垂直于弦的直径课件

24.1圆的有关性质第二十四章圆24.1.2垂直于弦的直径知1－讲感悟新知知识点圆的轴对称性1圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴.(1)圆的对称轴有无数条.(2)“圆的对称轴是直径所在的直线”或说成“圆的对称轴是经过圆心的直线”.感悟新知知1－讲警示误区因为直径是弦，弦是线段，而对称轴是直线，所以不能说“圆的对称轴是直径”.知1－练感悟新知如图24.1-7，AB

是⊙O

的直径，C，D

是圆上的两点，在AB上找一点P，使PC+PD

最短，画出P点位置，不需要证明.例1知1－练感悟新知解：如图24.1-7，过点C作AB的垂线并延长，交⊙O于点C′，则点C与C′关于直线AB对称.连接C′D，交AB于点P，此时PC+PD最短，∴点P为所求作的点.解题秘方：紧扣圆的轴对称性，作出点C关于直径AB所在直线的对称点是解题的关键.知1－练感悟新知1-1.圆是轴对称图形，它的对称轴是(

)A.圆的半径B.垂直于弦的直径C.过圆心的直径D.以上都不对D知2－讲感悟新知知识点垂径定理21.垂径定理垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.感悟新知知1－讲特别提醒1.“垂直于弦的直径”中的“直径”，其实质是：过圆心且垂直于弦的线段、直线均可.2.“两条弧”是指弦所对的劣弧和优弧或两个半圆.感悟新知

知1－讲⌒⌒⌒⌒知2－练感悟新知

思路导引：例2

知2－练感悟新知

答案：B知2－练感悟新知2-1.如图，已知AD

是⊙O

的直径，BC

是⊙O的弦，AD⊥BC，垂足为点E，AE=BC=8，求⊙O

的直径.知2－练感悟新知感悟新知知2－练如图24.1－10，在⊙O

中，AB

为⊙O

的弦，C，D

是直线AB上两点，且AC=BD.求证：△OCD

为等腰三角形.例3思路导引：知2－练感悟新知证明：如图24.1－10，过点

O作OM⊥AB，垂足为点M.∵OM⊥AB，∴AM=BM.∵AC=BD，∴CM=DM.又∵OM⊥CD，∴OC=OD.∴△OCD

为等腰三角形.知2－练感悟新知3-1.

[模拟·鼓楼区]如图，AB是⊙O的弦，半径OD⊥AB，垂足为H，BC⊥AB，交AD延长线于点C.知2－练感悟新知(1)求证：D是AC的中点；证明：连接BD.

∵AB是⊙O的弦，半径OD⊥AB，∴AH＝BH.∴AD＝BD.

∴∠BAD＝∠ABD.∵BC⊥AB，∴∠ABC＝90°.∴∠BAD＋∠C＝90°，∠ABD＋∠DBC＝90°.∴∠C＝∠DBC.∴BD＝CD.∴AD＝CD，即D为AC的中点．知2－练感悟新知

知2－练感悟新知感悟新知知3－讲知识点垂径定理的推论31.推论平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.被平分的弦一定不是直径感悟新知知3－讲

⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒知3－讲感悟新知拓宽视野对于圆中的一条直线，如果具备下列五个条件中的任意两个，那么一定具备其他三个：(1)过圆心；(2)垂直于弦；(3)平分弦(非直径)；(4)平分弦所对的劣弧；(5)平分弦所对的优弧.简记为“知二推三”.感悟新知知3－练如图24.1－12，AB，CD

是⊙O

的弦，M，N分别为AB，CD的中点，且∠AMN=∠CNM.求证：AB=CD.思路导引：例4

知3－练感悟新知证明：如图24.1－12，连接OM，ON，OA，OC.∵O

为圆心，且M，N

分别为AB，CD

的中点，∴AB=2AM，CD=2CN，OM⊥AB，ON⊥CD.∴∠OMA=∠ONC=90°.∵∠AMN=∠CNM，∴∠OMN=∠ONM.∴OM=ON.又∵OA=OC，∴Rt△OAM≌Rt△OCN(HL)

.∴AM=CN.∴AB=CD.知3－练感悟新知

感悟新知知3－练如图24.1－13，要把残破的圆形纸片复制完整.已知弧上的三点A，B，C，用尺规作图找出ABC所在圆的圆心(保留作图痕迹)

.⌒例5知3－练感悟新知解题秘方：紧扣垂径定理的推论，利用垂直平分弦的直线经过圆心来找圆心.解：如图24.1－13，连接AB，BC，分别作AB，BC

的垂直平分线，两条垂直平分线的交点O即为所求圆的圆心.知3－练感悟新知5-1.一块圆形宣传标志牌如图所示，点A，B，C在⊙O

上，CD垂直平分AB

于点D．现测得AB=8dm，DC=2dm，则圆形标志牌的半径为______

.5dm感悟新知知3－练如图24.1－14，一条公路的转弯处是一段圆弧(

AB)，点

O是这段弧所在圆的圆心，点C是AB的中点，半径OC

与AB

相交于点D，AB=120m，CD=20m，求这段弯路所在圆的半径.⌒⌒例6

知3－练感悟新知解题秘方：紧扣垂径定理的推论，利用“平分弧，且经过圆心”推出“垂直平分弦”，结合勾股定理求出半径的长.知3－练感悟新知