第24讲相似三角形压轴题（六大压轴母题型）（原卷版）-2023年新九年级数学暑假课（北师大版）

第24讲相似三角形压轴题（六大压轴母题型）一、折叠问题；二、坐标问题；三、动点问题；四、旋转问题；五、与特殊四边形有关的几何问题；六、综合判断题1．如图，四边形是边长为的菱形，，点为的中点，为线段上的动点，现将四边形沿翻折得到四边形．

(1)当时，求四边形的面积；(2)当点在线段上移动时，设，四边形的面积为，求关于的函数表达式．2．综合与实践综合与实践课上，同学们以“四边形的折叠”为主题开展数学活动．

操作判断(1)操作一：如图1，将正方形纸片沿对角线折叠，然后将纸片展开；操作二：依次将边，折到对角线AC上，折痕分别为，，使点，分别落在对角线上的点，处，将纸片展开，连接，．根据以上操作，易得出结论：四边形的形状是______．迁移探究(2)如图2，将正方形纸片换成矩形纸片，按照（1）中的方式操作，继续探究．①小明认为此时四边形的形状仍然符合（1）中的结论，你认为小明的说法正确吗？请说明理由；②小亮认为可以通过改变矩形与的比值，让四边形成为菱形，你认为小亮说法正确吗？请简述理由．拓展应用(3)在（2）的条件下，若，当，分别是线段的三等分点时，请直接写出四边形的面积．3．已知：正方形边长为2．点为边上的动点，以直线为对称轴翻折得（如图）．连接，取中点，连接．

(1)当翻折后，若点刚好落在对角线上，求此时的长度．(2)当点P由A运动到D时，求点M的运动轨迹的长度．(3)如果将“点P为线段上的动点”改为“点为射线上的动点”，其它条件不变，那么当等腰三角形时，求此时的长度．4．实践操作：第一步：如图1，将矩形纸片沿过点D的直线折叠，使点A落在上的点A'处，得到折痕，然后把纸片展平．第二步：如图2，将图1中的矩形纸片沿过点E的直线折叠，点C恰好落在上的点处，点B落在点处，得到折痕，交于点M，交于点N，再把纸片展平．

问题解决：(1)如图1，填空：四边形的形状是；(2)如图2，线段与是否相等？若相等，请给出证明；若不等，请说明理由；(3)如图2，若，求的值．二、坐标问题5．已知点，点，且a，b满足关系式．(1)求点A、B的坐标；(2)如图1，点C在x轴上，当三角形的面积为15时，求点C的坐标；(3)如图2，点D是直线第一象限上的点，连接，当三角形的面积为12时，求点D的坐标；(4)如图3，平移直线得到直线，交x轴于点E，交y轴于点F，P是直线第四象限上的点，过点P作轴于点H，连接，．当三角形的面积为36且时，直接写出点P的坐标．6．如图1，在平面直角坐标系中，一次函数交y轴于点B，一次函数与一次函数交于点A，将线段沿着方向平移得到线段，连接，点，过点D作直线轴．(1)求点A的坐标．(2)证明：四边形是矩形．(3)以点O为中心，顺时针旋转矩形，得到矩形，点A，B，C旋转后的对应点分别为，直线、直线分别与直线l相交于点P，Q．记旋转角为α．①如图2，当矩形的顶点落在直线l上时，求点P的坐标．②在四边形旋转过程中，当时，若，点P的坐标为_____（请直接写出答案）．7．在平面直角坐标系中，为原点，矩形的边，分别在轴正半轴和轴正半轴上，点坐标为，是边上的一动点．

(1)用含有的代数式表示的面积；(2)若，用含的代数式表示点的纵坐标；(3)在（2）的条件下，是上一点，连接，过作于，连接，的面积为44，且，求点的坐标．三、动点问题8．如图，在中，，，，D是的中点．动点P从点A出发，沿以每秒4个单位长度的速度向点B匀速运动．当点P不与A、B重合时，过点P作的垂线交或于点Q，连接．设点P的运动时间为t秒．

(1)__________；(2)求的长（用含t的代数式表示）；(3)连接，当是直角三角形时，求t的值．9．如图，在平面直角坐标系中，矩形的两边，分别在轴、轴的正半轴上，，．点从点出发，沿轴以每秒个单位长的速度向点匀速运动，当点到达点时停止运动，设点运动的时间是秒．将线段的中点绕点按顺时针方向旋转得点，点随点的运动而运动，连接，．

(1)当时，点的坐标是；(2)请用含的代数式表示出点的坐标；(3)在点从向运动的过程中，能否成为直角三角形？若能，求的值．若不能，请说明理由．10．如图，在矩形中，，，动点P从点A开始以每秒2个单位长度沿向终点B运动，同时，动点Q从点C开始沿以每秒3个单位长度向终点A运动，它们同时到达终点．连接交于点E．过点E作，交直线于点F．

(1)当点Q在线段上时，求证：．(2)当时，求的面积．(3)在P，Q的运动过程中，是否存在某一位置，使得以点E，F，Q为顶点的三角形与相似？若存在，求的长；若不存在，请说明理由．11．已知：如图1，在四边形中，，连接．点P从点A出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，点Q从点D出发，沿方向匀速运动，速度为．连接，设运动时间为．(1)当t为何值时，点D在线段的垂直平分线上？(2)延长交于点E（如图2），若四边形是平行四边形，求t的值；(3)设的面积为，求y与t的函数关系式，并求y的最大值；(4)是否存在某一时刻t，使得与的夹角为？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由．四、旋转问题12．如图1，在中，是边上不与重合的一个定点．于点，交于点．是由线段绕点顺时针旋转得到的，的延长线相交于点．

(1)求证：；(2)求的度数；(3)若是的中点，如图2．求证：．13．数学兴趣小组探究了以下几何图形．如图①，把一个含有角的三角尺放在正方形中，使角的顶点始终与正方形的顶点重合，绕点旋转三角尺时，角的两边，始终与正方形的边，所在直线分别相交于点，，连接，可得．

【探究一】如图②，把绕点C逆时针旋转得到，同时得到点在直线上．求证：；【探究二】在图②中，连接，分别交，于点，．求证：；【探究三】把三角尺旋转到如图③所示位置，直线与三角尺角两边，分别交于点，．连接交于点，求的值．14．【问题情境】如图1，在中，，点D，E分别是边的中点，连接．如图2，将绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为．【观察发现】如图2，当时，_________．【方法迁移】如图3，矩形中，点E，F分别是的中点．四边形为矩形，连接．如图4，将矩形绕点A逆时针旋转．旋转角为α，连接．请探究矩形旋转过程中，与的数量关系；【拓展延伸】如图5，若将上题中的矩形改为“平行四边形”且，矩形改为“平行四边形”，其他条件不变，如图6，在平行四边形旋转过程中，直接写出_________．

15．（1）如图1，正方形和正方形（其中），连接交于点H，请直接写出线段与的数量关系，位置关系；（2）如图2，矩形和矩形，，将矩形绕点D逆时针旋转，连接交于点H，（1）中线段关系还成立吗？若成立，请写出理由；若不成立，请写出线段的数量关系和位置关系，并说明理由；（3）矩形和矩形，，将矩形绕点D逆时针旋转，直线交于点H，当点E与点H重合时，请直接写出线段的长．五、与特殊四边形结合的几何问题16．如图，在正方形中，，M是对角线上的一个动点，连接，，过点M作交于点N．

(1)如图①，求证：①；②；(2)如图②，连接，为的中点，的延长线交边于点P，当时，求和的长；(3)如图③，过点N作于H，当时，请直接写出的面积．17．如图，正方形中，点在边上，点是的中点，连接，．

(1)求证：；(2)将绕点逆时针旋转，使点的对应点落在上，连接．当点在边上运动时（点不与，重合），判断的形状，并说明理由．(3)在（2）的条件下，已知，当时，求的长．18．问题提出(1)如图①，在中，点在边上，且，过点作，交于点，若，则__________；问题探究(2)如图②，在矩形中，点、分别在边、上，且，过点作，交于点，连接，交于点，若，，求的最大值；问题解决(3)如图③，在正方形中，点、、、分别在边、、、上，且，与交于点，且，若，，的面积是否存在最大值？若存在，请求出的面积的最大值；若不存在，请说明理由．

六、综合判断题19．如图，正方形的边长为4，点，分别在边，上，且，平分，连接，分别交，于点，，是线段上的一个动点，过点作垂足为，连接，有下列四个结论：①垂直平分；②的最小值为；③；④．其中正确的是（

）

A．①② B．②③④ C．①③④ D．①③20．如图在正方形中，E，F分别是，上的点且，分别交，于H，G点．下列结论中：①；②；③；④若，则．正确的个数是（

）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个21．如图，在矩形中，，．把沿折叠，使点恰好落在边上的处，再将绕点顺时针旋转，得到，使得恰好经过的中点．设交于点，连接．有如下结论：①；②的长度是；③；④．上述结论中，正确的个数有（

）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个22．如图，在中，，三角形角平分线、交为O点．现有如下结论，其中正确结论的个数为(

)

①A点在所在直线的上方运动时，的度数不变；②A点在所