专题01实数（原卷版）2

第01讲实数理解有理数的意义，能用数轴表示有理数借助数轴理解绝对值的意义，掌握有理数的绝对值的方法，知道的含义掌握有理数的四则运算理解乘方的意义理解有理数的运算律了解平方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根、算术平方根了解立方根的概念，会用根号表示数的立方根了解乘方与开方互为逆运算，会用平方运算求百以内的平方根了解无理数和实数的概念，了解实数与数轴上的点一一对应能求实数的相反数与绝对值能估计无理数的大致范围了解近似数的概念★简单；★★易错；★★★中等；★★★★难；★★★★★压轴TOC\o"11"\h\u考点1：实数的分类 3考点2：数轴的相关计算 10考点3：相反数 16考点4：绝对值 21考点5：科学记数法 29考点6：近似数 33考点7：实数的大小比较 39考点8：平方根、算术平方根、立方根 43考点9：实数的运算 50课堂总结：思维导图 55分层训练：课堂知识巩固 56考点1：实数的分类①实数分类②无理数几种常见类型：1.开不尽的数型：如eq\r(5)，eq\r(8)等开方开不尽的数；2.构造型：如0.1010010001…；3.π及含π的数：如π，π＋4等．另外依靠勾股定理的计算，估算无理数的大小.4.三角函数｛无理数判断★｝在下列实数中，无理数是A． B． C．0.3 D．｛实数概念综合★｝下列说法：①实数和数轴上的点是一一对应的；②无理数都是带根号的数；③负数没有立方根；④的平方根是．其中正确的有A．0个 B．1个 C．2个 D．3个｛实数分类★｝下列说法正确的是A．正整数、负整数统称为整数 B．正分数、负分数统称为分数 C．正数、负数统称为有理数 D．整数、分数、小数都是有理数｛无理数程序图★★｝（凉山州·中考真题）有一个数值转换器，原理如下：当输入的为64时，输出的是A． B． C． D．8｛实数概念综合★｝（河北·中考真题）如图为张小亮的答卷，他的得分应是A．100分 B．80分 C．60分 D．40分｛实数新定义★★｝（2020•长沙）2020年3月14日，是人类第一个“国际数学日”．这个节日的昵称是“”．国际数学日之所以定在3月14日，是因为“3.14”是与圆周率数值最接近的数字．在古代，一个国家所算得的圆周率的精确程度，可以作为衡量这个国家当时数学与科技发展水平的一个主要标志．我国南北朝时的祖冲之是世界上最早把圆周率的精确值计算到小数点后第7位的科学巨匠，该成果领先世界一千多年．以下对于圆周率的四个表述：①圆周率是一个有理数；②圆周率是一个无理数；③圆周率是一个与圆的大小无关的常数，它等于该圆的周长与直径的比；④圆周率是一个与圆的大小有关的常数，它等于该圆的周长与半径的比．其中表述正确的序号是A．②③ B．①③ C．①④ D．②④｛无理数判断★｝（2020•遂宁）下列各数3.1415926，，，，，，中，无理数的个数有个．｛实数概念综合★★｝下列说法：①的平方根是；②任何数的平方都是非负数，因而任何数的平方根也是非负数；③任何一个非负数的平方根都不大于这个数；④平方根等于本身的数是0．其中正确的是A．④ B．①② C．②③ D．③｛实数分类★｝下列说法中，正确的是【知识拓展】（自然数：。）A．正有理数和负有理数统称有理数 B．一个有理数不是整数就是分数 C．零不是自然数，但它是有理数 D．正分数、零、负分数统称分数｛实数新定义★★★｝（2021•随州）2021年5月7日，《科学》杂志发布了我国成功研制出可编程超导量子计算机“祖冲之”号的相关研究成果．祖冲之是我国南北朝时期杰出的数学家，他是第一个将圆周率精确到小数点后第七位的人，他给出的两个分数形式：（约率）和（密率）．同时期数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是：设实数的不足近似值和过剩近似值分别为和（即有，其中，，，为正整数），则是的更为精确的近似值．例如：已知，则利用一次“调日法”后可得到的一个更为精确的近似分数为：；由于，再由，可以再次使用“调日法”得到的更为精确的近似分数现已知，则使用两次“调日法”可得到的近似分数为．（2021•永州）在0，，，，中无理数的个数是个．（通辽·中考真题）实数，，0，，，，，（相邻两个3之间依次多一个，其中无理数的个数是A．4 B．2 C．1 D．3考点2：数轴的相关计算（1）三要素：原点、正方向、单位长度（2）特征：实数与数轴上的点一一对应；数轴右边的点表示的数总比左边的点表示的数大｛数轴的几何意义★★｝（泰安·中考真题）如图，四个实数，，，在数轴上对应的点分别为，，，，若，则，，，四个实数中，绝对值最大的一个是A． B． C． D．｛实数的几何意义★｝如图，数轴上点所表示的数是A． B． C．3.6 D．3.7｛数轴的计算★｝（2021•福州模拟）若实数，，，在数轴上的对应点的位置如图所示，则①；②；③；④的结论中，正确的是A．①② B．①④ C．②③ D．③④｛实数的几何意义★｝（成都中考真题）如图，数轴上点表示的实数是．｛数轴的计算★｝（2019•北京）在数轴上，点，在原点的两侧，分别表示数，2，将点向右平移1个单位长度，得到点，若，则的值为A． B． C． D．1｛数轴的计算★★★｝有一题目：点、、分别表示数、1、5，三点在数轴上同时开始运动，点运动方向是向左，运动速度是；点、的运动方向是向右，运动速度分别、，如图，在运动过程中，甲、乙两位同学提出不同的看法：甲：的值不变；乙：的值不变；下列选项中，正确的是A．甲、乙均正确 B．甲正确、乙错误 C．甲错误、乙正确 D．甲、乙均错误（2021•广州）如图，在数轴上，点、分别表示、，且，若，则点表示的数为A． B．0 C．3 D．（2019•福建）如图，数轴上、两点所表示的数分别是和2，点是线段的中点，则点所表示的数是．考点3：相反数（1）概念：只有符号不同的两个数（2）代数意义：a、b互为相反数a+b=0（3）几何意义：数轴上表示互为相反数的两个点到原点的距离相等｛相反数的定义★｝下列两个数互为相反数的是A．和B．和 C．和 D．和｛相反数的定义★★｝下列说法正确的是A．符号相反的两个数互为相反数 B．一个数的相反数一定是正数 C．一个数的相反数一定比这个数本身小 D．一个数的相反数的相反数等于原数｛相反数的代数意义★｝若与互为相反数，则的值为．｛相反数符号化简★｝下列化简正确的是A． B． C． D．｛相反数的定义★｝若一个数的相反数等于它本身，那么这个数一定是【知识拓展】（倒数等于它本身：；绝对值等于它本身：。）A．0 B．1 C． D．｛相反数的定义★｝已知与互为相反数，则下列式子：①；②；③；④，其中一定成立的是A．1个 B．2个 C．3个 D．4个｛相反数的代数意义★｝如果和互为相反数，和互为倒数，那么｛相反数的代数意义★｝若与互为相反数，则的值为．（2021•烟台）若的相反数是3，则的值是A． B． C．3 D．（2021•深圳）的相反数A．2021 B． C． D．考点4：绝对值（1）几何意义：数轴上表示的点到原点的距离（2）运算性质：（3）非负性：|a|≥0，若|a|+b2=0,则a=b=0｛绝对值的定义★｝下列说法中错误的个数是①绝对值是它本身的数有两个，是0和1②一个有理数的绝对值必为正数③0.5的倒数的绝对值是2④任何有理数的绝对值都不是负数．A．0 B．1 C．2 D．3｛运算性质★★｝若，，，那么的值是A．2或0 B．或0 C．或3 D．或9｛运算性质★｝若时，化简A．1 B． C． D．｛运算性质★★｝若实数、、满足，，则的值为A．6 B．7 C．6或8 D．6或7｛运算性质★★｝若，则的值为A．或 B．或0或 C．或0 D．0或｛绝对值非负性★｝若，则A．2 B．7 C．8 D．9｛几何意义★★★｝的最小值是．｛几何意义★★★｝式子有最小值，其最小值是．｛运算性质★｝下列各式的结论成立的是A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则｛运算性质★｝若，且，，则A．7 B． C．3 D．｛运算性质★｝已知，，，则．｛绝对值符号化简★★｝已知，则．｛运算性质★｝已知，化简．｛绝对值非负性★｝若，则．｛绝对值非负性★｝，则．｛几何意义★★★｝适合的整数的值有A．4个 B．5个 C．7个 D．9个（2021•阿坝州）的绝对值为A． B．0 C．3 D．（2021•大庆）下列说法正确的是A． B．若取最小值，则 C．若，则 D．若，则考点5：科学记数法（1）形式：a×10n,其中1≤|a|＜10，n为整数（2）确定n的方法：对于数位较多的大数，n等于原数的整数为减去1；对于小数，写成，1≤|a|＜10，n等于原数中左起至第一个非零数字前所有零的个数（含小数点前面的一个）｛科学记数法表示较小的数★｝用科学记数法表示为A． B． C． D．｛科学记数法表示较大的数★｝2021年春节档电影《你好，李焕英》，体现了深厚的母女之情．收获好评的同时也成为了票房黑马．截止3月6日，《你好，李焕英》票房成功突破50亿，成为中国影史上第三部突破50亿票房大关的电影．其中50亿用科学记数法表示为A． B． C． D．｛科学记数法表示较大的数★｝2021年国庆档电影《长津湖》上映16天票房收入超45.6亿元，成为中国影史排名第五名．其中45.6亿元用科学记数法可表示为A．元 B．元 C．元 D．元｛科学记数法表示较大的数★｝今年是中国共产党建党100周年，截至2021年6月5日，中国共产党党员总数为9514.8万名，将9514.8万用科学记数法表示为A． B． C． D．（2021•攀枝花）2021年5月，由中国航天科技集团研制的天问一号探测器的着陆巡视器成功着陆于火星乌托邦平原南部预选着陆区．中国航天器首次奔赴火星，就“毫发未损”地顺利出现在遥远的红色星球上，完成了人类航天史上的一次壮举．火星与地球的最近距离约为5500万千米，该数据用科学记数法可表示为千米．A． B． C． D．（2021•日照）实验测得，某种新型冠状病毒的直径是120纳米纳米米），120纳米用科学记数法可表示为A．米 B．米 C．米 D．米考点6：近似数（1）定义：一个与实际数值很接近的数.（2）精确度：由四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位.｛近似数有效数字★｝截止2021年5月16日，全球累计新冠肺炎死亡病例3352109例，将3352109用科学记数法表示，并保留3个有效数字，应记为．｛近似数★｝按要求填空：（1）753.1968（精确到；（2）753.1968（精确到十分位）；（3）753.1968（精确到百位）；（4）近似数3.60万精确到位；（5）近似数0.0702精确到位；（6）近似数，精确到．｛近似数★｝用四舍五入法按要求对0.05019分别取近似值，其中错误的是A．0.1（精确到 B．0.051（精确到千分位） C．0.05（精确到百分位） D．0.0502（精确到｛近似数★｝据报道，国新办于2021年5月11日上午就第七次人口普查主要数据结果举行发布会，发布会上透露全国人口已达141178万人．用四舍五入法，对141178万取近似值，精确到百万位的结果是A．1412 B．1412000000 C．141200万 D．｛近似数★｝用四舍五入法，按括号里的要求取近似值．（1）3.0688（精确到；（2）23489（精确到千位）；（3）（精确到万位）．｛近似数★｝用四舍五入法按要求对0.7831取近似值，其中正确的是A．0.783（精确到百分位）B．0.78（精确到 C．0.7（精确到 D．0.7830（精确到｛近似数★｝下列数据中，是近似数的为A．一年有12个月B．药店每人限购10个口罩 C．每间寝室住3人 D．某校大约有2000名师生｛近似数★｝下列近似数，只有三个有效数字的是A．6.010 B．0.6010 C．0.061 D．0.601｛近似数★｝用四舍五入法，0.00356精确到万分位的近似数是A．0.003 B．0.004 C．0.0035 D．0.0036｛近似数★｝用四舍五入法将130541精确到千位，正确的是A． B． C．131000 D．（2020•济宁）用四舍五入法将数3.14159精确到千分位的结果是A．3.1 B．3.14 C．3.142 D．3.141考点7：实数的大小比较（1）数轴比较法：数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大.（2）性质比较法：正数＞0＞负数；两个负数比较大小，绝对值大的反而小.（3）作差比较法：a－b＞0a＞b；a－b=0a=b；a－b＜0a＜b.（4）平方法：a＞b≥0a2＞b2.｛实数的大小比较性质法★｝大于而又不大于的整数有A．7个 B．6个 C．5个 D．4个｛实数的大小比较性质法★｝有理数，满足，，，则下列结论正确的是A． B． C． D．｛实数的大小比较平方法★｝（2019•陕西）比较大小：．｛实数的大小比较作差法★｝通过估算，比较大小：．｛实数的大小比较作差法★｝比较大小：．｛实数的大小比较作差法★｝比较实数大小：（填“”或“”．｛实数的大小比较作差法★｝比较大小关系1.5（填“”、“”或“”．（2021•朝阳）在有理数2，，，0中，最小的数是A．2 B． C． D．0（2018•宜昌）如图，一块砖的，，三个面的面积比是．如果，，面分别向下放在地上，地面所受压强为，，，压强的计算公式为，其中是压强，是压力，是受力面积，则，，，的大小关系正确的是A． B． C． D．（2021•临沂）比较大小：5（选填“”、“”、“”．考点8：平方根、算术平方根、立方根平方根、算术平方根：若x2=a（a≥0）,则x=.其中是算术平方根.立方根：若x3=a,则x=.｛平方根★★｝的平方根为A．13 B． C． D．｛平方根的性质★★｝若与是同一个正数的平方根，则这个正数为A．1 B．4 C． D．｛平方根、算术平方根、立方根★｝下列说法错误的是A．4的算术平方根是2 B．是2的一个平方根 C．的立方根是 D．化简结果是｛立方根的性质★｝已知，若，则的值约为A．326000 B．32600 C．3.26 D．0.326｛算术平方根的性质★｝请同学们观察下如表：0.044400400000.2220200已知，，运用你发现的规律求．｛算术平方根的性质★｝根据以下程序，当输入时，输出的值为A． B． C． D．5｛立方根、算术平方根★｝若一个数的算术平方根是8，则这个数的立方根是A． B． C．2 D．4｛立方根★｝已知为实数，且，则的算术平方根为A．3 B．2 C．3和 D．2和｛平方根、立方根★｝4的平方根是，27的立方根是，则的值为A．2 B．3 C．5或1 D．5或｛算术平方根★｝（2018•安顺）的算术平方根是A． B． C． D．2｛平方根、算术平方根、立方根★★｝下列说法中正确的有①0的算术平方根是0；②8的算术平方根是4；③是11的平方根；④是25的平方根；⑤是8的平方根；A．1个 B．2个 C．3个 D．4个｛平方根、算术平方根、立方根★★｝（2021•福建模拟）下列说法不正确的是A．21的平方根是 B．的平方根是 C．0.01的算术平方根是0.1 D．是25的一个平方根｛算术平方根★★｝若方程的两根分别为和，且，则下列结论中正确的是A．是19的算术平方根 B．是19的平方根 C．是19的算术平方根 D．是19的算术平方根｛立方根的性质★｝若，，那么．｛立方根的性质新定义★★★｝按照下面的思路可以口算得到．（1）由，，能确定是个两位数；（2）由59319的个位上的数是9，可以确定个位上的数是9；（3）如果划去59319后面的三位数319得到数59，而，，由此可以确定十位上的数字是3；类比以上思路，已知912673是整数的立方，那么．（2021•东营）16的算术平方根为A． B．4 C． D．8（2021•凉山州）的平方根是A．9 B． C．3 D．（2021•包头）一个正数的两个平方根是和，则的立方根为．考点9：实数的运算①乘方：几个相同因数的积;负数的偶（奇）次方为正（负）②零指数幂：a0=1(a≠0)③负指数幂：a－p=（a≠0，p为整数）④混合运算：先乘方、开方，再乘除，最后加减；同级运算，从左向右进行；如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号一次进行.计算时，可以结合运算律，使问题简单化.｛★★｝计算：．｛★★｝计算：．｛★★｝计算：．｛★★｝（2019•内江）计算：（﹣1）2019+（﹣）﹣2+|﹣2|+3tan30°．｛★★｝（2019•安顺）计算：（﹣2）﹣1﹣+cos60°+（）0+82019×（﹣0.125）2019．｛★★｝（2019•常德）计算：6sin45°+|2﹣7|﹣（）﹣3+（2019﹣）0．｛★｝计算：．｛★｝计算：．｛★｝计算：．求值：．计算：．计算：．课堂总结：思维导图分层训练：课堂知识巩固1．的相反数是A． B．3 C． D．2．的绝对值是A． B．2022 C． D．3．如图，，是有理数，它们在数轴上的对应点的位置如图所示，把，，，按照从大到小的顺序排列，正确的是A． B． C． D．4．已知有理数，，在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论不正确的是A． B． C． D．5．2022年4月16日，神舟十三号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，创造了中国航天员连续在轨飞行时间的最长纪录，该乘组共在轨飞行约15800000秒，将15800000用科学记数法表示为A． B． C． D．6．植树节当天，七年级1班植树300棵，正好占这批树苗总数的，七年级2班植树棵数是这批树苗总数的，则七年级2班植树的棵数是A．36 B．60 C．100 D．1807．如图1，点，，是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为，，4，某同学将刻度尺如图2放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点，发现点对应刻度，点对齐刻度．则数轴上点所对应的数为A．3 B． C． D．8．在式子“〇中的“〇”内填入下列运算符号，计算后结果最大的是A． B． C． D．9．若，互为相反数，的倒数是4，则的值为A． B． C． D．1610．数轴上的点到原点的距离是6，则点表示的数为A．12或 B．6 C． D．6或11．实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是A． B． C． D．12．估计的值应在A．10和11之间 B．9和10之间 C．8和9之间 D．7和8之间13．在实数，，，中，最小的数是A． B． C． D．14．如图，数轴上有，，，四点，以下线段中，长度最接近的是A．线段 B．线段 C．线段 D．线段15．实数在数轴上的对应点的位置如图所示．若实数满足，则的值可以是A．2 B． C． D．16．如图，已知正方形的面积为5，点在数轴上，且表示的数为1．现以为圆心，为半径画圆，和数轴交于点在的右侧），则点表示的数为A．3.2 B． C． D．17．估计的值应在A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间18．已知，，，．若为整数且，则的值为A．43 B．44 C．45 D．4619．实数，，在数轴上的对应点的位置如图所示，若，则下列结论中正确的是A． B． C． D．20．的平方根是A． B．5 C． D．1．下面关于0的说法，正确的是A．0既不是正数也不是负数 B．0既不是整数也不是分数 C．0不是有理数 D．0的倒数是02．有理数、在数轴上的对应点如图所示，则下列各式子正确的是A． B． C． D．3．下列说法中，正确的是A．不带负号的数都是正数 B．最大的负有理数是 C．一个有理数不是正的就是负的 D．一个有理数不是整数就是分数4．有理数，，在数轴上对应点的位置如图所示，则下列说法正确的是A． B． C． D．5．下列各数：，，3.14，，，有理数的个数有A．2个 B．3个 C．4个 D．5个6．如图是一个简单的数值运算程序，若开始输入，则最后输出的结果是A． B． C． D．7．点、在同一条数轴上，其中点表示的数为1，若点到点的距离为4，则点表示的数是A．3 B．5 C．3或 D．5或8．三位同学在计算：时，用了不同的方法．嘉嘉说：12的、和分别是3、2和6，所以结果是；琪琪说：先计算括号里面的数，，再乘12，得结果；嘉琪说：利用分配律，先把12与、和分别相乘，得结果．对于三位同学的计算方式，下面描述正确的是A．三位同学都用了运算律 B．琪琪使用了加法结合律 C．嘉琪使用了分配律 D．嘉嘉使用了乘法交换律9．下列说法中正确的个数有①0是最小的有理数；②3.3不是整数；③正有理数、负有理数统称为有理数；④非负有理数不包括零；⑤一个有理数不是整数就是分数．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个10．下列说法正确的个数为（1）0是绝对值最小的有理数；（2）乘以任何数仍得这个数；（3）数轴上原点两侧的数互为相反数；（4）一个数的平方是正数，则这个数的立方也是正数；（5）一对相反数的平方也互为相反数A．0个 B．1个 C．2个 D．3个11．“十四五”期间，我省高端装备制造产业要保持中高速增长，力争到2025年营业收入超过5500亿元，其中数据“5500亿”用科学记数法可表示为A． B． C． D．12．定义一种新的运算：★，如：3★，则5★2的值为A