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文档简介
重庆市主城四区2025届高二数学第一学期期末复习检测模拟试题注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型(B)填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2.作答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.过抛物线C:y2=4x的焦点F分别作斜率为k1、k2的直线l1、l2,直线l1与C交于A、B两点,直线l2与C交于D、E两点,若|k1·k2|=2,则|AB|+|DE|的最小值为()A.10 B.12C.14 D.162.复数,则对应的点所在的象限是()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限3.三个实数构成一个等比数列,则圆锥曲线的离心率为()A. B.C.或 D.或4.将数列中的各项依次按第一个括号1个数,第二个括号2个数,第三个括号4个数,第四个括号8个数,第五个括号16个数,…,进行排列,,,…,则以下结论中正确的是()A.第10个括号内的第一个数为1025 B.2021在第11个括号内C.前10个括号内一共有1025个数 D.第10个括号内的数字之和5.已知等比数列的公比为,则“是递增数列”的一个充分条件是()A. B.C. D.6.若方程表示焦点在y轴上的双曲线,则实数m的取值范围为()A. B.C. D.且7.抛物线的焦点到直线的距离为,则()A.1 B.2C. D.48.若数列满足,则数列的通项公式为()A. B.C. D.9.在正方体中,与直线和都垂直,则直线与的关系是()A.异面 B.平行C.垂直不相交 D.垂直且相交10.已知等比数列满足,,则()A.21 B.42C.63 D.8411.给出下列四个说法,其中正确的是A.命题“若,则”的否命题是“若,则”B.“”是“双曲线的离心率大于”的充要条件C.命题“,”的否定是“,”D.命题“在中,若,则是锐角三角形”的逆否命题是假命题12.将点的极坐标化成直角坐标是(
)A. B.C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知抛物线上一点到准线的距离为,到直线:的距离为,则的最小值为__________14.已知椭圆C:,点M与C的焦点不重合,若M关于C的焦点的对称点分别为A,B,线段MN的中点在C上,则_________.15.已知双曲线的左、右焦点分别为,,O为坐标原点,点M是双曲线左支上的一点,若,,则双曲线的离心率是____________16.已知数列{an}满足an+2=an+1-an(n∈N*),且a1=2,a2=3,则a2022的值为_________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)如图,在四棱锥中,底面为正方形,,直线垂直于平面分别为的中点,直线与相交于点.(1)证明:与不垂直;(2)求二面角的余弦值.18.(12分)已知函数.(1)记函数,当时,讨论函数的单调性;(2)设,若存在两个不同的零点,证明:为自然对数的底数).19.(12分)已知正三棱柱底面边长为,是上一点,是以为直角顶点的等腰直角三角形(1)证明:是中点;(2)求点到平面的距离20.(12分)已知双曲线的左、右焦点分别为,过作斜率为的弦.求:(1)弦的长;(2)△的周长.21.(12分)如图,在多面体ABCDEF中,四边形ABCD是菱形,∠ABC=60°,FA⊥平面ABCD,ED//FA,且AB=FA=2ED=2(1)求证:平面FAC⊥平面EFC;(2)求多面体ABCDEF的体积22.(10分)已知中,分别为角的对边,且(1)求;(2)若为边的中点,,求的面积
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】设出l1的方程为,与抛物线联立后得到两根之和,两根之积,用弦长公式表达出,同理表达出,利用基本不等式求出的最小值.【详解】抛物线C:y2=4x的焦点F为,直线l1的方程为,则联立后得到,设,,,则,同理设可得:,因为|k1·k2|=2,所以,当且仅当,即或时,等号成立,故选:B2、C【解析】化简复数,根据复数的几何意义,即可求解.【详解】由题意,复数,所以复数对应的点为位于第三象限.故选:C.3、D【解析】根据三个实数构成一个等比数列,解得,然后分,讨论求解.【详解】因为三个实数构成一个等比数列,所以,解得,当时,方程表示焦点在x轴上的椭圆,所以,所以,当时,方程表示焦点在y轴上的双曲线,所以,所以,故选:D4、D【解析】由第10个括号内的第一个数为数列的第512项,最后一个数为数列的第1023项,进行分析求解即可【详解】由题意可得,第个括号内有个数,对于A,由题意得前9个括号内共有个数,所以第10个括号内的第一个数为数列的第512项,所以第10个括号内的第一个数为,所以A错误,对于C,前10个括号内共有个数,所以C错误,对于B,令,得,所以2021为数列的第1011项,由AC选项的分析可得2021在第10个括号内,所以B错误,对于D,因为第10个括号内的第一个数为,最后一个数为,所以第10个括号内的数字之和为,所以D正确,故选:D【点睛】关键点点睛:此题考查数列的综合应用,解题的关键是由题意确定出第10个括号内第一个数和最后一个数分别对应数列的哪一项,考查分析问题的能力,属于较难题5、D【解析】由等比数列满足递增数列,可进行和两项关系的比较,从而确定和的大小关系.【详解】由等比数列是递增数列,若,则,得;若,则,得;所以等比数列是递增数列,或,;故等比数列是递增数列是递增数列的一个充分条件为,.故选:D.6、A【解析】根据双曲线定义,且焦点在y轴上,则可直接列出相关不等式.【详解】若方程表示焦点在y轴上的双曲线,则必有:,且解得:故选:7、B【解析】首先确定抛物线的焦点坐标,然后结合点到直线距离公式可得的值.【详解】抛物线的焦点坐标为,其到直线的距离:,解得:(舍去).故选:B.8、D【解析】由,分两步,当求出,当时得到,两式作差即可求出数列的通项公式;【详解】解:因为①,当时,,当时②,①②得,所以,当时也成立,所以;故选:D9、B【解析】以为坐标原点,所在直线分别为轴,轴,轴建立空间直角坐标系,根据向量垂直的坐标表示求出,再利用向量的坐标运算可得,根据共线定理即可判断.【详解】设正方体的棱长为1.以为坐标原点,所在直线分别为轴,轴,轴建立空间直角坐标系,则.设,则,取.,.故选:B【点睛】本题考查了空间向量垂直的坐标表示、空间向量的坐标表示、空间向量共线定理,属于基础题.10、D【解析】设等比数列公比为q,根据给定条件求出即可计算作答.【详解】等比数列公比为q,由得:,即,而,解得,所以.故选:D11、D【解析】A选项:否命题应该对条件结论同时否定,说法不正确;B选项:双曲线的离心率大于,解得,所以说法不正确;C选项:否定应该是:,,所以说法不正确;D选项:“在中,若,则是锐角三角形”是假命题,所以其逆否命题也为假命题,所以说法正确.【详解】命题“若,则”的否命题是“若,则”,所以A选项不正确;双曲线的离心率大于,即,解得,则“”是“双曲线的离心率大于”的充分不必要条件,所以B选项不正确;命题“,”的否定是“,”,所以C选项不正确;命题“在中,若,则是锐角三角形”,在中,若,可能,此时三角形不是锐角三角形,所以这是一个假命题,所以其逆否命题也是假命题,所以该选项说法正确.故选:D【点睛】此题考查四个命题关系,充分条件与必要条件,含有一个量词的命题的否定,关键在于弄清逻辑关系,正确求解.12、A【解析】本题考查极坐标与直角坐标互化由点M的极坐标,知极坐标与直角坐标的关系为,所以的直角坐标为即故正确答案为A二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、3【解析】根据抛物线的定义可知,点P到抛物线准线的距离等于点P到焦点F的距离,过焦点F作直线:的垂线,此时取得最小值,利用点到直线的距离公式,即可求解.【详解】由题意,抛物线的焦点坐标为,准线方程为,如图所示,根据抛物线的定义可知,点P到抛物线准线的距离等于点P到焦点F的距离,过焦点F作直线:的垂线,此时取得最小值,由点到直线的距离公式可得,即的最小值为3.【点睛】本题主要考查了抛物线的标准方程及其简单的几何性质的应用,以及抛物线的最值问题,其中解答中根据抛物线的定义可知,点P到抛物线准线的距离等于点P到焦点F的距离,利用点到直线的距离公式求解是解答的关键,着重考查了转化思想,以及运算与求解能力,属于中档试题.14、【解析】设M,N的中点坐标为P,,则;由于,化简可得,根据椭圆的定义==6,所以12.考点:1.椭圆的定义;2.两点距离公式.15、5【解析】根据得出,设,从而利用双曲线的定义可求出,的关系,从而可求出答案.【详解】设双曲线的焦距为,则,因为,所以,因为,不妨设,,由双曲线的定义可得,所以,,由勾股定理可得,,所以,所以双曲线的离心率故答案为:.16、【解析】根据递推关系求出数列的前几项,得周期性,然后可得结论【详解】由题意,,,,,,所以数列是周期数列,周期为6,所以故答案为:三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)证明见解析;(2).【解析】(1)以点为坐标原点,、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系,求出点的坐标,计算得出,即可证得结论成立;或利用反证法;(2)利用空间向量法即求.【小问1详解】方法一:如图以点为坐标原点,、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系,则、、、、设,因为,,因为,所以,得,即点,因为,,所以,故与不垂直方法二:假设与垂直,又直线平面平面,所以.而与相交,所以平面又平面,从而又已知是正方形,所以与不垂直,这产生矛盾,所以假设不成立,即与不垂直得证.【小问2详解】设平面的法向量为,又,因为,所以,令,得.设平面的法向量为,因为,所以,令,得.因为.显然二面角为钝二面角,所以二面角的余弦值是.18、(1)在和上单调递增;在上单调递减(2)证明见解析【解析】(1)先求导,然后对导数化简整理后再解不等式即可得单调性;(2)要证明,通过求函数的极值可证明,要证,根据有两个不同的零点,将问题转化为证明成立,再通过换元从求函数的最值上证明.【小问1详解】因为,所以,令,得或.所以时,或;时,.所以在和上单调递增;在上单调递减.【小问2详解】因为,所以.当时,,可得在上单调递减,此时不可能存在两个不同的零点,不符合题意.当时,.令,得.当时,;当时,.所以在上单调递增,在上单调递减.而当时,,时,.所以要使存在两个不同的零点,则,即,解得.因为存在两个不同的零点,则,即.不妨设,则,则,要证,即证,即证,即,.即证,令,则,所以在上单调递增,所以,即,所以成立.综上有.【关键点点睛】解决本题的第(1)问的关键是对导函数的分子因式分解;解决第(2)问的关键一是分步证明,二是研究函数的单调性,三是转化思想的运用,四是换元思想的运用.19、(1)证明见解析;(2).【解析】(1)证明出平面,可得出,再利用等腰三角形的几何性质可证得结论成立;(2)计算出三棱锥的体积以及的面积,利用等体积法可求得点到平面的距离.【小问1详解】证明:在正三棱柱,平面,平面,则,因为是以为直角顶点的等腰直角三角形,则,,则平面,平面,所以,,因为为等边三角形,故点为的中点.【小问2详解】解:因为是边长为的等边三角形,则,平面,平面,则,即,所以,,,,设点到平面的距离为,,,解得.因此,点到平面距离为.20、(1);(2).【解析】(1)联立直线方程与双曲线方程,求得交点的坐标,再用两点之间的距离公式即可求得;(2)根据(1)中所求,利用两点之间的距离公式,即可求得三角形周长.【小问1详解】设点的坐标分别为,由题意知双曲线的左、右焦点坐标分别为、,直线的方程,与联立得,解得,代入的方程为分别解得.所以.【小问2详解】由(1)知,,,所以△的周长为.21、(1)证明见解析;(2).【解析】(1)连接BD交AC于点O,设FC的中点为P,连接OP,EP,证明BD//EP,BD⊥平面FAC即可推理作答.(2)求出三棱锥和四棱锥的体积即可计算作答.【小问1详解】连接BD交AC于点O,设FC的中点为P,连接OP,EP,如图,菱形ABCD中,O为AC的中点,则OP//FA,且,而ED//FA,且FA=2ED,于是得OP//ED,且OP=ED,即有四边形OPED为平行四边形,则OD//EP,即BD//EP,因为FA⊥平面ABCD,BD平面ABCD,则FA⊥BD,又四边形ABCD是菱形,即BD⊥AC,而FAAC=A,平面FAC,因此,BD⊥平面FAC,即EP⊥平面FAC,又EP平面EFC,所以平面FAC⊥平面EFC.【小问2详解】由已知,
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