第3章圆（压轴题专练）-2023-2024学年九年级数学下册单元速记巧练（北师大版）

第3章圆（压轴题专练）目录：题型1：圆与三角形、四边形综合题型2：圆与相似三角形、解直角三角形题型3：圆与二次函数题型4：圆在平面直角坐标系中的应用题型5：与圆有关的动态问题题型6：切线问题题型7：正多边形与圆、弧长问题题型1：圆与三角形、四边形综合1．是上的一条不经过圆心的弦，，在劣弧和优弧上分别有点A，B（不与M，N重合），且，连接，．(1)如图1，是直径，交于点C，，求的度数；(2)如图2，连接，，过点O作交于点D，求证：；(3)如图3，连接，，试猜想的值是否为定值，若是，请求出这个值；若不是，请说明理由．【答案】(1)(2)证明见解析(3)存在，16【分析】（1）如图1，根据圆周角定理得到；由圆周角、弧、弦的关系和等腰三角形的性质推知，，易得的度数；（2）如图2，连接，，，利用圆周角、弧、弦的关系和平行线的性质推知：；根据等腰的性质知：；结合的内角和定理得到：，即；（3）设，．如图3，延长至点，使，连接，作于点E．构造全等三角形：，则该全等三角形的对应边相等，，由勾股定理知，，代入化简即可得到该结论．【解析】（1）解：如图1，∵是的直径，∴．∵，∴．∵，∴，∴；（2）解：如图2，连接，，．∵，∴．又∵，∴．∵，∴．∵，∴．∵，∴；（3）解：如图3，延长至点，使，连接，作于点E．设，．∵四边形是圆内接四边形，∴．∵，∴．∵，∴，∴，∴，．∵于点E．∴．∵，∴．化简得，∴．【点睛】本题属于圆的综合题，主要考查圆周角定理、圆周角、弧、弦间的关系、全等三角形的判定与性质、圆内接四边形的性质以及勾股定理等知识，综合性较强，解答本题需要熟练以上各部分内容，对学生的综合能力要求较高，一定要注意将所学知识贯穿起来．2．【特例感知】

（1）如图①，是的直径，是的圆周角，平分交于点D，连接．已知，，则的度数为，点D到直线的距离为；【类比迁移】（2）如图②，是的圆周角，平分交于点D，过点D作，垂足为M，探索线段之间的数量关系，并说明理由；【问题解决】（3）图③，四边形为的内接四边形，，平分，，求线段的长．【答案】（1）；；（2），详见解析；（3）．【分析】（1）利用角平分线的定义得出，再利用圆的内接四边形的性质即可求得，利用直径所对的圆周角是90°，继而求出，，再证明，利用相等的圆周角所对的弦相等得出，过点D作于点E，利用含的直角三角形的性质即可得解；（2）连接，作交的延长线于点N，证明得到，再证明得到，从而得到；（3）作于点G，交的延长线于点H，证明得到，设，再证明四边形是正方形，从而得到，从而得到，，，再利用建立方程，求出x，从而得解．【解析】（1）∵平分，∴，∴，∵为直径，∴，∴，∴，∴，∴，∴，过点D作于点E，则，，则有，∴，即点D到直线的距离为，

故答案为：；；（2），理由如下：如图②，连接，作交的延长线于点N，

∵平分，，∴，∵，，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，（3）如图③，作于点G，交的延长线于点H，

∵平分，∴，∵，，∴，∵，∴，∴，设，∵，∴四边形是矩形，∵，∴四边形是正方形，∴，∵，，∴，，∴，∵，∴，解得，(不符合题意，舍去)，∴，∴线段的长为．【点睛】本题考查圆的综合，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，一元二次方程的解法等知识，灵活运用圆的性质和利用角平分线的性质构造全等三角形是解题的关键．3．如图1，点是直径上一点，，，过点作弦，点在上运动，连接．

(1)求的长．(2)如图，连接，作的角平分线交于点，在点运动的过程中，的长度是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不会发生变化，请求出其值．(3)如图，过点作于，连接，求的最小值．【答案】(1)8(2)的长度不发生变化；(3)【分析】（1）连接，根据，，确定圆的半径为5，结合，根据垂径定理，得到，得．（2）连接，根据垂径定理，得到，利用三角形外角性质，圆周角定理，证明即可．（3）根据题意，点H的运动轨迹是以为直径的上的，当D、H、N三点共线时，取得最小值，计算即可．【解析】（1）如图，连接，∵，，∴，∴圆的半径为5，

∵，∴，∴．（2）的长度不发生变化；．理由如下：如图，连接，

∵直径，，，弦，，∴，∴，∵的角平分线交于点，∴，∵，，∴，∴，∴，故的长度不发生变化；．（3）如图，连接，∵，

∴点H的运动轨迹是以为直径的上的，当D、H、N三点共线时，取得最小值，连接，交于点M，故当H与M重合时，取得最小值，∵，，，∴，∴，过点N作于点F，则，∴，∵，∴，，，∴，∴，故最小值为．【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，三角形外角性质，直角所对的弦是直径，点圆最值，中位线定理，熟练掌握垂径定理，圆的最值性质是解题的关键．题型2：圆与相似三角形、解直角三角形4．已知的直径与弦交于点．(1)如图1，求证：；(2)如图2，点在上，连接，弦交直径于点，若，求证：；(3)如图3，在（2）的条件下，点在上，连接交直径于点，，过点的直线交的延长线于点，求的长．【答案】(1)见详解；(2)见详解；(3)．【分析】（1）利用弧、弦之间的关系及线段垂直平分线的判定定理即可证明；（2）利用已知条件证明，得圆心角相等即可证明；（3）根据角平分线、三角函数及已知条件作辅助线，构建直角三角形，利用勾股定理及三角函数使问题得以解决．【解析】（1）证明：连接，，，，点在线段的垂直平分线上，即．（2）证明：作的平分线，交于点G，连接，，是的直径，，即，，，，，．（3）作于M，设，，即，，，，，，，，连接，，，同理，，，，，，设，，，中，，，中，，，，作于N，，平分，，，，即，，，，连接，，，，即，，，，，．【点睛】本题是圆的综合题，有难度，考查了线段垂直平分线的判定、圆周角、弧、弦及圆心角的关系、勾股定理、三角函数、角平分线的性质及判定，熟练掌握角平分线性质及判定是本题的关键．5．如图1，内接于，于点D．(1)连接，，求证：；(2)如图2，若点E为弧上一点，连接交于点F，若，，连接，求证：平分；(3)在（2）的条件下，如图3，点G为上一点，连接，，若，，求线段的长．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)【分析】（1）根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半，且结合，即可作答；（2）先根据三角形的外角性质，得，等角对等边，得，即可证明，结合全等三角形的对应角相等，即可作答；（3）根据同弧所对的圆周角是相等，得，由三角形的内角和，得，等角对等边，得，进而证明，得，等角对等边，得，故，因为，，证明，得，解得，由勾股定理建立式子，即可作答．【解析】（1）证明：∵∴∴∵∴∴（2）证明：设∵，∴，∴∴∴∵，∴．∴∴OF平分．（3）解：连接，过点E作于点M交的延长线于点N由（2）得，，∴∵∴，∵，且∴，∴，∴．∴∵，∴∴，，∵∴∴∴∵∴∵∵，∴∴∴∴∴∵∴∴【点睛】本题考查了圆综合，涉及圆周角定理，三角形外角性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等综合内容，难度较大，综合性较强，学会灵活运用等角对等边以及作出正确的辅助线是解题的关键．6．【感知】如图①，点A、B、P均在上，，则锐角的大小为___________度．

【探究】小明遇到这样一个问题：如图②，是等边三角形的外接圆，点P在上（点P不与点A、C重合），连结、、．求证：．小明发现，延长至点E，使，连结，通过证明，可推得是等边三角形，进而得证．下面是小明的部分证明过程：证明：延长至点E，使，连结，∵四边形是的内接四边形，∴．，∴．∵是等边三角形．∴，∴请你补全余下的证明过程．【延申】如图③，是的外接圆，，，点P在上，且点P与点B在的两侧，连结、、．则、、之间满足什么关系？证明你的结论．【应用】如图④，是的外接圆，，，点P在上，且点P是上一点，连结、、．若，则的值为___________．【答案】【感知】，【探究】见解析，【延申】，见解析，【应用】【分析】感知：根据圆周角定理：同弧所对的圆周角是圆心角的一半，即可得出答案；探究：延长至点E，使，连接，先通过“”证明，得出，，进而得出是等边三角形，即可得出结论；延申：延长至点G，使，连接，先结合圆内接四边形对角互补，则通过通过“”证明出，进而判断出，进而得出是等腰直角三角形，即可得出结论；应用：过点作，记与的交点为点，根据圆周角定理得，结合，得是等腰直角三角形，通过两个角对应相等证明，得，同理证明，得，即，即可作答．【解析】解：感知∵，∴；探究：延长至点E，使，连结，∵四边形是的内接四边形，∴．，∴．∵是等边三角形．∴，∴∴，，∵△ABC是等边三角形，∴，∴，∴为等边三角形，∴；延伸：如图③，延长至点G，使，连接．

∵四边形是的内接四边形，∴，∵，∴，∵，∴，∴，，∵，∴，∴，∵，∴，即；应用：如图：过点作，记与的交点为点，设，

因为，所以，因为，，所以，因为，所以是等腰直角三角形，则即，因为，，所以，则，即，故，因为，所以，因为，所以，则，即，故，所以，那么．【点睛】此题是圆的综合题，主要考查了圆周角定理，勾股定理，圆内接四边形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定和性质，难度较大，综合性较强，正确作出辅助线构造出全等三角形是解本题的关键．题型3：圆与二次函数7．如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于，两点（点在点的左边），交轴负半轴于点

(1)如图1，①直接写出，，三点的坐标；②抛物线上存在点，使得，直接写出点的坐标；(2)如图2，设经过，，三点的交轴于另外一点，，经过点的直线交抛物线于，两点，若的长等于的直径长，求的值．【答案】(1)①，，②，(2)【分析】（1）①当时，该抛物线表达式为，把和代入，求出对应的x和y的值，即可得出点A、B、C的坐标；②易得，则，连接，令交x轴于点F，设，直线的函数表达式为，用待定系数法求出直线的函数表达式为，则，根据，列出方程求解即可；（2）连接，易得，根据圆周角定理推出，则，得出，进而得出该抛物线表达式为，求出．过点作轴于点，连接，根据两点之间距离公式求出，则，推出直线表达式为，联立得出，则，，，，进而的胡扯，列出方程求解即可．【解析】（1）解：①当时，该抛物线表达式为，把代入得：，解得：，∴，把代入得：，∴；②∵，，∴，∴，∴，连接，令交x轴于点F，设，直线的函数表达式为，把，代入得：，解得：，∴直线的函数表达式为，把代入得：，∴，∴，∴，∴或，当时，，解得：或，∴或，当时，整理得：，∵，∴该方程无解，综上：，；

（2），解：连接，由可得，，，∴，，∴，∵点A、C、B、E四点共圆，∴，∴，∴，∴，∴，∴该抛物线表达式为，∴，，，，∵点M为圆形，∴点M横坐标与中点横坐标相等，点M纵坐标与中点纵坐标相等，∴，即．过点作轴于点，连接，

∴，∴，∵把代入得：，整理得：，∴直线表达式为∴联立，，∴，，∴，，∴，∴，∴，∵，∴．【点睛】本题考查了二次函数综合，解题的关键是熟练掌握用待定系数法求解函数表达式的方法步骤，圆周角定理，垂径定理，两点之间的距离公式啊，一元二次方程根于系数的关系．8．在平面直角坐标系内，的三个顶点为，，，以及其内部区域记为W．若点P落在图形W上，则称点P为“好点”．

(1)下列各点，，中是“好点”的有(2)如图，点Q坐标为，若以Q为圆心r为半径的圆上存在唯一点P是“好点”，求r的值：(3)如图，点M、N是抛物线（）的两个端点，（点M在点N左边），连接，由抛物线（）和线段围城的封闭图形及其内部区域记为U．若图形U上存在“好点”，求c的取值范围．【答案】(1)E、F(2)或；(3)【分析】（1）在平面直角坐标系中描出点D、E、F，根据题意，结合图象可得答案；（2）根据题意得到以Q为圆心r为半径的圆与相切或经过点B时，圆上存在唯一点P是“好点”，利用切线性质和两点间坐标距离公式、结合坐标与图形性质求解即可；（3）先得到抛物线的对称轴为直线，进而得到线段关于直线对称，分别求得抛物线与直线相切时；抛物线经过点B时；线段经过点B时的c值，结合图象可求解．【解析】（1）解：在平面直角坐标系中描出点D、E、F，如图，

由图可知，是“好点”的有点E、F，故答案为：E、F；（2）解：如图，以Q为圆心r为半径的圆与相切或经过点B时，圆上存在唯一点P是“好点”，设切点为P，则，

∵，，，，∴，，，∴，解得，综上，r的值为或；（3）解：由抛物线（）得对称轴为直线，∴线段关于直线对称，设直线的表达式为，则，解得，∴直线的表达式为，当抛物线（）与直线相切时，联立方程组得，∴，则，此时由解得，则切点坐标为，在线段上；当抛物线经过点B时，由得；当时，，当，，∴，，设直线的表达式为，则，解得，∴直线的表达式为，则，当线段经过点B时，由得，根据图象，当时，图形U上存在“好点”．【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、待定系数法求函数解析式、圆的切线性质、坐标与图形性质、一元二次方程根的判别式等知识，理解题中定义，利用数形结合思想求解临界值是解答的关键．9．已知抛物线经过点．

(1)求抛物线解析式和直线的解析式；(2)若点是第四象限抛物线上的一点，若，求点的横坐标；(3)如图2，点是线段上的一个动点（不与重合），经过三点的圆与过且垂直于的直线交于点，求当最小时点的坐标及最小值．【答案】(1)(2)(3)，【分析】（1）将、、的坐标代入即可求出抛物线的解析式，将，两点的坐标代入一次函数解析式即可求出直线的解析式．（2）可设点的横坐标为，用含的代数式表示出点的纵坐标．过点作轴，过点作轴，过点作轴平行线，分别交、于点、，构造梯形，得到面积等于梯形减去和的面积和，列方程即可求出值，从而确定点的坐标．（3）由即可得为圆的直径，进而得到圆周角，所以等于与的乘积．设的横坐标为，其纵坐标可用表示，再设的横坐标为，根据圆的性质可求得的值．分别过、作轴的垂线，构造三垂直模型，即得到、的关系式，进而得到与的长度比值，故能用的二次函数关系式表示，即求得最小值．【解析】（1）解：抛物线与轴交于点、，，把点代入得：，，抛物线解析式为：，设直线的解析式为：，解得：，直线的解析式为：；（2）过点作轴，过点作轴，过点作轴平行线，分别交、于点、，，，，设点，，，，，，，解得：（舍去），，点的横坐标坐标为．

（3）连接、、，取中点，过点作轴于点，过点作轴于点，，，设，，的横坐标为，，，，，，为过、、三点的圆的直径，为圆心，，，，，，圆心在的垂直平分线上，，为中点，，，，，，当时，最小值，，点坐标为时，最小值为．

【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，解一元二次方程，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，二次函数求最值．题型4：圆在平面直角坐标系中的应用10．如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴负半轴上，点B在x轴正半轴上，过点A、B的与y轴交于C、D两点（点C在点D上方），连接，点E为中点．

(1)连接，求证：；(2)若的半径为2，的平方和等于24，求的长度；(3)连接，若，点P在内部，且，则B点坐标为______．【答案】(1)证明见解析(2)(3)【分析】（1）连接并延长，交于点F，利用直角三角形的斜边上的中线的性质，对顶角的性质，圆周角定理和直角三角形的性质解答即可；（2）连接，过点P作于点M，于点N，利用垂径定理，矩形的判定与性质，勾股定理解答即可得出结论；（3）连接，连接并延长交于点F，利用垂径定理，等腰直角三角形的性质得到的延长线经过点O，利用（1）的结论，圆周角定理，对顶角的性质和三角形的内角和定理得到为等腰直角三角形，再利用全等三角形的判定与性质求得，利用等腰直角三角形的性质得到的长度，则结论可得．【解析】（1）连接并延长，交于点F，如图，

∵点E为中点，，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴；（2）连接，过点P作于点M，于点N，如图，

则，∵，∴，∵，∴四边形为矩形，∴．∵，∴，，∴，∵的平方和等于24，∴，∴；（3）连接，连接并延长交于点F，如图，

∵点E为中点，∴，∵，∴的延长线经过点O，，∴，∴为等腰直角三角形，由（1）知：，∴为等腰直角三角形，∴．∵，∴，∵，∴．在和中，，∴，∴，∴．∴．故答案为：．【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，垂径定理，直角三角形的性质，勾股定理，直角三角形的斜边上的中线的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质．11．在平面直角坐标系中，对于点（不在坐标轴上）给出如下定义：以为圆心，为半径的与y轴的另一个交点为，若在线段，上分别存在点，，使得为等腰直角三角形，其中，则称点是完美点．如图，若点的坐标为点，则在线段，上分别存在点，，使得为等腰直角三角形，其中，所以点是完美点．

(1)下列点中是完美点的有___________（填序号）；①；②(2)已知为抛物线上一点，若为完美点，求的取值范围：(3)已知直线l：，点为直线上一点，若以为圆心，半径为的上无完美点，求的取值范围．【答案】(1)②(2)或(3)【分析】（1）根据新定义分析，设，则，得出当时，是完美点，进而分别判断①，②；（2）依题意，，根据为完美点，得出，解不等式，即可求解．（3）依题意，当时，半径为的上有完美点，则当时，半径为的上无完美点，依题意，解不等式，即可求解．【解析】（1）解：依题意，是等腰直角三角形，∴，则在半径为的上，设，则，根据直线与圆的位置关系，可得，当时，是完美点，∵①；②∴，而，则不是完美点∵,∴点是完美点；故答案为：②（2）解：∵为抛物线上一点∴∵为完美点，∴即即解得:∴或；（3）解：如图所示，当为圆心，半径为的上有唯一完美点，

依题意，当时，半径为的上有完美点，∴当时，半径为的上无完美点∵在，∴，∴，∴，解得：．【点睛】本题考查了几何新定义，勾股定理，二次函数的性质，一次函数的性质，解不等式,直线与圆的位置关系，理解新定义是解题的关键．12．在平面直角坐标系中，线段，点M，N在线段上，且，P为的中点，如果任取一点Q，将点Q绕点P顺时针旋转得到点，则称点为点Q关于线段的“旋平点”

(1)如图1，已知，，，如果为点Q关于线段的“旋平点”，①写出一个点Q的“旋平点”的坐标______；②画出示意图，写出a的取值范围：(2)如图2，的半径为3，点A，B在上，点，如果在直线上存在点Q关于线段的“旋平点”，求m的取值范围．【答案】(1)①（不唯一），②图形见详解，(2)【分析】（1）①根据旋平点的定义，作答即可；②根据旋平点的定义，找到点，即可；（2）由点Q在x轴上，当点P也在x轴上时，点的横坐标有最值，由长求出弦心距长，在求出长，分两种情况求出点坐标即可．【解析】（1）①点M，N在线段上，且，P为的中点，则设：，，即，如图，点Q绕点P顺时针旋转得到点，，

∴此时点Q的“旋平点”的坐标为，故答案为：（答案不唯一）；②设，，且，∵点、在线段上，且，，，∴，，，∴，∴，∵点与点关于点对称，∴，，∴，∴的取值范围为：；示意图如下：

（2）解：∵点Q在x轴上，∴当点P也在x轴上时，点的横坐标有最值，如图，作弦心距，

，半径3，，，，当点P在x轴负半轴时，，，，；当点P在x轴正半轴时，，，，，．【点睛】本题考查新定义圆和对称的知识，解题的关键是理解旋平点的定义，根据定义，进行解题．题型5：与圆有关的动态问题13．（1）如图1，已知点，是轴上的动点，过点作交轴于点是中点，求证．

（2）在（1）的条件下，可知在线段的垂直平分线上，若点，则是否有最小值？最小值为多少？（3）如图2，在中，为中点，圆过，两点且分别交于点，连接，当圆从过点变化到过时，点的运动轨迹为多长？

【答案】（1）见解析；（2）有最小值，最小值为；（3）当圆从过点变化到过时，点的运动轨迹为．【分析】（1）连接，，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半可得：；（2）点在线段的垂直平分线上，作线段的垂直平分线交轴，轴于点，则当时，最小；（3）利用圆和三角形的相关知识综合分析即可求解．【解析】（1）证明：如图，连接、,∵，∴为直角三角形，∵是中点，∴是斜边上的中线，∴,同理，是斜边上的中线，∴,∴．（2）解：如图，过点作于点，连接,，∵,为中点，∴,∴点在线段的垂直平分线上，作线段的垂直平分线交轴，轴于点，，当,最小，连接，则,∵，∴，，设，则，∵，∴，∴，∴，∵,，∴，∵，∴,∴，即,∴，∵，∴，∵在中，当时，最小，∴，，∴，∴，∴，∴有最小值，最小值为．（3）解：如图1,连接,,延长至点,使,连接,，∵,，∴,∴,，∴AG//BF，∵,∴,∴，又∵是直径,∴,∴,∴,设的半径为,连接,,则，∵,,∴,∴，∵,∴,∴,当点与点重合,点与点重合时,如图2所示,连接交于点，由可知,∴,∴是的中点，∵是的中点,∴，设,则，在中，由勾股定理，得,即,解得,易得点在线段的垂直平分线上运动,由图易得,点到的距离为，同理可得,当过点时,点与点重合,点与点重合,此时易求得的半径为,点到的距离为，∴点经过的路径长为．【点睛】此题考查了勾股定理、全等三角形、圆的性质、等腰三角形、三角形三边关系、极端原理、最值求法、相似三角形等多个知识点，综合性很强，正确理解题意是解题的关键．14．在矩形中，，点P从点A出发，沿边向点B以每秒的速度移动，同时点Q从点D出发沿边向点A以每秒的速度移动，P、Q其中一点到达终点时，另一点随之停止运动．设运动时间为t秒．解答下列问题：(1)如图①，t为何值时，的面积等于；(2)如图②，若以点P为圆心，为半径作．在运动过程中，是否存在t值，使得经过点C？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；(3)如图③，若以Q为圆心，为半径作，当与相切时．①求t的值．②如图④，若点E是此时上一动点，F是的中点，连接，则线段的最大值为．【答案】(1)4或5秒(2)存在，(3)①4；②【分析】（1）利用三角形的面积公式构建方程即可解决问题．（2）连接，根据切线长定理可得，利用勾股定理构建方程即可解决问题．（3）①设与相切于点，连接，则，在中，利用勾股定理构建方程即可解决问题．②由①得：，，连接，取的中点M，连接，作于N，则，，根据，可得，，再求出，根据，即可解决问题．【解析】（1）解：根据题意得：，∵的面积等于，∴，整理得：，解得，即或5秒时，的面积为20．（2）解：如图，连接，经过点，，∵，，，解得或（舍去），当时，⊙P经过点．（3）解：①如图，设与相切于点，连接，则，，∵为半径，且，∴，，，，，，，时，与相切．

②由①得：，，如图，连接，取的中点M，连接，作于N，则，，∵F是的中点，∴，∵，∴，，∴，，∴,，,∴,∴，∴,∴，即线段的最大值为。故答案为：【点睛】本题属于圆综合题，考查了矩形的性质，勾股定理，切线的判定与性质，切线长定理，三角形中位线定理，以及三角形三条边的关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造三角形中位线解决问题，属于中考压轴题．15．在中，，，给出如下定义：作直线l分别交、边于点M、N，点A关于直线l的对称点为，则称为等腰直角关于直线l的“直角对称点”．（点M可与点B重合，点N可与点C重合）(1)在平面直角坐标系中，点，直线，O'为等腰直角关于直线l的“直角对称点”．①当时，写出点的坐标______；②连接，求长度的取值范围；(2)⊙O的半径为8，点M是上一点，以点M为直角顶点作等腰直角，其中，直线l与、分别交于E、F两点，同时为等腰直角关于直线l的“直角对称点”，连接；当点M在上运动时，直接写出长度的最大值与最小值．【答案】(1)①；②(2)的最大值为，的最小值为【分析】（1）①根据直角对称点的定义求解即可；②如图中，设直线交y轴于E，则，连接，如图，由题意知，，点在以点E为圆心，以为半径的一段圆弧上；当直线经过点B时，最长，即，当点为与的交点时，最短，；（2）如图，由对称知，,可求，当点三点共线，且在圆外时，最长，当点三点共线，且在圆内时，最短，的最大值为，OM′的最小值为．【解析】（1）解：（1）①如图2中，当时，设直线交y轴于点E，交x轴于点F．则，，是的中位线，，都是等腰直角三角形，点O关于的对称点O′在线段上，，．故答案为：；②如图中，设直线交y轴于E，则，连接，

在中，，，，如图，由题意知，，点在以点E为圆心，以为半径的一段圆弧上；设直线经过点B时，点O关于的对称点为点D，由对称知，，此时，最长，即当点为与的交点时，最短，此时，；∴，（2）如图，连接，作点M关于的对称点，连接，，．

如图，是等腰直角三角形，，由对称知，,,，由图，，当点三点共线，且在圆外时，最长，此时;当点三点共线，且在圆内时，最短，此时;，的最大值为，OM′的最小值为【点睛】本题属于圆综合题，轴对称，考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，圆外一点到圆上点的距离等知识，解题的关键是对于动态问题确定临界状态，从而确定极值．题型6：切线问题16．已知：四边形内接于，对角线交于点平分．

(1)如图1，求证：；(2)如图2，连接交于点，点为上一点，，求证：；(3)如图3，在（2）的条件下，过点作的切线交的延长线于点，若，求线段的长．【答案】(1)证明过程见详解(2)证明过程见详解(3)线段的长为【分析】（1）利用圆周角定理证明即可；（2）如图所示，连接，过点作于点，利用圆周角定理、平行线的判定和性质可得，再运用等腰梯形的判定和性质，直角三角形的性质即可求解；（3）根据题意可证，可求出，运用勾股定理可求出的长，由（2）可得，运用圆周角定理可得，设，根据勾股定理可求出的值，由此即可求解．【解析】（1）证明：∵平分，∴，∴，∴．（2）证明：如图所示，连接，过点作于点，

∵，，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴四边形为等腰梯形，∴，∵，∴，∵，∴，且，∴，∴，即．（3）解：如图所示，连接，过点作于点，

∵是的切线，∴，∵，∴，∴，∵点在上，即四边形是圆的内接四边形，则，，∴，在中，，∴，∴，∵，∴，∴，∵是的切线，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，，∴，∵，∴，设，则，，∴，在中，，∴，解得，或（不符合题意），∴，∴，∵，∴，∴．【点睛】本题主要考查圆的综合知识，包括圆周角定理，垂径定理，切线的性质，勾股定理等知识，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，圆内接四边形的性质，等腰梯形的判定和性质，解题的关键是连接圆的半径，利用圆的相关知识，图形结合分析．17．已知平面直角坐标系中，以原点O为圆心，5为半径的交y轴的正半轴于点P，小刚同学用手中的三角板（）进行了如下的实验操作：

(1)如图1，将三角板的斜边放置于x轴上，边恰好与相切于点D，则切线长；(2)如图2，将三角板的顶点A在上滑动，直角顶点B恰好落在x轴的正半轴上，若边与相切于点M，求点B的坐标；(3)请在备用图上继续操作：将三角板的顶点A继续在上滑动，直角顶点B恰好落在上且在y轴右侧，边与y轴的正半轴交于点G，与的另一交点为H，若，求的长．【答案】(1)(2)(3)或【分析】（1）连接，得出，根据含30度角的直角三角形的性质，勾股定理即可求得的长；（2）连接，设线段交于点，过点作于，得出四边形是矩形，根据垂径定理以及矩形的性质得出，在中，勾股定理求得，中，勾股定理求得，即可求得点的坐标；（3）分类讨论，①当在点上方时，过点作于点，连接，根据90度角所对的弦是直径，得出是的直径，进而勾股定理求得，垂径定理求得，在中，得出，在中求得，继而根据即可求解；②当点在点下方时，过点作，同一法证明点重合，进而垂径定理即可求解．【解析】（1）如图，连接，

∵边恰好与相切于点，∴，∵，∴，∴，∴中，,，∴，∴,故答案为：；（2）如图，连接，设线段交于点，过点作于，

∵边与相切于点，∴，又，∴四边形是矩形，∴，，∵，∴,∵，∴，∴，在中，，∴,∴，∴中，,∴，（3）解：①如图，当在点上方时，过点作于点，连接，

∵，∴是的直径，∴，∵，在中，，∵，∴,在中，，∵，∴，在中，，，∴；②当点在点下方时，如图，∵，∴是的直径，∴，∵，在中，，过点作，∴，在中，，∵，∴，∴，即点重合，∴，∴．【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，圆周角定理，切线的性质，含30度角的直角三角形的性质，综合运用以上知识是解题的关键．18．已知：对于平面直角坐标系中的点P和的半径为4，交x轴于点A，B，对于点P给出如下定义：过点C的直线与交于点M，N，点P为线段的中点，我们把这样的点P叫做关于的“折弦点”．

(1)若．①点中是关于的“折弦点”的是；②若直线上只存在一个关于的“折弦点”，求k的值；(2)点C在线段上，直线上存在关于的“折弦点”，直接写出b的取值范围．【答案】(1)①；②(2)【分析】（1）①根据题意得到P为的中点，点P在以为圆心，1为半径的圆上，再根据点到圆心的距离进行判断即可；②由①可知，点P在以为圆心，1为半径的圆上，设圆心为，过点D作垂直直线于点F，求得，，，证明，根据相似性质列式计算即可得到答案；（2）由（1）可知点P在以为直径的圆上，直线上存在关于的“折弦点”，则直线与相交或相切，分两种情况利用勾股定理求出b的最大值和最小值即可．【解析】（1）解：①如图，∵P为的中点，∴，∴，

∴点P在以为直径的圆上，∵，∴点P在以为圆心，1为半径的圆上，∵，，，∴点，在该圆上，不在该圆上，∴点，是关于的“折弦点”故答案为：；②由①可知，点P（的折弦点）在以为圆心，1为半径的圆上，设圆心为，∵直线上只存在一个关于的“折弦点”，∴直线与只有一个交点，∴直线与相切，即，过点D作垂直直线于点F，当，，解得，当，，∴直线与x轴交于点，与y轴交于点，∴，，，∵，∴，∴，∴，解得；（2）解：由（1）可知点P（的折弦点）在以为直径的圆上，∵直线上存在关于的“折弦点”，∴直线与相交或相切，

当直线与恰好相切时，设切点为F（在x轴上方），∵直线与y轴交于点，与x轴交于点，∴，∴，由切线的性质可得，∴是等腰直角三角形，∴，∴，∴，∴，∴当最大时，b最大，又∵，∴当点C与点A重合时，b有最大值，此时，∴，∴，同理，当点C与点B重合时，b有最小值，此时，∴，∴，∴，∴当时，直线上存在关于的“折弦点”．【点睛】本题主要考查了圆的综合应用，相似三角形的性质与判定，一次函数与几何综合，熟练掌握垂径定理，圆的切线性质定理，弄清定义，会画图分析是解题的关键．题型7：正多边形与圆、弧长问题19．如图1．扇形中，，，点P在半径上，连接．(1)把沿翻折，点O的对称点为点Q．①当点Q刚好落在弧上，求弧的长；②如图2，点Q落在扇形外，与弧交于点C，过点Q作，垂足为H，探究、、之间的数量关系，并说明理由；(2)如图3，记扇形在直线上方的部分为图形W，把图形W沿着翻折，点B的对称点为点E，弧与交于点F，若，求的长．【答案】(1)①；②，理由见解析(2)【分析】（1）①连接，证明是等边三角形，即可得，问题随