专题9.10以乘法公式为背景综合问题大题专练（重难点培优30题七下苏科）-2022-2023学年七年级数学下册尖子生培优必刷题（原卷版）

【拔尖特训】20222023学年七年级数学下册尖子生培优必刷题【苏科版】专题9.10以乘法公式为背景综合问题大题专练（重难点培优30题）班级：___________________姓名：_________________得分：_______________注意事项：本试卷试题解答30道，共分成三个层组：基础过关题（第110题）、能力提升题（第1120题）、培优压轴题（第2130题），每个题组各10题，可以灵活选用．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一．解答题（共30小题）1．（2022春•盱眙县期中）对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，就可以得到一个数学等式．（1）模拟练习：如图，写出一个我们熟悉的数学公式；（2）解决问题：如果a+b＝5，ab＝3，求a2+b2的值；（3）类比探究：如果一个长方形的长和宽分别为（8﹣x）和（x﹣2），且（8﹣x）2+（x﹣2）2＝20，求这个长方形的面积．2．（2022秋•镇江期中）现有3张卡片，它们可以拼成一个大的长方形（如图1）．（1）你还能用三张卡片拼成其他的四边形吗？请画出草图；（2）小明写出图1中大的长方形的周长为2（a+b）+2b，小红写出大长方形的周长为2（a+2b）+2（b+a）﹣2a﹣2b，两位同学写的算式结果一样吗？为什么？（3）如图2，有四张边长分别为a，b，c的直角三角形纸片，将它们拼成一个大的空心的正方形，利用这个大正方形解决问题：①请根据（2）中蕴含的思想方法写出一个关于a，b，c的等式；②已知小直角三角形纸片的面积为6，两条直角边之和为7，求中间小正方形的边长．3．（2022春•玄武区校级期中）如图①，有边长为a与边长为b的两种正方形纸片．（1）将两种正方形纸片各一张如图②放置，其未叠合部分（阴影）面积为S1，若再在图②中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图③），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为S2．①用含a，b的代数式分别表示S1＝，S2＝．②若a+b＝10，ab＝15，求S1+S2的值；（2）将两种正方形纸片各一张按图④的方式放置在一个边长为m的正方形桌面上（a+b＞m），若两个正方形叠合部分（阴影）的面积为S3，桌面上未被这两张正方形纸片覆盖部分（点状阴影）的面积为S4，求S3﹣S4（结果用含a，b，m的代数式表示）．4．（2022春•工业园区校级期中）如图①是一个长为4a、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图②）．（1）根据上述过程，写出（a+b）2、（a﹣b）2、ab之间的等量关系：；（2）利用（1）中的结论，若x+y＝4，，则（x﹣y）2的值是；（3）实际上通过计算图形的面积可以探求相应的等式，如图③，请你写出这个等式：；（4）两个正方形ABCD，AEFG如图④摆放，边长分别为x，y．若x2+y2＝34，BE＝2，求图中阴影部分面积和．5．（2022春•常州期中）如图，将边长为a+3的正方形纸片剪去一个边长为a的正方形后，剩余部分可剪拼成一个长方形（不重叠无缝隙），若拼成的长方形一边长为3，请解答下列问题：（1）分别计算剪拼后所得的长方形的周长和面积（用含a的代数式表示）；（2）若将剪拼后的长方形的长减少4，宽增加4，所得的新长方形的面积恰好等于原长方形的面积，求a的值．6．（2022春•钟楼区期中）数学中，常对同一个量（图形的面积、点的个数、三角形的内角和等）用两种不同的方法计算，从而建立相等关系，我们把这一思想称为“算两次”．“算两次”也称做富比尼原理，是一种重要的数学方法．（1）在学习乘法公式时，我们通过对图1的面积“算两次”得到（a+b）2＝a2+2ab+b2．请设计一个图形说明（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc成立；（画出示意图，并标上字母）（2）如图2，两个直角边长分别为a、b、斜边长为c的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形拼成一个梯形．试用两种不同的方法计算梯形的面积，你能发现直角三角形的三边长a、b、c有什么数量关系吗？（注：写出解答过程）（3）根据（2）中的结论回答，当a＝4，b＝3时，c的值为．7．（2022春•相城区校级期中）若x满足（5﹣x）（x﹣2）＝2，求（x﹣5）2+（2﹣x）2的值．解：设5﹣x＝a，x﹣2＝b，则（5﹣x）（x﹣2）＝ab＝2，a+b＝（5﹣x）+（x﹣2）＝3，所以（x﹣5）2+（2﹣x）2＝（5﹣x）2+（x﹣2）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝32﹣2×2＝5．请仿照上面的方法求解下面问题：（1）若x满足（x+2）（x﹣7）＝6，求（x+2）2+（x﹣7）2的值．（2）已知正方形ABCD的边长为x，E，F分别是AD、DC上的点，且AE＝1，CF＝3，长方形EMFD的面积是35，分别以MF、DF为边作正方形，求阴影部分的面积．8．（2022春•惠山区期中）数形结合是解决数学问题的一种重要思想方法，借助图形的直观性，可以帮助理解数学问题．（1）请写出图1，图2，图3阴影部分的面积分别能解释的数学公式．图1：；图2：；图3：．其中，完全平方公式可以从“数”和“形”两个角度进行探究，并通过公式的变形或图形的转化可以解决很多数学问题．例如：如图4，已知a+b＝3，ab＝1，求a2+b2的值．方法一：从“数”的角度解：∵a+b＝3，∴（a+b）2＝9，即：a2+2ab+b2＝9，又∵ab＝1∴a2+b2＝7．方法二：从“形”的角度解：∵a+b＝3，∴S大正方形＝9，又∵ab＝1，∴S2＝S3＝ab＝1，∴S1+S4＝S大正方形﹣S2﹣S3＝9﹣1﹣1＝7．即a2+b2＝7．类比迁移：（2）若（5﹣x）▪（x﹣1）＝3，则（5﹣x）2+（x﹣1）2＝；（3）如图，点C是线段AB上的一点，以AC，BC为边向两边作正方形，设AB＝10，两正方形的面积和S1+S2＝72，求图中阴影部分面积．9．（2022春•海州区校级期末）图形是一种重要的数学语言，它直观形象，能有效地表示一些代数中的数量关系，而运用代数思想也能巧妙地解决一些图形问题，比如：用图1所示的正方形与长方形纸片可以拼成一个图2所示的正方形．【问题发现】利用不同的代数式表示图2中阴影部分的面积S，写出你从中获得的等式为；【类比探究】已知x满足（11﹣x）（x﹣8）＝2，则（11﹣x）2+（x﹣8）2＝；【拓展延伸】学校计划在如图3的两块正方形草地间种些花，两块草地分别是以AC、BC为边的正方形，且两正方形的面积和S1+S2＝25，点C是线段AG上的点，若AG＝7，求用来种花的阴影部分的面积．10．（2022春•邗江区期末）完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2适当的变形，可以解决很多的数学问题．例如：若a+b＝3，ab＝1，求a2+b2的值；解：因为a+b＝3，所以（a+b）2＝9，即：a2+2ab+b2＝9，又因为ab＝1，所以a2+b2＝7．根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：（1）若x+y＝8，x2+y2＝40，求xy的值；（2）填空：①若（4﹣x）x＝5，则（4﹣x）2+x2＝；②若（4﹣x）（5﹣x）＝8，则（4﹣x）2+（5﹣x）2＝．（3）如图，在长方形ABCD中，AB＝25，BC＝15，点E．F是BC、CD上的点，且BE＝DF＝x，分别以FC、CE为边在长方形ABCD外侧作正方形CFGH和CEMN，若长方形CEPF的面积为200平方单位，求图中阴影部分的面积和．11．（2022春•东海县期末）完全平方公式（a±b）2＝a2±2ab+b2进行适当的变形后，可以解决很多的数学问题．如：若x满足（9﹣x）（x﹣4）＝4，求（9﹣x）2+（x﹣4）2的值．解题思路：由（a+b）2＝a2+2ab+b2得a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，可设9﹣x＝a，x﹣4＝b，则（9﹣x）（x﹣4）＝ab＝4，a+b＝（9﹣x）+（x﹣4）＝5，∴（9﹣x）2+（x﹣4）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝52﹣2×4＝17；（1）请仿照上面的方法求解下面问题：①若x满足（6﹣x）（x﹣2）＝2，求（6﹣x）2+（x﹣2）2的值；②若x满足（6+x）（2+x）＝5，求（6+x）2+（2+x）2的值；（2）应用上面的解题思路解决问题：如图，点C是线段AB上的一点，以AC，BC为边向两边作正方形，设AB＝8，两正方形的面积和S1+S2＝34，求图中阴影部分的面积．12．（2022秋•苏州期中）如图①是一张边长为a的正方形纸片，在它的一角剪去一个边长为b的小正方形，然后将图①剩余部分（阴影部分）剪拼成如图②的一个大长方形（阴影部分）．（1）请分别用含a、b的代数式表示图①和图②中阴影部分的面积：图①阴影部分面积为：；图②阴影部分面积为：；（2）请探究并直接写出a2﹣b2、a+b、a﹣b这三个式子之间的等量关系；（3）利用（2）中的结论，求542.72﹣457.32的值．13．（2022春•南京期中）如图①是由边长为a的大正方形纸片减去一个边长为b的小正方形后余下的图形．我们把该纸片剪开后，拼成一个长方形（如图②），验证了公式（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2．请你通过对纸片的剪拼，在图③、图④上画出两种不同拼法的示意图．要求：①与以上方法不能相同；②拼成的图形是四边形；③在图上画剪切线（用虚线表示）；④在拼出的图形上标出已知的边长．拼法一：拼法二：14．（2022春•大丰区校级月考）从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．（1）上述操作能验证的等式是；（请选择正确的选项）A．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2C．a（a+b）＝a2+ab（2）用你选的等式进行简便计算：1012﹣2×992+972；（3）用你选的等式进行简便计算：20222﹣20212+20202﹣20192+20182﹣20172+…+19522﹣19512+19502﹣19492．15．（2021春•滨湖区期中）如图1，从边长为a的正方形纸片中剪去一个边长为b的小正方形，再沿着虚线剪开，把剪成的两张纸片拼成如图2所示的长方形．（1）设图1中的阴影部分面积为S1，图2中的阴影部分面积为S2，请直接用含有a、b的代数式表示，则S1＝，S2＝；（2）请写出上述剪拼过程所揭示的乘法公式：；（3）请你利用（2）中的公式计算：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）+1．16．（2022春•亭湖区校级月考）【探究】如图①，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成图②的长方形．（1）请你分别表示出这两个图形中阴影部分的面积；；（2）比较两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式：（用字母表示）；【应用】请应用这个公式完成下列各题：计算：（2a+b﹣c）（2a﹣b+c）．【拓展】①（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）…（232+1）+1结果的个位数字为；②计算：2002﹣1992+1982﹣1972+…+42﹣32+22﹣12．17．（2022春•亭湖区校级月考）如图1，从边长为a的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形，把剩下的阴影部分拼成如图2所示的长方形．（1）上述操作能验证的公式是；（2）请应用这个公式完成下列各题：①已知4a2﹣b2＝24，2a+b＝6，则2a﹣b＝；②计算：（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）．18．（2022春•大丰区校级月考）乘法公式的探究及应用．（1）如图1，是将图2阴影部分裁剪下来，重新拼成的一个长方形，面积是；如图2，阴影部分的面积是；比较图1，图2阴影部分的面积，可以得到乘法公式；（2）运用你所得到的公式，计算下列各题：①103×97；②（2x+y﹣3）（2x﹣y+3）．19．（2022春•高新区月考）如图1，边长为a的大正方形有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示）．（1）上述操作能验证的等式是；（请选择正确的选项）A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）B．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2C．a2+ab＝a（a+b）（2）请利用你从（1）选出的等式，完成下列各题：①已知4a2﹣b2＝24，2a+b＝6，则2a﹣b＝．②计算：（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）（1﹣）．20．（2021春•射阳县校级月考）【探究】如图1，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示），通过观察比较图2与图1中的阴影部分面积，可以得到乘法公式．（用含a，b的等式表示）【应用】请应用这个公式完成下列各题：（1）已知4m2＝12+n2，2m+n＝4，则2m﹣n的值为．（2）计算：20192﹣2020×2018．【拓展】计算：1002﹣992+982﹣972+…+42﹣32+22﹣12．21．（2022秋•南昌县期中）如图1所示是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图2的方式拼成一个正方形．（1）图2中的阴影部分的正方形的边长等于；（2）请用两种不同的方法列代数式表示图2中阴影部分的面积：方法①；方法②；（3）观察图2，直接写出（m+n）2，（m﹣n）2，mn这三个代数式之间的等量关系；（4）根据（3）题中的等量关系，解决如下问题：若a+b＝8，ab＝5，求（a﹣b）2的值．22．（2022春•盐都区月考）阅读理解：若x满足（30﹣x）（x﹣10）＝160，求（30﹣x）2+（x﹣10）2的值．解：设30﹣x＝a，x﹣10＝b，则（30﹣x）（x﹣10）＝ab＝160，a+b＝（30﹣x）+（x﹣10）＝20，（30﹣x）2+（x﹣10）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝202﹣2×160＝80解决问题：（1）若x满足（2020﹣x）（x﹣2016）＝2，则（2020﹣x）2+（x﹣2016）2＝；（2）若x满足（x﹣2022）2+（x﹣2018）2＝202，求（x﹣2022）（x﹣2018）的值；（3）如图，在长方形ABCD中，AB＝16，BC＝12，点E．F是BC、CD上的点，且BE＝DF＝x，分别以FC、CE为边在长方形ABCD外侧作正方形CFGH和CEMN，若长方形CEPF的面积为100平方单位，则图中阴影部分的面积和为平方单位．23．（2022春•新泰市期中）图1是一个长为2a、宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．（1）求图2中的阴影部分的正方形的周长；（2）观察图2，请写出下列三个代数式（a+b）2，（a﹣b）2，ab之间的等量关系；（3）如图3，点C是线段AB上的一点，以AC、BC为边向两边作正方形，设AB＝8，两正方形的面积和S1+S2＝24，运用你由（2）所得到的等量关系，求图中阴影部分面积．24．（2022秋•晋安区校级月考）阅读理解：若x满足（30﹣x）（x﹣10）＝160，求（30﹣x）2+（x﹣10）2的值．解：设30﹣x＝a，x﹣10＝b，则（30﹣x）（x﹣10）＝ab＝160，a+b＝（30﹣x）+（x﹣10）＝20，（30﹣x）2+（x﹣10）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝202﹣2x160＝80．解决问题：（1）若x满足（50﹣x）（x﹣40）＝2，求（50﹣x）2+（x﹣40）2＝；（2）若x满足（x﹣2021）2+（x﹣2018）2＝2000，求（x﹣2021）（x﹣2018）的值．（3）如图，在长方形ABCD中，AB＝10，BC＝6，点E、F是BC、CD上的点，且BE＝DF＝x，分别以FC，CE为边在长方形ABCD外侧作正方形CFGH和CEMN，若长方形CEPF的面积为80平方单位，则图中阴影部分的面积和为平方单位．25．（2022秋•芙蓉区校级月考）利用图1中边长分别为a，b的正方形，以及长为a，宽为b的长方形卡片若干张拼成图2（卡片间不重叠、无缝隙），可以用来解释完全平方公式：（a+b）2＝a2+2ab+b2．请你解答下面的问题：（1）填空：（2a+3）2＝4a2+ka+9，则k＝；（5x+m）2＝25x2+10x+n，则m＝，n＝；（2）利用图1中的三种卡片若干张拼成图3，可以解释等式：；（3）利用上述拼图的方法计算：（2a+b）（a+3b）＝．26．（2021秋•南宁期末）【阅读理解】若x满足（45﹣x）（x﹣15）＝200，求（45﹣x）2+（x﹣15）2的值．解：设45﹣x＝a，x﹣15＝b，则（45﹣x）（x﹣15）＝ab＝200，a+b＝（45﹣x）+（x﹣15）＝30，（45﹣x）2+（x﹣15）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝302﹣2×200＝500，我们把这种方法叫做换元法．利用换元法达到简化方程的目的，体现了转化的数学思想．【解决问题】（1）若x满足（20﹣x）（x﹣5）＝50，则（20﹣x）2+（x﹣5）2＝；（2）若x满足（2022﹣x）2+（x﹣2000）2＝244，求（2022﹣x）（x﹣2000）的值；（3）如图，在长方形ABCD中，AB＝12cm，点E，F是BC，CD上的点，EC＝8cm，且BE＝DF＝x，分别以FC，CB为边在长方形ABCD外侧作正方形CFGH和CBMN，若长方形CBQF的面积为60cm2，求图中阴影部分的面积和．27．（2022春•金水区校级期中）阅读理解：若x满足（30﹣x）（x﹣10）＝160，求（30﹣x）2+（x﹣10）2的值．解：设30﹣x＝a，x﹣10＝b，则（30﹣x）（x﹣10）＝ab＝160，且a+b＝（30﹣x）+（x﹣10）＝20，所以（30﹣x）2+（x﹣10）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝202﹣2x160＝80．解决问题：（1）若x满足（50﹣x）（x﹣40）＝2，求（50﹣x）2+（x﹣40）2＝；（2）若x满足（x﹣2022）2+（x﹣2020）2＝2000，求（x﹣2022）（x﹣2020）的值．（3）如图，在