2025届高三数学一轮总复习 第九章 第二讲 排列与组合配套课件

第二讲排列与组合2025年高考一轮总复习第九章

计数原理、概率、随机变量及其分布名称定义区别排列从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列有序组合合成一组无序1.排列与组合的概念内容排列数组合数定义从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数.用符号“A”表示从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.用符号“C”表示2.排列数与组合数(续表)(续表)【名师点睛】(1)排列数与组合数的关系：考点一排列问题[例1]有3名男生，2名女生，在下列不同要求下，求不同的排列方法总数.(1)全体排成一行，其中甲只能在正中间、最左侧或最右侧的位置，共____种排法；(2)全体排成一行，其中男生必须排在一起，共____种排法；(3)全体排成一行，男生不能排在一起，共____种排法；(4)全体排成一行，其中甲在乙的左侧，乙在丙的左侧，共___种排法；(5)全体排成一行，其中甲不在最左边，乙不在最右边，共___种排法；(6)若再加入一名女生，全体排成一行，男女各不相邻，共___种排法；(7)排成前后两排，前排3人，后排2人，共____种排法；(8)全体排成一行，甲、乙两人中间必须有1人，共____种排法.答案：(1)72(2)36(3)12(4)20(5)78(6)72(7)120(8)36【题后反思】求解排列应用问题的六种常用方法

【变式训练】

1.(2022年全国Ⅱ卷)甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同的排列方式共有()A.12种C.36种

B.24种D.48种∴甲不站在两端，丙和丁相邻的不同排列方式有48－24＝24(种).故选B.答案：B

2.(2023年重庆市校级月考)医院进行年度体检，有抽血、腹部彩超、胸部CT、心电图、血压测量五个检查项目.为了体检数据的准确性，抽血必须作为第一个项目完成，而李老师决定腹部彩超和胸部CT两项不连在一起检查.则不同顺序的检查方案一共有()A.6种C.18种

B.12种D.24种

解析：根据题意，将心电图、血压测量两项全排列，有A

＝2(种)情况，再将腹部彩超和胸部CT两项安排在其空位中，有A＝6(种)情况，最后将抽血放在第一位，有1种情况，故有2×6＝12(种)不同顺序的检查方案.故选B.答案：B考点二组合问题[例2]某市工商局对35种商品进行抽样检查，已知其中有15种假货.现从35种商品中选取3种.(1)其中某一种假货必须在内，不同的取法有多少种？(2)其中某一种假货不能在内，不同的取法有多少种？(3)恰有2种假货在内，不同的取法有多少种？(4)至少有2种假货在内，不同的取法有多少种？(5)至多有2种假货在内，不同的取法有多少种？【题后反思】组合问题常有以下两类题型变化：

(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取.

(2)“至少”或“至多”含有几个元素的组合题型：解这类题必须十分重视“至少”与“至多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解.用直接法和间接法都可以求解，用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理.

【变式训练】

(2023年全国Ⅱ卷)某学校为了了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生.已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，则不同的抽样结果共有()

解析：∵初中部和高中部分别有400名和200名学生，∴人数比例为400∶200＝2∶1，则需要从初中部抽取40人，高中部抽种抽样结果.故选D.取20人，则有答案：D

考点三排列与组合的综合问题

考向1相邻问题

[例3]某会议期间，有2位女性和3位男性共5位领导人站成一排照相，则女性领导人甲不在两端，3位男性领导人中有且只有2位相邻的站法有()A.12种B.24种C.48种D.96种

解析：从3位男性领导人中任取2人“捆”在一起记作A，A共有

＝6(种)不同排法，剩下1位男性领导人记作B，2位女性分别记作甲、乙；则女领导人甲必须在A，B之间，此时共有6×2＝12(种)排法(A左B右和A右B左)，最后再在排好的三个元素中选出四个位置插入乙，∴共有12×4＝48(种)不同排法.答案：C

考向2相间问题

[例4]某次联欢会要安排3个歌舞类节目，2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是()A.72B.120C.144D.168

解析：安排小品类节目和相声类节目的顺序有三种，“小品1，小品2，相声”“小品1，相声，小品2”和“相声，小品1，小品2”.对于第一种情况，形式为“□小品1歌舞1小品2相声□”，有＝36(种)安排方法；同理，第三种情况也有36种安排方法，对于第二种情况，三个节目形成4个空，其形式为“□小品相声12小品”，有

＝48(种)安排方法，故共有36＋36＋48＝120(种)安排方法.答案：B

考向3特殊元素(位置)问题

[例5]某城市中关系要好的A，B，C，D四个家庭各有两个孩子共8人，他们准备乘甲、乙两辆汽车出去游玩，每车限坐4个孩子(乘同一辆车的4个孩子不考虑位置)，其中A家庭的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的4个孩子恰有2个来自同一个家庭的乘坐方式共有()A.18种B.24种C.36种D.48种解析：根据题意，分两种情况讨论.

①A家庭的孪生姐妹在甲车上，甲车上另外的两个孩子要来自不同的家庭，可以在剩下的三个家庭中任选2个，再从每个家庭的2个孩子中任选一个来乘坐甲车，有＝12(种)乘坐方式；

②A家庭的孪生姐妹不在甲车上，需要在剩下的三个家庭中任选1个，让其2个孩子都在甲车上，对于剩余的两个家庭，从每个家庭的2个孩子中任选一个来乘坐甲车，

＝12(种)乘坐方式，故共有12＋12＝24(种)乘坐方式.答案：B【反思感悟】解排列、组合问题要遵循的两个原则(1)按元素(位置)的性质进行分类.(2)按事情发生的过程进行分步.具体地说，解排列、组合问题常以元素(位置)为主体，即先满足特殊元素(位置)，再考虑其他元素(位置).【考法全练】

1.(考向1)把5件不同的产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有________种.

解析：将产品A与B捆绑在一起，然后与其他三种产品进行答案：36

2.(考向2)(2021年广德市模拟)将《红楼梦》《西游记》《三国演义》《水浒传》《唐诗三百首》《徐志摩诗集》和《戏曲论丛》7本书放成一排，下面结论成立的是(

)A.戏曲书放在中间的不同放法有7！种B.诗集相邻的不同放法有2×6！种C.四大古典名著互不相邻的不同放法有3！种D.四大古典名著不放在两端的不同方法有A

种解析：对于A，戏曲书只有1本，所以其余6本书可以全排列，共有6！种不同排列方法，A错误；

对于B，诗集共2本，把诗集当成1本，不同放法有6！种，这两本又可交换位置，所以不同放法总数为2×6！，B正确；

对于C，四大古典名著互不相邻，那只能在这4本书的3个空隙中放置其他书，共有3！种放法，这4本书又可以全排列，所以不同放法总数为4！×3！，C错误；

对于D，四大古典名著可以在第2位至第6位这5个位置上任选4个位置放置，共有A

种放法，这4本书放好后，其余3本书可以在剩下的3个位置上全排列，所以不同放法总数为A

×3！，D错误.故选B.答案：B

3.(考向3)(2023年连云港市模拟)现要从A，B，C，D，E这5人中选出4人，安排在甲、乙、丙、丁4个岗位上，如果A不能安排在甲岗位上，则安排的方法有()A.56种B.64种C.72种D.96种答案：D⊙排列组合中的分组与分配问题考向1不同元素的整体均分问题[例6]若将6名教师平均分配到3所学校去任教，有_______种不同的分法.答案：90

考向2不同元素的部分均分问题

[例7]将6本不同的书分给甲、乙、丙、丁4个人，每人至少1本的不同分法共有________种(用数字作答).

解析：把6本不同的书分成4组，每组至少1本的分法有2种. ①有1组3本，其余3组每组1本，不同的分法共有②有2组每组2本，其余2组每组1本，不同的分法共有

所以不同的分组方法共有20＋45＝65(种).

然后把分好的4组书分给4个人，所以不同的分法共有65×A

＝1560(种).答案：1560考向3不同元素的不等分问题[例8]若将6名教师分配到3所中学任教，一所1名，一所2名，一所3名，则有________种不同的分法.解析：将6名教师分组，分3步完成.故共有60×6＝360(种)不同的分法.答案：360考向4相同元素的分配问题[例9]把9个完全相同的口罩分给6名同学，每人至少一个，)不同的分配方法有( A.41种 C.156种

B.56种D.252种

解析：问题可转化为将9个完全相同的口罩排成一列，再分成6份，每份至少一个，求其方法数.事实上，只需在上述9个完全相同的口罩所产生的8个“空当”中选出5个“空当”插入挡板，即产生符合要求的分配方法.故有C

＝56(种).答案：B【题后反思】分组与分配问题的解题思路(1)分组问题属于“组合”问题，常见的分组方法有三种：①完全均匀分组，每组元素的个数都相等；②部分均匀分组，应注意不要重复；③完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象.(2)分配问题属于“排列”问题，常见的分配方法有三种：①相同元素的分配