专题01网格中求正弦和余弦

专题01网格中求正弦和余弦1．在边长为1的正方形网格中，点A、B、C、D都在格点上，AB与CD相交于点O，则∠AOD的正弦值为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】由题意可知，的中点也在格点上，连接，先利用勾股定理可得，，再根据等腰三角形的判定与性质可得，然后根据相似三角形的判定可证，根据相似三角形的性质可得，从而可得，最后在中，根据正弦的定义可得，由此即可得出答案．【详解】解：如图，由题意可知，的中点也在格点上，连接，，，是等腰直角三角形，（等腰三角形的三线合一），，，又，，，即，，在中，，则，即的正弦值为，故选：D．【点睛】本题考查了解直角三角形、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握解直角三角形的方法是解题关键．2．如图，在2×2正方形网格中，以格点为顶点的△ABC的面积等于，则sin∠CAB＝（）A． B． C． D．【答案】B【详解】过C作CD⊥AB，根据勾股定理得：AC=AB==，S△ABC=4=，即CD•AB=，所以CD=，解得：CD=，则sin∠CAB==，故选B．3．如图，在边长为1的小正方形网格中，点、、、都在这些小正方形的顶点上，、相交于点，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】连接BE、AE．根据格点先求出AB、AE、BE，再利用正方形对角线的性质判断CD与BE关系与△ABE的形状，最后求出∠ABE的余弦值．【详解】解：如图，连接、．则：，．、、都是正方形的对角线，．，．，是直角三角形．．故选：D．【点睛】本题考查了解直角三角形，掌握勾股定理和直角三角形的边角间关系是解决本题的关键．4．如图，点A，B，C在正方形网格的格点上，则sin∠BAC等于（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据题意，做出合适的辅助线，然后根据勾股定理的逆定理，可以得到△ACD的形状，从而可以求得sin∠BAC的值．【详解】解：连接CD，点D在格点上，如右图所示：设每个小正方形的边长为a，则CDa，ACa，AD2a，∴CD2+AD2＝（a）2+（2a）2＝（a）2＝AC2，∴△ACD是直角三角形，∴sin∠BAC＝sin∠CAD，故选：A．【点睛】本题考查解直角三角形、勾股定理，解答本题的关键是判断出△ACD的形状．5．如图，在边长1正网格中，A、B、C都在网格线上，AB与CD相交于点D，则是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】将∠ADC转化成其他相等的角，在直角三角形中，利用正弦函数值的定义求解即可．【详解】延长CD交正方形的另一个顶点为E，连接BE，如下图所示：由题意可知：∠BED=90°，∠ADC=∠BDE，根据正方形小格的边长及勾股定理可得：BE=，BD=，∴在Rt△BDE中，，∴，故选D．【点睛】本题主要考查了勾股定理和求解正弦值，熟练地找到角所在的直角三角形，利用正弦函数值的定义进行求解，是解决本题的关键．6．如图，点A，B，C在正方形网格的格点上，则sin∠BAC=（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】作BD⊥AC于D，根据勾股定理求出AB、AC，利用三角形的面积求出BD，最后在直角△ABD中根据三角函数的意义求解．【详解】解：如图，作BD⊥AC于D，由勾股定理得，，∵，∴，∴．故选：B．【点睛】本题考查了勾股定理，解直角三角形，三角形的面积，三角函数的意义等知识，根据网格构造直角三角形和利用三角形的面积求出BD是解决问题的关键．7．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，的顶点都在这些小正方形的顶点上，那么的值为（

）．A． B． C． D．【答案】D【分析】过点A作于点D，在中，利用勾股定理求得线段AC的长，再按照正弦函数的定义计算即可．【详解】解：如图，过点A作于点D，则，∴，∴，故选：D．【点睛】本题考查了勾股定理的运用以及锐角三角函数，正确作出辅助线是解题的关键．8．如图，在正方形网格中，△ABC的位置如图，其中点A、B、C分别在格点上，则sinA的值是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据勾股定理，可得AC的长，根据正弦等于对边比斜边，可得答案．【详解】解：过点C作CD⊥AB于点D，则∠CDA=90°∵BC＝2，∴S△ABC＝BC×4＝4，∵AB＝＝4，S△ABC＝BA×CD∴CD＝∵AC＝＝2，∴在RtABC中,∠CDA=90°sinA＝=

故选A．【点睛】本题考查了勾股定理的运用以及锐角三角函数的定义，正确作出辅助线构造∠A所在的直角三角形是解题的关键．9．如图，在5×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是l，△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，则cos∠BAC的值为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】过C作CD⊥AB于D，首先根据勾股定理求出AC，然后在RtΔACD中即可求出cos∠BAC的值．【详解】解：过点C作CD⊥AB于点D，∵AD＝3，CD＝4，∴由勾股定理可知：，∴cos∠BAC＝，故选：C．【点睛】本题考查了勾股定理的运用以及锐角三角函数，要注意三种锐角三角函数的区别，正确作出辅助线是解题的关键．10．在正方形网格中，△ABC的位置如图所示，则cos∠B的值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】作AD垂直BC的延长线于点D得出△ABD为等腰直角三角形，再根据45°角的cos值即可得出答案.【详解】作AD垂直BC的延长线于点D则△ABD为等腰直角三角形，∠B=45°∴故答案选择B.【点睛】本题考查的是锐角三角函数，比较简单，需要理解并记忆特殊锐角三角函数值.11．三角形在方格纸中的位置如图所示，则的值是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据网格结构确定出α所在的直角三角形，然后利用勾股定理列式求出斜边的长，再根据锐角的余弦等于邻边比斜边列式即可．【详解】解：由图可知，α所在的直角三角形的两直角边分别为3、4，根据勾股定理，斜边，∵α的邻边为4，∴.故选C．【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，勾股定理的应用，熟练掌握网格结构，确定出α所在的直角三角形是解题的关键．12．如图，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，则cos∠ABC等于（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】由格点可得∠ABC所在的直角三角形的两条直角边为2，4，∴斜边为，∴cos∠ABC=，故选：B．13．如图是一个3×2的长方形网格，组成网格的小长方形长为宽的2倍，△ABC的顶点都是网格中的格点，则cos∠ABC的值是（）A． B． C． D．【答案】D【详解】试题分析：如图，由6块长为2、宽为1的长方形，可得∠D=90°，AD=3×1=3，BD=2×2=4，因此在Rt△ABD中，AB==5，因此可得cos∠ABC=．故选D．考点：锐角三角函数14．如图，△ABC的顶点都在正方形网格的格点上，则cos∠BAC的值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】设小正方形的边长为1，过B作BD⊥AC，交AC延长线于D，利用勾股定理可求出AB的长，利用余弦函数的定义即可得答案.【详解】如图，设小正方形的边长为1，过B作BD⊥AC，交AC延长线于D，∵BD=4，AD=3，∴AB===5，∴cos∠BAC==，故选：C.【点睛】本题主要考查三角函数的定义，在直角三角形中，锐角的正弦是角的对边与斜边的比；余弦是角的邻边与斜边的比；正切是角的对边与邻边的比；余切是角的邻边与对边的比；熟练掌握各三角函数的定义是解题关键.15．如图，在下列网格中，小正方形的边长均为1，点A、B、O都在格点上，则的正弦值是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】取格点C，连接AC，BC，观察图象可知，O，B，C共线，∠ACO=90°，利用勾股定理求得AC和AO的长，根据正弦的定义即可求解．【详解】解：取格点C，连接AC，BC，观察图象可知，O，B，C共线，∠ACO=90°，则AC=，AO=2，sin∠AOB=．故选D．【点睛】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．16．如图，在正方形网格中，小正方形的边长为1，点A、B、C、D都在格点上，AB与CD相交于点O，则∠AOC的正弦值是__．【答案】【分析】如图，连接BE，过点E作EF⊥AB于点F，证明再利用勾股定理及等面积法求解从而可得答案．【详解】解：如图，连接BE，过点E作EF⊥AB于点F．∵BD∥CE．BD＝CE．∴四边形DBEC是平行四边形．∴BE∥DC．∴∠ABE＝∠AOC．∵，．∴．在Rt△BEF中，∵，∴sin∠AOC＝．故答案为：．【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，求解锐角的正弦，掌握构造直角三角形求解锐角的正弦是解题的关键．17．如图，已知△ABC的三个顶点均在格点上，则cosA的值为_______．【答案】【分析】连接BD，根据勾股定理的逆定理判断出△ABD的形状，再由锐角三角函数的定义即可得出结论．【详解】解：如图，连接BD，∵BD2=12+12=2，AB2=12+32=10，AD2=22+22=8，2+8=10，∴△ABD是直角三角形，且∠ADB=90°，∴．故答案为.【点睛】本题主要考查了锐角三角函数和勾股定理，作出适当的辅助线构建直角三角形是解答此题的关键．18．如图所示，是放置在正方形网格中的一个角，则的值是________．【答案】【分析】由题意可知，要求出答案首先需要构造出直角三角形，连接AB，设小正方形的边长为1，可以求出OA、OB、AB的长度，由勾股定理的逆定理可得是直角三角形，再根据三角函数的定义可以求出答案.【详解】连接AB如图所示：设小正方形的边长为1，∴==10，，，∴是直角三角形，∴，故答案为：.【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理和正弦函数的定义，熟练掌握技巧即可得出答案.19．如图所示方格纸中每个小正方形的边长为1，其中有三个格点A、B、C，则sin∠ABC=_____．【答案】【分析】首先过点A作AD⊥BC于点D，连接AC.进而结合得出AD的长，再利用锐角三角函数关系求出答案．【详解】解：如图所示：过点A作AD⊥BC于点D，连接AC.∵∴解得：故sin∠ABC故答案为点睛：考查锐角三角函数，涉及三角形面积和勾股定理，根据面积求出是解题的关键.20．如图是4×4的正方形网格，点C在∠BAD的一边AD上，且A、B、C为格点，sin∠BAD的值是___________．【答案】【详解】试题解析：连接BC，根据勾股定理，可求得AB=，BC=，AC=，根据勾股定理的逆定理，可得∠ABC=90°，∴sin∠BAD=．21．如图在边长相同的小正方形组成的网格中，点A、B、O在小正方形的顶点上，则______．【答案】##【分析】延长AB使得，根据勾股定理得出，结合余弦函数的定义（邻边比斜边）求解即可得．【详解】解：如图所示，延长AB使得，∴，，∴，∴，故答案为：．【点睛】题目主要考查勾股定理解三角形及求角的余弦值，熟练掌握运用勾股定理及余弦函数的定义是解题关键．22．如图，在4×4的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点都在格点上，则∠BAC的余弦值是____．【答案】【分析】先根据勾股定理的逆定理判断出△ABC的形状，再由锐角三角函数的定义即可得出结论．【详解】解：∵AB2＝32+42＝25、AC2＝22+42＝20、BC2＝12+22＝5，∴AC2+BC2＝AB2，∴△ABC为直角三角形，且∠ACB＝90°，则cos∠BAC，故答案为：．【点睛】本题考查的是锐角三角函数的定义，勾股定理及其逆定理，熟知在一个三角形中，如果两条边长的平方之和等于第三边长的平方，那么这个三角形是直角三角形是解答此题的关键．23．如图，在6x6的正方形网格中，△ABC的顶点都在小正方形的顶点上，则cos∠BAC的值是_____．【答案】【分析】如图，过点B作BD⊥AC于D．利用勾股定理求出AB即可解决问题．【详解】解：如图，过点B作BD⊥AC于D．∵AB＝＝5，在Rt△ABD中，cos∠BAC＝＝，故答案为：．【点睛】本题考查解直角三角形，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．24．如图，在边长为1的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB、CD相交于点O，则cos∠AOD=___．【答案】【分析】设右下角顶点为点F，取DF的中点E，连接BE，AE，由点B为CF的中点、点E为DF的中点可得出BE∥CD，进而可得出∠AOD＝∠ABE，在△ABE中，由AB2＝AE2＋BE2可得出∠AEB＝90°，再利用余弦的定义即可求出cos∠ABE的值，此题得解．【详解】解：设右下角顶点为点F，取DF的中点E，连接BE，AE，如图所示．∵点B为CF的中点，点E为DF的中点，∴BE∥CD，∴∠AOD＝∠ABE．在△ABE中，AB＝，AE＝2，BE＝，∵AB2＝AE2＋BE2，∴∠AEB＝90°，∴cos∠ABE＝＝∴cos∠AOD＝故答案为.【点睛】本题考查了解直角三角形、勾股定理逆定理、余弦的定义、中位线以及平行线的性质，构造出含有一个锐角等于∠AOD的直角三角形是解题的关键．25．如图，在4×4的正方形网格图中有△ABC，则∠ABC的余弦值为_____．【答案】【分析】设小正方形的边长为1，求出AC、BC、AB的长，利用勾股定理的逆定理证明∠CAB＝90°，再根据余弦定理即可得出答案．【详解】解：设小正方形的边长为1，∵AC＝＝，BC＝＝5，AB＝＝2，∵AB2+AC2＝（2）2+（）2＝25，BC2＝52＝25，∴AB2+AC2＝BC2，∴∠CAB＝90°，∴cos∠ABC＝＝；故答案为．【点睛】本题考查勾股定理、勾股定理的逆定理、锐角三角函数等知识，解题的关键是熟练掌握勾股定理以及逆定理解决问题，属于中考常考题型．26．如图，∠AOB是放置在正方形网格中的一个角，则cos∠AOB的值是_____．【答案】【详解】连接AB，∴△AOB是等腰直角三角形,即故答案为27．如图，在5×5的正方形网格中，每个小正方形的边