专题13二元一次方程组的实际应用问题分类集训

专题13二元一次方程组的实际应用问题分类集训（解析版）类型一行程问题1．（2022秋•通川区校级期末）小魏和小梁从A，B两地同时出发，小魏骑自行车，小梁步行，沿同条路线相向匀速而行．出发2h两人相遇．相遇时小魏比小梁多行24km，相遇后0.5h小魏到达B地．（1）两人的速度分别是多少？（2）相遇后小梁多少时间到达A地？思路引领：（1）设小魏的速度为xkm/h，小梁的速度为ykm/h，由题意：出发2h两人相遇．相遇时小魏比小梁多行24km，相遇后0.5h小魏到达B地．列出二元一次方程组，解方程组即可；（2）由路程÷速度即可得出结论．解：（1）设小魏的速度为xkm/h，小梁的速度为ykm/h，由题意得：2x−2y=242y=0.5x解得：x=16y=4答：小魏的速度为16km/h，小梁的速度为4km/h；（2）2×16÷4＝8（h），答：相遇后小梁8小时到达A地．总结提升：本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．2．（2022春•阜宁县期末）甲、乙两人沿400米的环形跑道同时同地出发跑步．如果同向而行，那么经过200秒两人相遇；如果背向而行，那么经过50秒两人相遇．求甲、乙两人的跑步速度（甲的速度快）．思路引领：设甲跑步速度是xm/s，乙跑步速度是ym/s，根据“如果同向而行，那么经过200秒两人相遇；如果背向而行，那么经过50秒两人相遇”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．解：设甲跑步速度是xm/s，乙跑步速度是ym/s，依题意得：200x−200y=40050x+50y=400解得：x=5y=3答：甲跑步速度是5m/s，乙跑步速度是3m/s．总结提升：本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．3．（2022•南京模拟）在数据收集时发现，从教室到食堂需要先走楼梯下楼，再走一段平地．假定人在平路上行走速度始终是60米/分，下楼梯的时候速度始终是20米/分，上楼梯的时候速度始终是10米/分．则从教室到食堂需要4分钟，从食堂回来教室需要6分钟．请问楼梯有多少米，平地有多少米？思路引领：设楼梯有x米，平地有y米，利用时间＝路程÷速度，结合“从教室到食堂需要4分钟，从食堂回来教室需要6分钟”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．解：设楼梯有x米，平地有y米，依题意得：x20整理得：3x+y=2406x+y=360解得：x=40y=120答：楼梯有40米，平地有120米．总结提升：本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．4．（2022春•杜尔伯特县期中）已知一条船的顺水速度为72km/h，逆水速度为56km/h，求该船在静水中的速度和水流的速度．（列方程解决问题）思路引领：设该船在静水中的速度为xkm/h，水流的速度为ykm/h，根据“该船的顺水速度为72km/h，逆水速度为56km/h”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．解：设该船在静水中的速度为xkm/h，水流的速度为ykm/h，依题意得：x+y=72x−y=56解得：x=64y=8答：该船在静水中的速度为64km/h，水流的速度为8km/h．总结提升：本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．类型二工程问题5．（2021•泰州）甲、乙两工程队共同修建150km的公路，原计划30个月完工．实际施工时，甲队通过技术创新，施工效率提高了50%，乙队施工效率不变，结果提前5个月完工．甲、乙两工程队原计划平均每月分别修建多长？思路引领：设甲工程队原计划平均每月修建xkm，乙工程队原计划平均每月修建ykm，则两队原计划平均每月修建（x+y）km，技术创新后两队原计划平均每月修建[（1+50%）x+y]km，根据原计划30个月完工，通过技术创新提前5个月完工为等量关系即可列出二元一次方程组，求解即可求出结果．解：设甲工程队原计划平均每月修建xkm，乙工程队原计划平均每月修建ykm，根据题意得，150=30(x+y)150=(30−5)[(1+50%)x+y]解得x=2y=3答：甲工程队原计划平均每月修建2km，乙工程队原计划平均每月修建3km．总结提升：本题考查了二元一次方程组应用，能够根据时间找出等量关系是解决问题的关键．6．（2022春•铜梁区校级期中）草场收割队每小时需要割草54亩，现决定向某大型机械租赁公司租用甲、乙两种型号的割草机来完成这项工作（两种都要租），已知该公司一台甲型割草机与一台乙型割草机每小时共割草14亩，5台甲型收割机与3台乙型收割机恰好能完成每小时的收割量．（1）求每台甲型收割机与每台乙型收割机每小时各割草多少亩？（2）该收割队恰好完成每小时的割草量，请设计该收割队的租用方案．思路引领：（1）设每台甲型收割机每小时割草x亩，每台乙型收割机每小时割草y亩，根据“已知该公司一台甲型割草机与一台乙型割草机每小时共割草14亩，5台甲型收割机与3台乙型收割机恰好能完成每小时的收割量”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设租用m台甲型收割机，n台乙型收割机，根据每小时需要割草54亩，即可得出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为正整数，即可得出各租用方案．解：（1）设每台甲型收割机每小时割草x亩，每台乙型收割机每小时割草y亩，依题意得：x+y=145x+3y=54解得：x=6y=8答：每台甲型收割机每小时割草6亩，每台乙型收割机每小时割草8亩．（2）设租用m台甲型收割机，n台乙型收割机，依题意得：6m+8n＝54，∴m＝9−43又∵m，n均为正整数，∴m=5n=3或m=1∴该收割队共有2种租用方案，方案1：租用5台甲型收割机，3台乙型收割机；方案2：租用1台甲型收割机，6台乙型收割机．总结提升：本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程．类型三配套问题7．（2022春•南关区校级月考）一套仪器由2个A部件和5个B部件构成．用1m3钢材可做40个A部件或200个B部件，现要用6m3钢材制作这种仪器，应用多少钢材做A部件，多少钢材做B部件，恰好能使这种仪器刚好配套？思路引领：设应用xm3钢材做A部件，ym3钢材做B部件，恰好能使这种仪器刚好配套，根据用6m3钢材制作的部件刚好配套，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．解：设应用xm3钢材做A部件，ym3钢材做B部件，恰好能使这种仪器刚好配套，根据题意得：x+y=640x解得：x=4y=2答：应用4m3钢材做A部件，2m3钢材做B部件，恰好能使这种仪器刚好配套．总结提升：本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．8．（2022春•沐川县期末）某工厂生产如图1所示的长方形和正方形纸板，做成如图2所示的竖式与横式两种长方体形状的无盖纸盒，其中竖式纸盒由4个长方形和1个正方形纸板做成，横式纸盒由3个长方形和2个正方形纸板做成（给定的长方形和正方形纸板都不用裁剪，也不考虑接缝）．（1）现有长方形纸板340张，正方形纸板160张，做成上述两种纸盒，纸板恰好用完，求两种纸盒生产个数．（2）纸板车间共有78名工人，每个工人一天能生产70张长方形纸板或者100张正方形纸板，已知一个竖式纸盒与一个横式纸盒配套，要求纸板车间一天生产的纸板由其它车间做成竖式纸盒与横式纸盒配套，问纸板车间应该如何安排工人生产两种纸板？思路引领：（1）设生产竖式无盖纸盒x个，横式无盖纸盒y个，根据生产的两种无盖纸盒正好使用长方形纸板340张、正方形纸板160张，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设安排m名工人生产长方形纸板，则安排（78﹣m）名工人生产正方形纸板，根据一个竖式纸盒与一个横式纸盒配套且每天生产的两种纸板做成的竖式纸盒与横式纸盒配套，即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论．解：（1）设生产竖式无盖纸盒x个，横式无盖纸盒y个，依题意得：4x+3y=340x+2y=160解得：x=40y=60答：生产竖式无盖纸盒40个，横式无盖纸盒60个．（2）设安排m名工人生产长方形纸板，则安排（78﹣m）名工人生产正方形纸板，依题意得：70m4+3解得：m＝60，∴78﹣m＝78﹣60＝18．答：纸板车间应该安排60名工人生产长方形纸板，18名工人生产正方形纸板．总结提升：本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程．9．（2022春•庐阳区期末）一工厂有60名工人，要完成1200套产品的生产任务，每套产品由4个A型零件和3个B型零件配套组成，每个工人每天能加工6个A型零件或者3个B型零件．现将工人分成两组，每组分别加工一种零件，并要求每天加工的零件正好配套．（1）工厂每天应安排多少名工人生产A型零件？每天能生产多少套产品？（2）现工厂要在20天内完成1200套产品的生产，决定补充一些新工人，这些新工人只能独立进行A型零件的加工，且每人每天只能加工4个A型零件．①设每天安排x名熟练工人和m名新工人生产A型零件，求x的值（用含m的代数式表示）②请问至少需要补充多少名新工人才能在规定期限完成生产任务？思路引领：（1）设安排x名工人生产A型零件，则安排（60﹣x）名工人生产B型零件，根据生产的零件总数＝每人每天生产的数量×人数，结合每套产品由4个A型零件和3个B型零件配套组成，即可得出关于x的一元一次方程，解之可得出x的值，再将其代入6x4（2）①设每天安排x名熟练工人和m名新工人生产A型零件，则安排（60﹣x）名工人生产B型零件，同（1）可得出关于y的一元一次方程，解之可得出x的值；②设至少需要补充m名新工人才能在规定期内完成总任务，安排n名工人生产B型零件，则安排（60﹣n）名工人及m名新工人生产A型零件，由每天需要生产1200÷20套设备，可得出关于m，n的二元一次方程组，解之即可得出结论．解：（1）设安排x名工人生产A型零件，则安排（60﹣x）名工人生产B型零件，根据题意得：6x4解得：x＝24，∴6x4答：工厂每天应安排24名工人生产A型零件，工厂每天能配套组成36套产品．（2）①设每天安排x名熟练工人和m名新工人生产A型零件，则安排（60﹣x）名工人生产B型零件，根据题意得：6x+4m4解得x＝24−25②设至少需要补充m名新工人才能刚好在规定期限完成生产任务，安排n名工人生产B型零件，则安排（60﹣n）名工人及m名新工人生产A型零件，根据题意得：6(60−n)+4m4解得：m=60n=60答：至少需要补充60名新工人才能刚好在规定期限完成生产任务．总结提升：本题考查了一元一次方程的应用以及二元一次方程组的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元一次方程及二元一次方程组．类型四利润问题10．（2022秋•小店区校级期末）盲盒顾名思义就是盒子中放置不同的物品，消费者凭运气抽中商品，正是这种随机化的体验，让消费者产生消费欲望，成为当下最热门的营销方法之一．某葡萄酒酒庄为回馈新老客户，也推出了盲盒式营销．商家计划在每件盲盒中放入A，B两种类型的酒．销售人员先包装了甲、乙两种盲盒．甲盲盒中装了A种酒4瓶，B种酒4瓶；乙盲盒中装了A种酒2瓶，B种酒5瓶；经过测算，甲盲盒的成本价为每件280元，乙盲盒的成本价为每件200元．请计算A种酒和B种酒的成本价为每瓶多少元？思路引领：设A种酒的成本价为每瓶x元，B种酒的成本价为每瓶y元，由题意：甲盲盒中装了A种酒4瓶，B种酒4瓶；乙盲盒中装了A种酒2瓶，B种酒5瓶；经过测算，甲盲盒的成本价为每件280元，乙盲盒的成本价为每件200元．列出二元一次方程组，解方程组即可．解：设A种酒的成本价为每瓶x元，B种酒的成本价为每瓶y元，由题意得：4x+4y=2802x+5y=200解得：x=50y=20答：A种酒的成本价为每瓶50元，B种酒的成本价为每瓶20元．总结提升：本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．11．（2022秋•渠县期末）正值春夏换季的时节，某商场用12000元分别以每件120元和60元的价格购进了某品牌衬衫和短袖共140件．（1）商场本次购进了衬衫和短袖各多少件？（2）若该商场以每件180元的价格销售了衬衫总进货量的25%，将短袖在成本的基础上提价20%销售，在销售过程中，有5件衬衫因损坏无法销售，为了减少库存积压，该商场准备将剩下的衬衫在原售价的基础上降价销售，每件衬衫降价多少元，该商场销售完这批衬衫和短袖正好达到利润25.5%的预期目标．思路引领：（1）设商场本次购进了衬衫x件，短袖y件，利用进货总价＝进货单价×进货数量，结合商场用12000元购进某品牌衬衫和短袖共140件，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设每件衬衫降价m元，利用总利润＝销售单价×销售数量﹣进货总价，即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论．解：（1）设商场本次购进了衬衫x件，短袖y件，依题意得：x+y=140120x+60y=12000解得：x=60y=80答：商场本次购进了衬衫60件，短袖80件．（2）设每件衬衫降价m元，依题意得：180×60×25%+（180﹣m）[60×（1﹣25%）﹣5]+60×（1+20%）×80﹣12000＝12000×25.5%，解得：m＝15．答：每件衬衫降价15元，该商场销售完这批衬衫和短袖正好达到益利25.5%的预期目标．总结提升：本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程．12．（2022秋•城阳区期末）为喜迎元旦，某超市推出A类礼盒和B类礼盒，每个A类礼盒的成本为120元，每个B类礼盒的成本为160元，每个B类礼盒的售价比每个A类礼盒的售价多80元，售卖2个A类礼盒获得的利润和售卖1个B类礼盒获得的利润相同．（1）求每个A类礼盒的售价；（2）该超市购进A类礼盒800个和B类礼盒1000个，进行促销活动．超市规定，每人每次最多购买A类礼盒1个或B类礼盒1个，每个A类礼盒直接参与店内“每满100元减a元”的活动，每个B类礼盒在售价的基础上打九折后再参与店内“每满100元减a元”的活动．活动结束时，所有礼盒全部售卖完．若该超市获得的利润为48800元，求a的值．思路引领：（1）设每个A类礼盒的售价为x元，每个B类礼盒的售价为y元，根据“每个B类礼盒的售价比每个A类礼盒的售价多80元，售卖2个A类礼盒获得的利润和售卖1个B类礼盒获得的利润相同”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）由每个B类礼盒售价的九折大于200元，可得出每个B类礼盒的活动价为（216﹣2a）元，利用总利润＝每个的销售利润×销售数量，可得出关于a的一元一次方程，解之即可得出a的值．解：（1）设每个A类礼盒的售价为x元，每个B类礼盒的售价为y元，根据题意得：x+80=y2(x−120)=y−160解得：x=160y=240答：每个A类礼盒的售价为160元．（2）∵240×0.9＝216（元），216＞200，∴每个B类礼盒的活动价为（216﹣2a）元．根据题意得：（160﹣a﹣120）×800+（216﹣2a﹣160）×1000＝48800，解得：a＝14．答：a的值为14．总结提升：本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程．类型五图表问题13．（2021•全南县二模）某公司在网络平台推出的一种新型打车方式受到大众的欢迎．该打车方式的总费用等于里程费加上时费，其中里程费按x元/千米计算，耗时费按y元/分钟计算．小聪、小明两人用该打车方式出行，按上述计价规则，他们打车行驶里程数、所用时间及支付车费如表：里程数（千米）时间（分钟）车费（元）小聪3109小明61817.4（1）求x，y的值；（2）该公司现推出新政策，在原有付费基础上，当里程数超过8千米后，超出的部分要加收0.6元/千米的里程费，小强使用该方式从南昌二中打车到省奥林匹克体育中心，总里程为22千米，耗时45分钟，求小强需支付多少车费．思路引领：（1）根据小聪、小明打车的里程数、时间及支付的车费，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出x，y的值；（2）利用需支付的车费＝2×8+（2+0.6）×超过8千米的部分+0.3×耗费时间，即可求出小强需支付65.9元车费．解：（1）依题意得：3x+10y=96x+18y=17.4解得：x=2y=0.3答：x的值为2，y的值为0.3；（2）2×8+（2+0.6）×（22﹣8）+0.3×45＝2×8+2.6×14+0.3×45＝16+36.4+13.5＝65.9（元）．答：小强需支付65.9元车费．总结提升：本题考查了二元一次方程组的应用以及有理数的混合运算，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，列式计算．14．（2021春•兴隆县期末）应用题小亮跟爸爸于9月初和10初两次到超市购买食品，具体信息如图．根据信息，你能求出打折前牛奶和面包的单价各是多少元吗？思路引领：设打折前牛奶的单价为x元，面包的单价为y元，利用总价＝单价×数量，结合9月初和10初两次购买的数量及总价，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．解：设打折前牛奶的单价为x元，面包的单价为y元，依题意得：6x+12y=30[(6+4)x+(12+3)y]×0.75=30解得：x=1y=2答：打折前牛奶的单价为1元，面包的单价为2元．总结提升：本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．15．今年某区为绿化车道，用25600元购买甲、乙两种树苗共500棵，且这批树苗的成活率恰好为92%．有关甲、乙两种树苗的信息如图所示．（1）设购买甲种树苗x棵，甲种树苗每棵m元，根据信息填表（用含x，m代数式表示），并求m的值；树苗类型甲种树苗乙种树苗买树苗数量（单位：元）x500﹣x买树苗的总费用（单位：元）（2）若追加20160元购买甲、乙两种树苗，则这批树苗（包括新购买树苗）的成活率能否恰好为93%？若能，则新购买甲种树苗20棵（直接写出答案）；若不能，请说出理由．思路引领：（1）利用甲种树苗每棵m元，乙种树苗比甲种树苗每棵多30元，进而得出乙种树苗价格，再利用成活率得出等式，进而求出x的值，即可得出m的值；（2）利用这批树苗（包括新购买树苗）的成活率能否恰好为93%，得出等式求出即可．解：（1）xm，（m+30）（500﹣x）；90%x+95%（50﹣x）＝500×92%﹣0.05x＝﹣15解得：x＝300，300m+200（m+30）＝25600整理得：500m＝19600解得：m＝39.2；（2）设新购买甲种树苗x棵，乙种树苗Y棵39.2x+69.2y=201600.9(300+x)+0.95(200+y)=0.93(500+x+y)解得：x=20则新购买甲种树苗20棵．故答案为：20．总结提升：此题主要考查了二元一次方程组的应用，根据成活率得出等式是解题关键．类型六面积问题16．（2022秋•天元区校级月考）小东在拼图时，发现8个一样大小的长方形，恰好可以拼成一个大的长方形如图1所示．小林看见了说：“我也来试一试．”结果小林七拼八凑，拼成了如图2那样的正方形，中间还留下了一个恰好是边长为3cm的小正方形，求小长方形的面积．思路引领：设小长方形的宽为xcm，长为ycm，根据图1中大长方形的长、图2中大正方形的边长的不同表示方法得出方程组，解方程组求出小长方形的宽和长即可解决问题．解：设小长方形的宽为xcm，长为ycm，则图1中大长方形的长可以表示为5xcm或3ycm，图2中大正方形的边长可以表示为（2x+y）cm或（2y+3）cm，那么可得出方程组为：5x=3y2x+y=2y+3解得：x=9y=15则小长方形的面积为：9×15＝135（cm2），答：小长方形的面积为135cm2．总结提升：本题主要考查二元一次方程组的应用，观察图形得出等量关系，列出方程组是解题的关键．17．（2022春•岳麓区校级期末）如图（1），将边长为xcm的大正方形剪去一个边长为ycm的小正方形，剩余部分的面积为21cm2，并将剩余部分沿虚线剪开得到两个长方形，再将这两个长方形拼成如图（2