2025届安徽省合肥市示范初中数学高一上期末统考试题含解析

2025届安徽省合肥市示范初中数学高一上期末统考试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．下列函数中为奇函数，且在定义域上是增函数是（）A. B.C. D.2．在R上定义运算⊙：A⊙B＝A(1－B)，若不等式(x－a)⊙(x＋a)<1对任意的实数x∈R恒成立，则实数a的取值范围为（）A.－1<a<1 B.0<a<2C.－<a< D.－<a<3．如图，在正三棱锥中，，点为棱的中点，则异面直线与所成角的大小为（）A.30° B.45°C.60° D.90°4．已知三个函数，，的零点依次为、、，则A. B.C. D.5．函数在上最大值与最小值之和是（）A. B.C. D.6．如果，且，那么下列命题中正确的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则7．命题的否定是（）A. B.C. D.8．命题“”的否定为（）A. B.C. D.9．设函数，若关于方程有个不同实根，则实数的取值范围为（）A. B.C. D.10．若关于的方程有且仅有一个实根，则实数的值为（）A3或-1 B.3C.3或-2 D.-1二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．已知函数，若a、b、c互不相等，且，则abc的取值范围是______12．数据的第50百分位数是__________.13．已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是______14．函数的最小值为________.15．已知函数在区间上是增函数，则下列结论正确是__________（将所有符合题意的序号填在横线上）①函数在区间上是增函数；②满足条件的正整数的最大值为3；③.16．某种商品在第天的销售价格（单位：元）为，第x天的销售量（单位：件）为，则第14天该商品的销售收入为________元，在这30天中，该商品日销售收入的最大值为________元.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知.（1）若能表示成一个奇函数和一个偶函数的和，求和的解析式；（2）若和在区间上都是减函数，求的取值范围；（3）在（2）的条件下，比较和的大小.18．如图，平面，，，，分别为的中点．（I）证明：平面；（II）求与平面所成角的正弦值．19．读下列程序，写出此程序表示的函数，并求当输出的时，输入的的值.20．假设你有一笔资金用于投资，年后的投资回报总利润为万元，现有两种投资方案的模型供你选择.（1）请在下图中画出的图像；（2）从总利润的角度思考，请你选择投资方案模型.21．已知函数f(x)＝coscos－sinxcosx＋(1)求函数f(x)的最小正周期和最大值；(2)求函数f(x)单调递增区间

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、D【解析】结合基本初等函数的单调性及奇偶性分别检验各选项即可判断【详解】对于函数，定义域为，且，所以函数为偶函数，不符合题意；对于在定义域上不单调，不符合题意；对于在定义域上不单调，不符合题意；对于，由幂函数的性质可知，函数在定义域上为单调递增的奇函数，符合题意故选：D2、C【解析】根据新定义把不等式转化为一般的一元二次不等式，然后由一元二次不等式恒成立得结论【详解】∵(x－a)⊙(x＋a)＝(x－a)(1－x－a)，∴不等式(x－a)⊙(x＋a)<1，即(x－a)(1－x－a)<1对任意实数x恒成立，即x2－x－a2＋a＋1>0对任意实数x恒成立，所以Δ＝1－4(－a2＋a＋1)<0，解得，故选:C.3、C【解析】取BC的中点E，∠DFE即为所求，结合条件即求.【详解】如图取BC的中点E，连接EF，DE，则EF∥AB，∠DFE即为所求，设，在正三棱锥中，，故，∴，∴，即异面直线与所成角的大小为.故选：C.4、C【解析】令，得出，令，得出，由于函数与的图象关于直线对称，且直线与直线垂直，利用对称性可求出的值，利用代数法求出函数的零点的值，即可求出的值.【详解】令，得出，令，得出，则函数与函数、交点的横坐标分别为、.函数与的图象关于直线对称，且直线与直线垂直，如下图所示：联立，得，则点，由图象可知，直线与函数、的交点关于点对称，则，由题意得，解得，因此，.故选：C.【点睛】本题考查函数的零点之和的求解，充分利用同底数的对数函数与指数函数互为反函数这一性质，结合图象的对称性求解，考查数形结合思想的应用，属于中等题.5、A【解析】直接利用的范围求得函数的最值，即可求解.【详解】∵,∴,∴,∴最大值与最小值之和为，故选：.6、D【解析】根据不等式的性质逐项分析判断即可.【详解】对于A，若，，满足，但不成立，错误；对于B，若，则，错误；对于C，若，，满足，但不成立，错误；对于D，由指数函数的单调性知，正确.故选：D.7、C【解析】根据存在量词命题的否定是全称量词命题，选出正确选项.【详解】因为命题是存在量词命题，所以其否定是全称量词命题，即，.故选：C.8、C【解析】“若，则”的否定为“且”【详解】根据命题的否定形式可得：原命题的否定为“”故选：C9、B【解析】等价于，即或，转化为与和图象交点的个数为个，作出函数的图象，数形结合即可求解【详解】作出函数的图象如下图所示变形得，由此得或，方程只有两根所以方程有三个不同实根，则，故选：B【点睛】易错点点睛：本题的易错点为函数的图像无限接近直线，即方程只有两根，另外难点在于方程的变形，即因式分解10、B【解析】令，根据定义，可得的奇偶性，根据题意，可得，可求得值，分析讨论，即可得答案.【详解】令，则，所以为偶函数，图象关于y轴对称，因为原方程仅有一个实根，所以有且仅有一个根，即，所以，解得或-1，当时，，，，不满足仅有一个实数根，故舍去，当时，，当时，由复合函数的单调性知是增函数，所以，当时，，所以，所以仅有，满足题意，综上：.故选：B二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解析】画出函数的图象，根据互不相等，且，我们令，我们易根据对数的运算性质，及c的取值范围得到abc的取值范围，即可求解【详解】由函数函数，可得函数的图象，如图所示：若a，b，c互不相等，且，令，则，，故，故答案为【点睛】本题主要考查了对数函数图象与性质的综合应用，其中画出函数图象，利用图象的直观性，数形结合进行解答是解决此类问题的关键，着重考查了数形结合思想，以及分析问题和解答问题的能力，属于中档试题12、16【解析】第50百分位数为数据的中位数,即得.【详解】数据的第50百分位数，即为数据的中位数为.故答案为：16.13、【解析】根据指数函数与二次函数的单调性，以及复合函数的单调性的判定方法，求得在上单调递增，在区间上单调递减，再结合题意，即可求解.【详解】令，可得抛物线的开口向上，且对称轴为，所以函数在上单调递减，在区间上单调递增，又由函数，根据复合函数的单调性的判定方法，可得函数在上单调递增，在区间上单调递减，因为函数在上单调递减，则，可得实数的取值范围是.故答案：.14、【解析】原函数化为，令，将函数转化为，利用二次函数的性质求解.【详解】由原函数可化为，因为，令，则，，又因为，所以，当时，即时，有最小值.故答案为：15、①②③【解析】!由题函数在区间上是增函数，则由可得为奇函数，则①函数在区间(,0)上是增函数，正确；由可得，即有满足条件的正整数的最大值为3，故②正确；由于由题意可得对称轴，即有.，故③正确故答案为①②③【点睛】本题考查正弦函数的图象和性质，重点是对称性和单调性的运用，考查运算能力，属于中档题16、①.448②.600【解析】销售价格与销售量相乘即得收入，对分段函数，可分段求出最大值，然后比较【详解】由题意可得（元），即第14天该商品的销售收入为448元.销售收入，，即，.当时，，故当时，y取最大值，，当时，易知，故当时，该商品日销售收入最大，最大值为600元.故答案为：448；600.【点睛】本题考查分段函数模型的应用．根据所给函数模型列出函数解析式是基本方法三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）（3）【解析】（1）根据函数奇偶性的定义可得出关于和的等式组，即可解得函数和的解析式；（2）利用已知条件求得；（3）化简的表达式，令，分析关于的函数在上的单调性，由此可得出与的大小.【小问1详解】由已知可得，，，所以，，，解得.即.【小问2详解】函数在区间上是减函数，则，解得，又由函数在区间上是减函数，得，则且，所以.【小问3详解】由（2），令，因为函数和在上为增函数，故函数在上为增函数，所以，，而，所以，即.18、（Ⅰ）略（Ⅱ）【解析】（I）证明：连接，在中，分别是的中点，所以，又，所以，又平面ACD，DC平面ACD，所以平面ACD（Ⅱ）在中，，所以而DC平面ABC，，所以平面ABC而平面ABE，所以平面ABE平面ABC，所以平面ABE由（Ⅰ）知四边形DCQP是平行四边形，所以所以平面ABE，所以直线AD在平面ABE内的射影是AP，所以直线AD与平面ABE所成角是在中，，所以考点：线面平行的判定定理；线面角点评：本题主要考查了空间中直线与平面所成的角，属立体几何中的常考题型，较难．本题也可以用向量法来做．而对于利用向量法求线面角关键是正确写出点的坐标和求解平面的一个法向量．注意计算要仔细、认真19、【解析】阅读程序框图可知，此程序表示的函数为，当时，得.当时，得.试题解析：此程序表示的函数为，当时，得.当时，得.故当输出的时，输入的，故答案为.20、（1）作图见解析（2）答案不唯一，具体见解析【解析】（1）根据指数函数描出几个特殊点，用平滑的曲线连接即可.（2）结合（1）中的图像，分析可得对于不同的值进行讨论即可求解.【详