原子核的壳模型

§8.2、原子核的壳模型（Shellmodel）1、原子中电子的壳层结构在原子中，处于中心的原子核对于周围的电子来讲可以看作是点电荷，它的库仑场是有心力场。可以近似的认为每个电子是在核和其它电子所组成的平均场中各自独立的运动，这个平均场是一种有心场。根据量子力学，电子的运动状态由四个量子数n,l,,来描述。

n---主量子数

l---轨道角动量量子数

,---轨道磁量子数和自旋磁量子数

n取正整数：n=1,2,3,……

对一定的n,l取值,l=0,1,2,…n-1，共n。对一定的l,取值：

=l,l-1,l-2,…,-l

共2l+1

对一个,=±1/2

对于库仑场，在不考虑电子自旋与轨道运动相互作用的情况下，电子的能量状态由n和l决定。

对某一个确定的n,l相同的状态，能量都一样，因而某一给定l的2l+1个状态，能量都相同。由泡利不相容原理，对于自旋s=1/2的电子，它服从泡利原理。这样，在能量相同的同一个l能级上总共可以容纳2(2l+1)个电子。对于l=0,1,2,3,4,5,6,7,分别用s,p,d,f,g,h,I,j,…表示

∴对于s能级，最多容纳的电子数N=2

对于p能级，N=6

对于d能级，N=10

对于f能级，N=14

对于g能级，N=18

对于h能级，N=22

对于i能级，N=26

对于j能级，N=30

由于内层电子对外层电子的屏蔽作用，实际的有心场与库仑场有所不同，所得的能级次序见下表。

由于处于最低能级最稳定，但由于泡利原理的限制，每一能级最多只能填充N=2（2l+1）个电子。这样就可把电子按从低能级往高能级的次序逐个填充，从而形成所谓壳层结构。满壳层时的电子数为2，10，18，36，54，86，它们正是惰性气体氦、氖、氩、氪、氙、氡的原子序数。2、核内存在壳层结构的条件如果原子核中也存在类似于原子的壳层结构，则须满足下列条件：

1）、在每一个能级上，容纳核子的数目应当有一定的限制。

2）、核内存在一个平均场，对于接近球形的原子核，这个平均场是一种有心场。3）、每个核子在核内的运动应当是各自独立的。第一个条件是满足的，由于中子和质子都是自旋为1/2的粒子，所以都服从泡利原理，从而每个中子和质子的能级容纳核子的数目受到一定的限制。中子和质子有可能各自组成自己的能级壳层。后两个条件看来很难满足，这是由于原子核的情况与原子的情况有很大的不同。第一，原子中的库仑力是一种长程力，而原子核中核子之间的作用力主要是短程力，因而原子核中不象原子中那样存在一个明显的有心力。第二，核中的核子的密度与原子中的电子密度相比，大得不可比拟，以致核子在核中的平均自由程可以比核半径小得多，于是可以想象核子间似应不断发生碰撞，因而很难理解在核子中的运动可以是各自独立的。正由于上述二方面的原因，核内存在壳层结构受到怀疑，以致在很长时期壳层模型没有得到发展。3、核的壳模型的基本思想

1）、原子核中虽然不存在与原子中相类似的不变的中心场，但我们可以把原子核中的每个核子看作是在一个平均场中运动，这个平均场是所有其他核子对一个核子作用场的总和。对于接近球形的原子核，可以认为这个平均场是个有心场。2）、泡利原理不但限制了每一能级所容纳核子的数目，作为泡利原理应用的引伸，原子核中核子与核子的碰撞也受到极大限制。因为处于基态的原子核，它的低能态填满了核子。如果两个核子发生碰撞使核子状态改变，则根据泡利原理，这两个核子只有去占据未被核子所占有的态，这种碰撞的几率是很小的。这就使得单个核子还能保持原来的运动状态，即单个核子能在核中独立运动。所以，壳模型也叫独立粒子模型。4、球形核中单粒子势及单粒子能级1）、体系的哈密顿量及平均势多核子系统的Schrödinger方程为：

其中：H为原子核的哈密顿算符，一般形式为：式中：T（i）——第i个粒子的动能算符

V（ij）——两个粒子之间的相互作用势能对于原子核体系，Schrödinger方程的严格求解是难以办到的根据壳模型的基本思想，引进一个平均势场V(i),代替第i个核子所受到的来自其他(A-1)个粒子的平均势，则体系的哈密顿量为：其中：为粒子运动哈密顿量

为剩余相互作用求解Schrödinger方程的一种近似途径是选择一个较好的平均势V(i),使剩余相互作用和相比很小，可当作微扰来处理。在独立粒子近似下，忽略剩余相互作用，则Schrödinger方程变为：系统得总能量为：系统的波函数就是单粒子波函数的乘积

由此可见，在壳模型的假定下，就把一个多体问题化成单粒子在平均势场下运动的单体问题。对于球形核或幻数附近核，平均单粒子势可取中心势，这种势只跟核子与势场中心的距离有关，而与方向无关。考虑到原子核具有一个比较明显的表面，且核力又是短程的，那么当核内的核子离开表面的距离大于核力作用范围时，此核子受到周围核子作用的净力为零，即平均势应为常数。最简单的中心场势为方阱势，谐振子势及Woods-Saxon势，下面分别讨论：（1）、球方阱势R---势阱半径

V0---势阱深度（2）、球形谐振子势（V0=Constant）m--核子质量（3）、Woods-Saxon势一般取：其中：V0<0,为常数；c，a>0说明：①、球方势阱的物理意义表示核子在原子核内部和外部都不受力，只在核的边界上才受到很强的向里的力。②、谐振子势阱则表示核子在原子核的中心附近不受力，当核子从核中心附近向外移动时，受到一个逐渐变强的向里的力。③、谐振子势没有把核力的作用范围限于核内，直角势阱则认为核子从核的边界往外移动时所受的向里的力会发生从极大到零的突变，这些都与实际情况不相符合。④、直角势阱把核子从核的边界往里移动时所受向里的力的变化描写的太快，这只是一种极端的近似，而谐振子势阱则把这种变化描写的又太慢了。⑤、Woods-Saxon势阱是一种比较合理的势阱，但用这种势阱进行处理在数学上十分麻烦。⑥、理论计算表明，不同势阱的选择对推得能级的次序影响极小。2）、球形谐振子势阱下单粒子运动能级为了符合实验，一般取利用量子力学，求得单粒子运动的能量其中：l=0,1,2,3,…的能级分别用s,p,d,f,…表示，在球形谐振子势阱下，单粒子运动的能级由决定，又决定于v和l①当=0，则，v=1,l=0

即=0的能级只有1s一个状态②当=1，则，v=1,l=1=1的能级只有1p一个状态

=2,有两组v和l

④=3，有两种状态

=4，有三种状态

…

…

根据泡利原理，同一l的状态最多能容纳2(2l+1)个同类核子，从而可以得出谐振子势阱中同类核子填满相应能级时的总数。由下表看出谐振子势阱只给出前面三个幻数：2，8，20，其它幻数没有出现。3）、直角方阱势下单粒子的运动能级在直角方阱势下：单核子运动的能量利用量子力学求得为：式中：是贝塞尔函数的根。

k——核子的波数的数值见上表所示，它决定了能级次序。

在直角势阱中能级的退化得到部分消除，不同状态（v,l）具有不同的能量，而且能级的的次序也与谐振子情形不同，它也只能给出三个幻数：2，8，20，其他幻数同样不能出现。

下页图给出两种势阱得出的能级次序，两边标有各种量子态以及各能级能容纳的核子数，方括号中的数字表示从最低能级直到该能级可容纳的核子总数。由于核子在真正核场中的能级应介于两者之间，这种能级可以对以上两种能级用内插法粗糙地求得。由图可见，内插法获得的能级同样不能得出所有幻数，也只能出现前三个：2，8，20.5、自旋—轨道耦合在谐振子势阱和方势阱的讨论中，我们都没有考虑核子的自旋和轨道耦合问题。实验表明，核子的自旋—轨道耦合不但存在，而且这种耦合作用是很强的。

1949年，在大量实验事实的启示下，M.G.MayerandJ.H.D.Jensen独立提出了强自旋—轨道耦合模型，使问题的解决有了关键性的突破。他们把方势阱和谐振子势看成两种极端的情况，取平均后加上一项强自旋—轨道耦合项。从而使单粒子能级发生了大的分裂得到全部幻数。由于核子的自旋—轨道角动量的耦合，核子的能量不仅取决于轨道角动量l的大小，而且取决于轨道角动量相对于自旋的取向。与平行时(总角动量j=l+1/2)和反平行时（j=l-1/2）的能量是不同的。因此，考虑自旋轨道耦合后，同一条l的能级将劈成两条。在原子物理中，自旋—轨道耦合引起的能级劈裂解释了电子能级的精细结构。在原子中，由于电子的自旋—轨道耦合较弱，j=l±1/2的两个能级的间隔与相邻能级的距离相比是较小的，一般不会改变原来能级的次序。对于原子核，由于核子的自旋-轨道耦合是很强的，所劈裂的两个能级j=l±1/2的间隔很大，而且与（2l+1）成正比，随l的增加而增大，以致改变原来的能级次序。自旋—轨道相互作用的一般形式为：∴由于的作用而附加的能级为：其中：<f(r)>表示为对径向波函数求平均值。则相同l，不同j的能级分裂为：由此可见：①、由于力的引入而部分解除了原来的简并。②、l一定的能级分裂为的两个能级，分裂距离正比于(2l+1)，即l越大，分裂越厉害。③、由实验值知道能级在能级的下面，所以要求f(r)<0。④、适当选择自旋—轨道耦合强度f(r)后，就可以解释全部的幻数。对于原子情况：这里V(r)可取库仑势：对于原子核的情况f(r)近似取同样的形式。这里∴∵∴但由此f(r)得到的单粒子能级不符合实验结果，数值太小，为了符合单粒子能级的实验值，取下面半经验公式：

考虑自旋—轨道耦合后，同一的能级分成了两条，对于新的能级，应以（v,l,j）三个量子数来表征。由于在空间可有2j+1个不同的取向，所以这些新的能级是2j+1度退化的。根据泡利原理，它们各自可容纳2j+1个同类核子。考虑自旋—轨道耦合后的能级图如下页所示，图中左边横线表示由谐振子和直角势阱的能级内插得到的能级。说明：①、新的能级用（v,l,j）三个量子数来表示。例如：能级：表示:v=1,l=1,j=②、由于能级的劈裂，组成了新的原子核壳层，它们给出了全部幻数。③、两个幻数间的能级，形成一个主壳层，主壳层内的每一个能级叫做支壳层。④、主壳层之间的能量间隔较大，支壳层之间的能量间隔较小。⑤、新的主壳层的形成，是由于有些能级劈裂特别大，如：50，82，126三个幻数分别落在1g,1h,1i的分裂处。⑥、同一主壳层内可以有宇称不同的能级，当l为偶数时宇称为正，当l为奇数时，宇称为负；而且相邻能级的j值可以相差很大。⑦、质子和中子各有一套能级，如下页图。图中显示的能级次序，不表示能级间距的定量关系。实际上，由于质子间具有库仑斥力，质子的能级比相应中子的能级更高一些，能级间距要大一些，特别是当核子数较多时更是这样。⑧、壳结构理论预言，82以后的质子幻数可能是114；126以后的中子幻数是184。因此，根据理论预言，质子数为114和中子数为184的原子核是双幻核。该核及其附近的一些核，可能具有相当大的稳定性，它们比普通核还重，所以称为超重核，这种超重核至今还没有发现。6、对关联上面讨论，主要是基于包括自旋—轨道耦合在内的平均场，以及核子可以独立地在这平均场中运动的假设。核子之间的相互作用除了平均场部分外，还有剩余相互作用：

在剩余相互作用Ĥres中最重要的成分是同类核子间的短程吸引力，这种两个配对核子之间的短程吸引作用称为对关联。所谓配对是指两个核子所处的状态，仅是磁量子数m的符号相反，其他量子数均相同。若用k表示状态的四个量子数；-k表示另一状态的四个量子数，而其中三个量子数均与k相同，只是磁量子数m有相反的符号。则对关联主要发生在状态k和-k的粒子间。通常称状态的粒子数为占有数。根据泡