—α是第二象限角。答案:B2.若角α与β终边相同，则一定有(）A.α+β=180°B.α+β=0°C。α—β=k·360°，k∈ZD.α+β=k·360°,k∈Z解析:因为α与β终边相同，所以有α=β+k·360°,k∈Z.答案：C3.若角α满足α=45°+k·180°，k∈Z,则角α的终边落在（）A.第一或第三象限B。第一或第二象限C.第二或第四象限D.第三或第四象限解析：当k为奇数时，角α终边与225°角终边相同,在第三象限；当k为偶数时,角α与45°角终边相同，在第一象限.答案：A4.（2005高考全国卷Ⅲ，文1）已知α为第二象限的角，则所在的象限是(）A。第一或第二象限B。第二或第三象限C。第一或第三象限D.第二或第四象限解析:因为α在第二象限，可知90°+k·360°＜α＜180°+k·360°，k∈Z，所以45°+k·180°＜＜90°+k·180°，k∈Z。因为k=2n或2n+1，n∈Z，所以当k=2n时，45°+n·360°＜＜90°+n·360°,n∈Z，此时在第一象限;当k=2n+1时，225°+n·360°＜＜270°+n·360°，n∈Z，此时在第三象限.故选C。答案：C5.写出满足下列条件的角的集合.(1）终边在x轴的非负半轴上的角的集合：__________________________________________；（2)终边在坐标轴上的角的集合:__________________________________________________；（3）终边在第一、二象限及y轴的非正半轴上的角的集合：____________________________；（4）终边在第一、三象限的角平分线上的角的集合：__________________________________.答案：（1）｛α｜α=k·360°，k∈Z｝（2){α｜α=k·90°，k∈Z}(3){α｜k·360°＜α＜180°+k·360°，k∈Z｝∪｛α｜α=k·360°+270°，k∈Z｝(4）{α｜α=45°+k·180°，k∈Z｝6。若角α的终边经过点P(—1，),写出角α的集合。解析：如图，OA=1，AP=，所以∠AOP=60°。角α的集合是｛α|α=240°+k·360°,k∈Z｝。7.在平面直角坐标系中，画出下列集合所表示的角的终边所在区域（用阴影表示）.（1）｛α｜k·360°≤α≤135°+k·360°，k∈Z｝；(2)｛α｜k·180°≤α≤135°+k·180°,k∈Z｝。解：8。射线OA绕端点O逆时针方向旋转150°到OB位置，接着再按顺时针方向旋转60°到OC位置,然后再逆时针方向旋转90°到OD位置,求∠AOD的大小。解:如图，由题意知∠AOB=150°，∠BOC=-60°，∠COD=90°，所以∠AOD=∠AOB+∠BOC+∠COD=150°—60°+90°=180°。9.如图1-1-1,若角α的终边落在y=图1-1-1解:与y=（x≥0)终边相同的角的集合是｛α|α=30°+k·360°,k∈Z｝；与y=(x≤0)终边相同的角的集合是｛α｜α=150°+k·360°，k∈Z｝.所以所夹的小区域内角α的集合是{α｜30°+k·360°＜α＜150°+k·360°，k∈Z}.10.已知角α=45°.（1）在区间［-720°,0°］内找出所有与角α有相同终边的角β;（2）集合M=｛x｜x=×180°+45°,k∈Z｝，N=｛x｜x=×180°+45°，k∈Z｝，那么两集合的关系是什么？解：（1)所有与角α有相同终边的角可表示为45°+k×360°,k∈Z,则令-720°≤45°+k×360°≤0°，得—765°≤k×360°≤-45°.解得≤k≤.从而k=—2或k=-1,代回得β=-675°或β=-