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专题九圆锥曲线的热点问题

第2课时定点、定值、定直线问题2025年高考一轮总复习第七章

平面解析几何题型一定点问题(1)求椭圆C的方程；

(2)设椭圆C的左、右顶点分别为A1，A2，过A1，A2

分别作长轴的垂线l1，l2，椭圆C的一条切线l：y＝kx＋t与直线l1，l2

分别交于M，N两点.求证：以MN为直径的圆经过定点F.消去y得(2k2＋1)x2＋4ktx＋2t2－8＝0，因为直线l为椭圆C的一条切线，所以Δ＝(4kt)2－4(2k2＋1)(2t2－8)＝0，整理得8k2－t2＋4＝0，故t2－8k2＝4，【题后反思】(1)直线过定点问题的解题模型(2)先通过图形的对称性，结合特例，猜出定点的具体坐标，再证明该定点确为所求.【互动探究】(1)求抛物线C的标准方程；(2)已知直线l交抛物线C于异于点P的两点A，B，且PA⊥PB.证明：直线l过定点.因为PA⊥PB，所以(x1＋1)(x2＋1)＝－1，即x1＋x2＋x1x2＋2＝0.将直线l的方程与抛物线方程联立，可得x2－kx－m＝0，则x1＋x2＝k，x1x2＝－m，所以k－m＋2＝0，m＝k＋2.所以直线l的方程为y＝kx＋k＋2＝k(x＋1)＋2，所以直线l过定点(－1，2).

题型二定值问题(1)求曲线C的方程；(2)连接PH，PD分别交AB于点E，F.求证：|AE|2＋|BF|2为定值.图9-2【题后反思】圆锥曲线定值问题的常用解题策略(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关.(2)引进变量法：其解题流程为【互动探究】所以△OPQ的面积当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx＋m，题型三定直线问题[例3]已知抛物线C：x2＝2py(p＞0)的焦点为F，过F且斜率为1的直线与C交于A，B两点，|AB|＝8.(1)求抛物线C的方程；(2)过点D(1，2)的直线l交C于M，N两点，点Q为MN的上.(2)证明：易知直线l的斜率存在，

【题后反思】定直线问题是指因图形变化或点的移动而产生的动点在定直线上的问题.这类问题的核心在于确定动点的轨迹. (1)设点法：设动点的坐标，通过已知点轨迹，消去参数，从而得到轨迹方程.(2)待定系数法

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