2025届高三数学一轮总复习 第七章 第四讲 直线与圆、圆与圆的位置关系配套课件

第四讲直线与圆、圆与圆的位置关系2025年高考一轮总复习第七章

平面解析几何判断方法相交相切相离几何法d<rd＝rd>r代数法Δ>0Δ＝0Δ<0公共点个数法2101.直线与圆的位置关系内容内含内切相交外切外离几何法(r<R)d<R－rd＝R－r

R－r<d<R＋rd＝R＋rd>R＋r公切线条数01234图形2.两圆的位置关系【名师点睛】(1)当两圆相交时，两圆方程(x2，y2项的系数相同)相减便可得公共弦所在的直线方程.(2)直线与圆相交时，圆心到直线的距离d、半径r与弦长l满(3)圆的切线方程常用结论①过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.②过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.

考点一直线与圆的位置关系[例1](1)直线

l：mx－y＋1－m＝0与圆C：x2＋(y－1)2＝5的位置关系是()A.相交B.相切C.相离D.不确定解析：(方法一，几何法)∵圆心(0，1)到直线l的距离

(方法二，点与圆的位置关系法)直线l：mx－y＋1－m＝0过定点(1，1)， ∵点(1，1)在圆C：x2＋(y－1)2＝5的内部， ∴直线l与圆相交.消去y，整理得(1＋m2)x2－2m2x＋m2－5＝0，因为Δ＝16m2＋20>0，所以直线l与圆相交.答案：A(2)若直线x＋my＝2＋m与圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0相交，则实数m的取值范围为()A.(－∞，＋∞)B.(－∞，0)C.(0，＋∞)D.(－∞，0)∪(0，＋∞)解析：由x2＋y2－2x－2y＋1＝0得(x－1)2＋(y－1)2＝1，因为直线x＋my＝2＋m与圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0相交，所以m≠0，即m∈(－∞，0)∪(0，＋∞).答案：D【题后反思】判断直线与圆的位置关系的常见方法(1)几何法：利用d与r的关系判断.(2)代数法：联立方程之后利用Δ判断.(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交.上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题.【变式训练】 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案：A

2.若直线l：x＋y＝m与曲线C：y＝

有两个公共点，则实数m的取值范围是________________.

解析：如图D71，曲线C：y＝

的图象为单位圆的上半圆(包含端点)，直线l：x＋y＝m的斜率为－1，在y轴上的截距为m.当直线l经过A(1，0)，B(0，1)两点时，m＝1，此时直线l与曲线C有两个公共点.当直图D71直线l与曲线C有且只有两个公共点.

考点二圆的切线、弦长问题考向1圆的弦长问题答案：A考向2圆的切线问题(1)求过点P的圆C的切线方程；(2)求过点M的圆C的切线方程，并求出切线长.

(2)∵(3－1)2＋(1－2)2＝5＞4， ∴点M在圆C外部.

当过点M的直线斜率不存在时，直线方程为x＝3，即x－3＝0.又点C(1，2)到直线x－3＝0的距离d＝3－1＝2＝r，所以直线x＝3是圆C的切线.

当切线的斜率存在时，设切线方程为y－1＝k(x－3)，即kx－考向3与弦长有关的最值和范围问题[例4]过点(3，1)作圆(x－2)2＋(y－2)2＝4的弦，则最短弦所在的直线方程为_______________.解析：设P(3，1)，圆心C(2，2)，则|PC|＝

，半径r＝2，由题意知最短弦过P(3，1)且与PC垂直，kPC＝－1，所以所求直线方程为y－1＝x－3，即x－y－2＝0.答案：x－y－2＝0【题后反思】(1)弦长的两种求法①几何方法：若弦心距为d，圆的半径长为r，则弦长l＝

②代数方法：将直线和圆的方程联立方程组，消元后得到一个一元二次方程.在判别式Δ＞0的前提下，利用根与系数的关系，根据弦长公式求弦长.

(2)求过某点的圆的切线问题时，应首先确定点与圆的位置关系，再求切线方程.若点在圆上(即为切点)，则过该点的切线只有一条；若点在圆外，则过该点的切线有两条，此时注意斜率不存在的切线.【考法全练】1.(考向1)(2023年哈尔滨市期末)已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝25，则直线3x＋4y－1＝0被圆截得的弦的长度为()答案：D2.(考向2)(2023年全国Ⅰ卷)过点(0，－2)与圆x2＋y2－4x－1＝0相切的两条直线的夹角为α，则sinα＝()图D72答案：B

3.(考向3)(一题两空)(2022年温州市模拟)已知圆C：(x－1)2＋y2＝25与直线l：mx＋y＋m＋2＝0，若圆C关于直线l对称，则m＝_______；当m＝_______时，圆C被直线l截得的弦长最短.

解析：∵圆C：(x－1)2＋y2＝25关于直线l：mx＋y＋m＋2＝0对称，则圆心(1，0)在直线l：mx＋y＋m＋2＝0上，故有m＋0＋m＋2＝0，求得m＝－1.由于直线l：mx＋y＋m＋2＝0，即m(x＋1)＋y＋2＝0，经过定点M(－1，－2)，故当CM和直线l垂直时，＝－1，求得m＝1.答案：－11考点三圆与圆的位置关系[例5]已知两圆x2＋y2－2x－6y＋1＝0，x2＋y2－10x－12y＋m＝0.(1)m取何值时两圆外切？(2)m取何值时两圆内切？(3)当m＝45时，求两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长.解：因为两圆的标准方程分别为(x－1)2＋(y－3)2＝9，(x－5)2＋(y－6)2＝61－m，

(3)由(x2＋y2－2x－6y＋1)－(x2＋y2－10x－12y＋45)＝0，得两圆的公共弦所在直线的方程为4x＋3y－22＝0. 故两圆的公共弦的长为【题后反思】(1)判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法.(2)若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2，y2

项得到.【变式训练】1.(多选题)圆O1：x2＋y2－2x＝0和圆O2：x2＋y2＋2x－4y＝0的交点为A，B，则有()A.公共弦AB所在的直线方程为x－y＝0B.线段AB的中垂线方程为x＋y－1＝0答案：ABD所以(－x)(－x)＋(2－y)(－y)＝3，化简得x2＋(y－1)2＝4.所以点M的轨迹是以(0，1)为圆心，2为半径的圆.因为M在圆C：(x－a)2＋(y－a＋2)2＝1上，所以两圆必须内切、相交或外切.又两圆半径之差为2－1＝1，半径之和为2＋1＝3，所以两圆心之间的距离的取值范围为[1，3].a的取值范围为[0，3].答案：[0，3]3.(2022年全国Ⅰ卷)写出与圆x2＋y2＝1和(x－3)2＋(y－4)2＝16都相切的一条直线的方程____________________.

解析：圆x2＋y2＝1的圆心坐标为O(0，0)，半径r1＝1.圆(x－3)2＋(y－4)2＝16的圆心坐标为C(3，4)，半径r2＝4，如图D73.图D73

综上所述，与圆x2＋y2＝1和圆(x－3)2＋(y－4)2＝16都相切的直线方程为x＝－1，3x＋4y－5＝0以及7x－24y－25＝0.答案：x＝－1或3x＋4y－5＝0或7x－24y－25＝0⊙阿波罗尼斯圆

公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯在《平面轨迹》一书中，曾研究了众多的平面轨迹问题，其中有如下结果：到两定点距离之比等于已知数的动点轨迹为直线或圆.如图7-4-1，点A，B为两定点，动点P满足|PA|＝λ|PB|.则λ＝1时，动点P的轨迹为直线；当λ＞0且λ≠1时，动点P的轨迹为圆，后世称之为阿波罗尼斯圆.图7-4-1证明：设|AB|＝2m(m＞0)，|PA|＝λ|PB|，如图7-4-2，以AB的中点O为原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系，图7-4-2则A(－m，0)，B(m，0).

[例6]在平面直角坐标系中，A(－2，0)，B(2，0)，则满足|PA|＝2|PB|的点P的轨迹的圆心坐标为________________.