2024-2025学年高中数学第二章平面向量2.2.2向量减法运算及其几何意义课时作业含解析新人教A版必修4

PAGE向量减法运算及其几何意义(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)一、选择题(每小题5分，共20分)1．设b是a的相反向量，则下列说法肯定错误的是()A．a与b的长度相等 B．a∥bC．a与b肯定相等 D．a是b的相反向量解析：a＝－b，∴|a|＝|－b|且a∥b，a是b的相反向量．答案：C2．已知eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，eq\o(OC,\s\up6(→))＝c，eq\o(OD,\s\up6(→))＝d，且四边形ABCD为平行四边形，则()A．a＋b＋c＋d＝0 B．a－b＋c－d＝0C．a＋b－c－d＝0 D．a－b－c＋d＝0解析：如图，a－b＝eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))，c－d＝eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OD,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，又四边形ABCD为平行四边形，则eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\o(CD,\s\up6(→))，即eq\o(BA,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→))＝0，所以eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))＝0，即a－b＋c－d＝0.故选B.答案：B3．在正六边形ABCDEF中，eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(FE,\s\up6(→))＝b，eq\o(AD,\s\up6(→))＝c，则eq\o(AF,\s\up6(→))＝()A．a＋b－c B．a－b＋cC．a＋b＋c D．c－a－b解析：由于eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(FE,\s\up6(→))，故eq\o(BC,\s\up6(→))＝b，则eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝a＋b，又eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))＝c－a－b，且eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(AF,\s\up6(→))，故eq\o(AF,\s\up6(→))＝c－a－b.答案：D4．平面上有三点A、B、C，设m＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))，n＝eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(BC,\s\up6(→))，若m、n的长度恰好相等，则有()A．A、B、C三点必在同始终线上B．△ABC必为等腰三角形且∠B为顶角C．△ABC必为直角三角形且∠B＝90°D．△ABC必为等腰直角三角形解析：∵|m|＝|n|，eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→))，eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→))，∴|eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→))|＝|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→))|，如图．即▱ABCD的对角线相等，∴▱ABCD是矩形，∴∠B＝90°，选C.答案：C二、填空题(每小题5分，共15分)5．化简(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→)))＋(eq\o(BA,\s\up6(→))－eq\o(QC,\s\up6(→)))＝________.解析：(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→)))＋(eq\o(BA,\s\up6(→))－eq\o(QC,\s\up6(→)))＝(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→)))＋(eq\o(PC,\s\up6(→))＋eq\o(CQ,\s\up6(→)))＝0eq\a\vs4\al(＋)eq\o(PQ,\s\up6(→))＝eq\o(PQ,\s\up6(→)).答案：eq\o(PQ,\s\up6(→))6．若a，b为相反向量，且|a|＝1，|b|＝1，则|a＋b|＝________，|a－b|＝________.解析：若a，b为相反向量，则a＋b＝0，所以|a＋b|＝0，又a＝－b，所以|a|＝|－b|＝1，因为a与－b共线，所以|a－b|＝2.答案：027．设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，且|eq\o(BC,\s\up6(→))|＝4，|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))|＝|eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))|，则|eq\o(AM,\s\up6(→))|＝________.解析：以AB，AC为邻边作平行四边形ACDB，由向量加减法几何意义可知，eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))，∵|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))|＝|eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))|，∴|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝|eq\o(CB,\s\up6(→))|，又|eq\o(BC,\s\up6(→))|＝4，M是线段BC的中点，∴|eq\o(AM,\s\up6(→))|＝eq\f(1,2)|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝eq\f(1,2)|eq\o(BC,\s\up6(→))|＝2.答案：2三、解答题(每小题10分，共20分)8．化简：(1)eq\o(MN,\s\up6(→))－eq\o(MP,\s\up6(→))＋eq\o(NQ,\s\up6(→))－eq\o(PQ,\s\up6(→))；(2)eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→)).解析：(1)eq\o(MN,\s\up6(→))－eq\o(MP,\s\up6(→))＋eq\o(NQ,\s\up6(→))－eq\o(PQ,\s\up6(→))＝(eq\o(MN,\s\up6(→))＋eq\o(NQ,\s\up6(→)))－(eq\o(MP,\s\up6(→))＋eq\o(PQ,\s\up6(→)))＝eq\o(MQ,\s\up6(→))－eq\o(MQ,\s\up6(→))＝0.(2)eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))＝(eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→)))＋(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→)))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→))＝0.9．如图所示，已知正方形ABCD的边长等于1，eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(BC,\s\up6(→))＝b，eq\o(AC,\s\up6(→))＝c，试作出下列向量，并分别求出其长度：(1)a＋b＋c；(2)a－b＋c.解析：(1)由已知得a＋b＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＝c，所以延长AC到E，使|eq\o(CE,\s\up6(→))|＝|eq\o(AC,\s\up6(→))|.则a＋b＋c＝eq\o(AE,\s\up6(→))，且|eq\o(AE,\s\up6(→))|＝2eq\r(2).所以|a＋b＋c|＝2eq\r(2).(2)作eq\o(BF,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))，连接CF，则eq\o(DB,\s\up6(→))＋eq\o(BF,\s\up6(→))＝eq\o(DF,\s\up6(→))，而eq\o(DB,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))＝a－b，所以a－b＋c＝eq\o(DB,\s\up6(→))＋eq\o(BF,\s\up6(→))＝eq\o(DF,\s\up6(→))且|eq\o(DF,\s\up6(→))|＝2，所以|a－b＋c|＝2.eq\x(尖子生题库)☆☆☆10．已知△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，M是斜边AB的中点，eq\o(CM,\s\up6(→))＝a，eq\o(CA,\s\up6(→))＝b，求证：(1)|a－b|＝|a|.(2)|a＋(a－b)|＝|b|.证明：(1)如图，在等腰Rt△ABC中，由M是斜边AB的中点，得|eq\o(CM,\s\up6(→))|＝|eq\o(AM,\s\up6(→))|，|eq\o(CA,\s\up6(→))|＝|eq\o(CB,\s\up6(→))|.(1)在△ACM中，eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\o(CM,\s\up6(→))－eq\o(CA,\s\up6(→))＝a－b.于是由|eq\o(AM,\s\up6(→))|＝|eq\o