专题13正切正弦余弦（5个知识点5种题型）（原卷版）

专题13正切、正弦、余弦（5个知识点5种题型）【目录】倍速学习四种方法【方法一】脉络梳理法知识点1.正切的定义（重点）知识点2.正弦、余弦的定义（重点）知识点3.三角函数的概念知识点4.锐角三角函数的变化规律知识点5.锐角三角函数之间的关系【方法二】实例探索法题型1.计算锐角的三角函数值题型2.构造直角三角形求三角函数值题型3.三角函数与实际问题题型4.三角函数与旋转问题题型5.根据三角函数求边长【方法三】成果评定法【学习目标】理解正切的概念，会求锐角的正切值。理解锐角正切值的变化规律，会用计算器求锐角的正切值。通过求锐角的正切值感受数形结合的数学思想方法。理解锐角的正弦、余弦的概念，能准确地用直角三角形两边的比表示三角函数。会利用计算器求一个锐角的正弦、余弦。了解锐角的正弦值随锐角的增大而增大，余弦值随锐角的增大而减小。体会直角三角形中边角关系，感受数形结合的数学思想方法。【知识导图】【倍速学习五种方法】【方法一】脉络梳理法知识点1.正切的定义（重点）正切：在Rt△ABC中，∠C＝90°，锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切，记作tanA．即tanA＝∠A的对边除以∠A的邻边＝．【例1】．（2022秋•池州期末）如图，△ABC在边长为1个单位的方格纸中，△ABC的顶点在小正方形顶点位置，那么∠ABC的正切值为．知识点2.正弦、余弦的定义（重点）在Rt△ABC中，∠C＝90°．（1）正弦：我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sinA．即sinA＝∠A的对边除以斜边＝．（2）余弦：锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦，记作cosA．即cosA＝∠A的邻边除以斜边＝．【例2】（2023秋·上海普陀·九年级校考期中）在中，，那么的值是（

）A．2 B． C． D．【变式】（2023秋·河北石家庄·九年级石家庄市第二十七中学校考期中）如图，在中，，，，则等于（

）

A． B． C． D．知识点3.三角函数的概念如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A所对的边BC记为a，叫做∠A的对边，也叫做∠B的邻边，∠B所对的边AC记为b，叫做∠B的对边，也是∠A的邻边，直角C所对的边AB记为c，叫做斜边．

锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即；锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即；锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即.同理；；．

注意：正弦、余弦、正切函数是在直角三角形中定义的，反映了直角三角形边与角的关系，是两条线段的比值．角的度数确定时，其比值不变，角的度数变化时，比值也随之变化．

(2)sinA，cosA，tanA分别是一个完整的数学符号，是一个整体，不能写成，，，不能理解成sin与∠A，cos与∠A，tan与∠A的乘积．书写时习惯上省略∠A的角的记号“∠”，但对三个大写字母表示成的角(如∠ABC)，其正切应写成“tan∠ABC”，不能写成“tanABC”；另外，、、常写成、、．

(3)任何一个锐角都有相应的锐角三角函数值，不因这个角不在某个三角形中而不存在．

(4)由锐角三角函数的定义知：当角度在0°<∠A<90°间变化时，，，tanA＞0【例3】（2022秋•金山区校级期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，AB＝3，下列各式中，正确的是（）A．sinA＝ B．cosA＝ C．tanA＝ D．cotA＝知识点4.锐角三角函数的变化规律（1）在0°－90°之间，锐角的正弦值随角度的增大而增大；（2）在0°－90°之间，锐角的余弦值随角度的增大而减小；（3）在0°－90°之间，锐角的正切值随角度的增大而增大.【例4】（2022秋•兴隆县期中）如果∠α为锐角，且sinα＝0.6，那么α的取值范围是（）A．0°＜α≤30° B．30°＜α＜45° C．45°＜α＜60° D．60°＜α≤90°【变式】（2022•五通桥区模拟）若锐角α满足cosα＜且tanα＜，则α的范围是（）A．30°＜α＜45° B．45°＜α＜60° C．60°＜α＜90° D．30°＜α＜60°知识点5.锐角三角函数之间的关系如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°．

(1)互余关系：，；

(2)平方关系：；

(3)倒数关系：或；

(4)商数关系：．【例5】（2023秋•沙坪坝区校级月考）在Rt△ABC中，∠C＝90°，cosA＝，则tanA的值为（）A． B． C． D．8【变式】（2023秋•南岗区校级月考）在Rt△ABC中，∠C＝90°，，则tanB等于（）A． B． C． D．【方法二】实例探索法题型1.计算锐角的三角函数值1．（2023秋·黑龙江哈尔滨·九年级哈尔滨市光华中学校校考期中）在中，若，，，则．2．（2023秋·上海青浦·九年级校考阶段练习）在中，，，，则的余弦值为.3．（2023秋·重庆九龙坡·九年级重庆市育才中学校考阶段练习）如图，在中，，，，于点D，则的值为．题型2.构造直角三角形求三角函数值4．（2023·广东湛江·统考三模）在正方形网格中的位置如图所示，则的值为．5．（2023·广东湛江·统考一模）如图，中，，是边上的中线，分别过点C，D作的平行线交于点E，且交于点O，连接．

(1)求证：四边形是菱形；(2)若，求的值．题型3.三角函数与实际问题6．（2023春•宣城月考）如图，有一斜坡AB，坡顶B离地面的高度BC为30m，若坡比i＝1：2.5，则此斜坡的水平距离AC为（）A．75m B．50m C．45m D．30m7．（2022秋•金安区校级期末）河堤横断面如图所示，堤高BC＝6米，迎水坡AB的坡比为1：3，则AB的长为（）A．12米 B．米 C．米 D．米题型4.三角函数与旋转问题8．（2023秋·上海黄浦·九年级统考期中）如图，在中，，是的角平分线，．将绕点A旋转，如果点落在射线上，点落在点处，连接，那么的正切值为．

9．（2023·浙江·九年级专题练习）在平行四边形中（顶点按逆时针方向排列），为锐角，且．(1)如图1，求边上的高的长．(2)是边上的一动点，点同时绕点按逆时针方向旋转得点．①如图2，当点落在射线上时，求的长．②当是直角三角形时，求的长．题型5.根据三角函数求边长10．（2023秋·黑龙江哈尔滨·九年级哈尔滨风华中学校考期中）在中，，，，则的长为（

）A．10 B．24 C．5 D．1211．（2023秋·黑龙江大庆·九年级校联考阶段练习）如图，在中，点D，E分别是边的中点，于点F，，，则的长为（

）

A． B．4 C． D．812．（2023·江苏无锡·无锡市民办辅仁中学校考一模）如图，在中，，，，则．13．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，四边形是边长为8的正方形，是边延长线上的一点，．点在该正方形的边上运动，当时，设直线与直线相交于点，则的长为．

14．（2023秋·吉林长春·九年级校联考阶段练习）如图，在中，，，．求的大小和的长．15．（2023秋·山东聊城·九年级校考阶段练习）在矩形中，对角线，交于点，过点作于点．

(1)求证；(2)求证：(3)若，，求的长．【方法三】成果评定法一．选择题（共8小题）1．（2021秋•淮阴区期末）中，，，，那么等于A． B． C． D．2．（2023秋•沛县校级月考）在中，如果一条直角边和斜边的长度都缩小至原来的，那么锐角的各个三角函数值A．都缩小 B．都不变 C．都扩大5倍 D．无法确定3．（2023秋•惠山区期中）如图，在中，，，，则的值是A． B． C． D．4．（2022秋•惠山区校级月考）为锐角，，则的值为A． B． C． D．5．（2023秋•惠山区期中）已知是锐角，且，那么锐角的取值范围是A． B． C． D．6．（2022秋•工业园区校级月考）在中，，，则的值为A． B． C． D．7．（2022秋•崇川区校级月考）在中，，那么的值是A．大于1 B．小于1 C．等于1 D．不能确定8．（2022秋•高新区期中）已知，则锐角的取值范围是A． B． C． D．二．填空题（共4小题）9．（2023秋•淮阴区期中）如图，中，，，，则的长为．10．（2023•梁溪区一模）如图，在中，，，，则．11．（2023•新北区校级二模）在中，斜边，，则．12．（2023•亭湖区校级模拟）如图，在中，，，，，连接，则长的最大值为．三．解答题（共4小题）13．（2023•鼓楼区校级开学）已知，，是的三边，，，满足等式，且，求的值．14．（2023•鼓楼区校级开学）如图，在中，，，，的平分线交边于点，延长至点，且，连接．（1）求线段的长；（2）求的面积．15．（2023春•宝应县月考）学习过三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化．类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系，我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对．如图，在中