2025届高三数学一轮总复习 第五章 第三讲 平面向量的数量积配套课件

第三讲平面向量的数量积2025年高考一轮总复习第五章

平面向量与复数1.向量的夹角向量a与b的夹角，向量夹角的范围是[0，π].定义已知两个非零向量a，b，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|cosθ叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cosθ投影|a|cos

θ叫做向量a在b方向上的投影，|b|cos

θ叫做向量b在a方向上的投影几何意义数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos

θ的乘积2.平面向量的数量积3.平面向量数量积的运算律(1)交换律：a·b＝b·a.(2)数乘结合律：(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb).(3)分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.4.平面向量数量积的性质及其坐标表示设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，记a与b的夹角θ＝〈a，b〉(续表)提醒：(1)a∥b与a⊥b所满足的关系不同.a∥b⇔x1y2＝x2y1；a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.(2)两条公式a·b＝|a||b|cos

θ与a·b＝x1x2＋y1y2没有本质区别，均用于求两向量的数量积，两者可以相互推导.5.向量的投影【名师点睛】

(1)两向量的夹角不一定是两向量所在直线的夹角，也有可能是直线夹角的补角.判断两向量的夹角时，需把向量平移至同一起(2)平面向量数量积运算的常用公式①(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.②(a±b)2＝a2±2a·b＋b2.(3)a，b为两个非零向量①a⊥b⇔a·b＝0；②a，b同向⇔a·b＝|a||b|；a，b反向⇔a·b＝－|a||b|；a2＝|a|2；③〈a，b〉为锐角⇔a·b＞0且a，b不共线；④〈a，b〉为钝角⇔a·b<0且a，b不共线.

考点一平面向量数量积的基本运算[例1](1)(多选题)(2023年仓山区校级期中)已知向量a＝(2，1)，)b＝(－3，1)，则( A.(a＋b)⊥aB.|a＋2b|＝5C.若向量c＝(－1，2)，则a∥cD.(2a＋b)·a＝5解析：∵a＝(2，1)，b＝(－3，1)，∴a＋b＝(－1，2).则(a＋b)·a＝－2＋2＝0，可得(a＋b)⊥a，故A正确；若向量c＝(－1，2)，∵2×2≠－1×1，∴a与c不平行，故C错误；(2a＋b)·a＝2|a|2＋a·b＝2×5＋(－6＋1)＝5，故D正确.故选ABD.答案：ABDA.－19B.－17C.17D.19答案：D【题后反思】平面向量数量积的三种运算方法(1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉.(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解：若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2. (3)利用数量积的几何意义求解.【变式训练】

1.(一题两空)已知向量a，b，c在正方形网格中的位置如图5-3-1所示，若网格纸上小正方形的边长为1，则(a＋b)·c＝_____；a·b＝________.图5-3-1

解析：以网格正方形的一条水平线为x轴，竖直线为y轴建平面直角坐标系，则有a＝(2，1)，b＝(2，－1)，c＝(0，1)，∴(a＋b)·c＝(4，0)·(0，1)＝4×0＋0×1＝0，a·b＝2×2＋1×(－1)＝3.答案：03

(方法二，特例图形法)若▱ABCD为矩形，建立如图D22所示的平面直角坐标系.

N(4，6)，M(8，4).图D22答案：24考点二平面向量数量积的应用考向1求向量的模通性通法：求解平面向量模的方法，a＝(x，y)A.2B.4C.6D.8答案：A图5-3-2答案：5考向2求向量的夹角通性通法：求平面向量的夹角的方法(3)解三角形法：把两向量的夹角放到三角形中.答案：D

(2)若向量a＝(k，3)，b＝(1，4)，c＝(2，1)，已知2a－3b与c的夹角为钝角，则k的取值范围是________.考向3两个向量垂直问题通性通法：(1)利用坐标运算证明两个向量的垂直问题

若证明两个向量垂直，先根据共线、夹角等条件计算出这两个向量的坐标；然后根据数量积的坐标运算公式，计算出这两个向量的数量积为0即可.(2)已知两个向量的垂直关系，求解相关参数的值根据两个向量垂直的充要条件，列出相应的关系式，进而求解参数.[例4](1)(2023年全国Ⅰ卷)已知向量a＝(1，1)，b＝(1，－1).)若(a＋λb)⊥(a＋μb)，则( A.λ＋μ＝1 C.λμ＝1

B.λ＋μ＝－1D.λμ＝－1

解析：∵a＝(1，1)，b＝(1，－1)，∴a＋λb＝(λ＋1，1－λ)，a＋μb＝(μ＋1，1－μ)，由(a＋λb)⊥(a＋μb)，得(λ＋1)(μ＋1)＋(1－λ)(1－μ)＝0，整理得2λμ＋2＝0，即λμ＝－1.故选D.

答案：D

【题后反思】对于非零向量a，b，c，“a＝b”只是“a·c＝b·c”的充分不必要条件，处理形如“a·c＝b·c”的条件时有两种思路，一是通过移项结合乘法分配律得到(a－b)·c＝0，从而得出(a－b)⊥c；二是结合向量数量积的几何意义，得到a与b在c上的投影相等.切记不可对“a·c＝b·c”两边同时除以c得到a＝b，不可对向量的数量积除以向量.【考法全练】答案：A2.(考向1)(2023年青秀区校级模拟)已知向量a，b的夹角为答案：2

3.(考向2)(2023年潮州市模拟)已知单位向量a，b满足|a＋b|＝|a－2b|，则a与b的夹角为__________.⊙极化恒等式(数学抽象)极化恒等式：设a，b为两个平面向量，则有恒等式如图5-3-3所示