数学同步训练：二元一次不等式（组所表示的平面区域）

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精3.5二元一次不等式(组）与简单的线性规划问题3.5。1二元一次不等式（组）所表示的平面区域5分钟训练（预习类训练，可用于课前）1。已知一直线l的方程为ax+by=0（a、b不同时为零），点P1（x0，y0）、P2(2x0，2y0），则(）A.点P1、P2分别在l的两侧或在l上B。点P1、P2均在l的同侧或在l上C。点P1、P2分别在l的两侧，不可能在l上D。点P1、P2均在l上解析：若ax0+by0=0,则2ax0+2by0=0,此时P1和P2都在直线l上，否则,一定有ax0+by0与2ax0+2by0同号，故选B。答案：B2.不等式组表示的平面区域是一个（)A。三角形B.直角梯形C.梯形D。矩形解析:（x—y+5）(x+y）≥0据题意作出不等式组所表示的平面区域如下图所示。故选C。答案：C3。不在3x+2y＜6表示的平面区域内的点是（）A。(0，0)B。(1，1）C。（0，2）D.（2，0）解析：可将每一个点代入3x+2y＜6检验，满足不等式的就在3x+2y＜6表示的平面区域内，不满足的，则不在它表示的平面区域内.答案：D4.点(—2,t）在直线2x—3y+6=0的上方，则t的取值范围是_____________。解析：据题意(可以结合图形）得不等式2×(-2）-3t+6＜0t＞。故t的取值范围是（，+∞）。答案：t∈（，+∞）10分钟训练（强化类训练，可用于课中)1.已知点（3，1)和（-4，6)在直线3x—2y+a=0的两侧,则a的取值范围是（）A。a＜—7或a＞24B.a=7或a=24C.—7＜a＜24D.—24＜a＜7解析：据题意得（3×3-2×1+a）［3×（—4）-2×6+a］＜0（a+7）（a-24)＜0—7＜a＜24.故选C.答案：C2。（x-2y+1)(x+y-3）＜0表示的平面区域为（）解析：原不等式等价于下列不等式组分别画出各不等式所表示的平面区域，观察其图象，知选C.答案：C3。不等式组表示的平面区域为（）A.正三角形及其内部B。等腰三角形及其内部C.在第一象限内的一个无界区域D。不包含第一象限内的点的一个有界区域解析：作出不等式组表示的平面区域,如下图所示，观察图象可知选B。答案:B4.不等式|3x+2y+k|≤8表示的平面区域必包含点（0,0）和点（1，1)，则实数k的取值范围是_____________。解析:根据条件,点(0，0)和（1，1）满足不等式,代入即得解之得—8≤k≤3。答案：—8≤k≤35。已知点P（x,y)满足条件点O为坐标原点，那么｜PO|的最小值等于______________，最大值等于______________。解析：画出不等式组表示的平面区域,如下图所示：易得A（2，2)，OA=，B（1，3),OB=，C（1，1）,OC=,故|OP｜的最大值为,最小值为。答案：.6。如下图所示，求△PQR内任一点(x，y）满足的关系式。解析：易得直线PQ的方程为：x+2y—5=0；直线QR的方程为：x—6y+27=0；直线RP的方程为:3x-2y+1=0。注意到△PQR内任一点(x，y）应在直线RP、PQ的上方，而在QR的下方，故应有30分钟训练（巩固类训练，可用于课后）1.不等式组表示的区域为D，两点P1（0，—2）、P2（0，0）与D的关系为(）A。P1D且P2DB。P1∈D且P2DC.P1D且P2∈DD。P1∈D且P2∈D解析：作出不等式组表示的平面区域D，如下图所示，可知P1（0,-2）在D内,P2(0，0）不在D内，故选B。也可以直接把点的坐标代入检验，满足不等式的在区域内,否则不在区域内.答案：B2.在平面直角坐标系中，满足不等式x2-y2＜0的点（x，y）的集合（用阴影表示）是（)解析：首先把二元二次不等式化为二元一次不等式组：x2—y2＜0（x+y）(x-y）＜0答案：D3.如果函数y=ax2+bx+a的图象与x轴有两个交点，则点（a,b）在aOb平面上的区域（不包含边界）为(）解析：因为函数图象与x轴有两个不同的交点,所以，有b2-4a2＞0，即|b|＞2|a｜。对a、b的符号分情况讨论：①②③④可得C选项正确.答案：C4。设a＞0，点集S中的点（x，y）满足下列所有条件：①≤x≤2a,②≤y≤2a，③x+y≥a，④x+a≥y，⑤y+a≥x，则S的边界是一个有__________条边的多边形（）A。4B。5C.6解析：如下图所示，分别画出各不等式表示的区域,并画出公共区域，可得平面六边形，即点S的边界是一个有六条边的多边形.故选C。答案：C5.在平面直角坐标系中，不等式组表示的平面区域的面积是（)A。4B。4C。2D.2解析：由题知可行域为△ABC（如下图所示）,S△ABC==4.答案：B6.在直角坐标平面上有两个区域M和N,其中区域M=，区域N={（x，y)|t≤x≤t+1，0≤y≤1}，区域M和N的公共面积用函数f(t）表示，则f(t）的表达式为()A。B。—2t2+2tC。D。解析：当t=0或t=1时,f（t）=；当0＜t＜1时,如下图,公共面积为大三角形的面积减去两个小三角形的面积（阴影面积），即f（t)=1t2（1-t）2=-t2+t+，此式对t=0和t=1也成立。答案:A7。某厂生产甲产品每千克需用原料A和原料B分别为a1、b1千克，生产乙产品每千克需用原料A和原料B分别为a2、b2千克。甲、乙产品每千克可获利润分别为d1、d2元。月初一次性购进原料A、B各c1、c2千克.要计划本月生产甲产品和乙产品各多少千克才能使月利润总额达到最大。在这个问题中，设全月生产甲、乙两种产品分别为x千克、y千克，月利润总额为z元，那么，用于求使总利润z=d1A。B.C.D。解析：设全月生产甲、乙两种产品分别为x千克、y千克，月利润总额为z元,那么,用于求使总利润z=d1x+d2y最大的数学模型中，约束条件为，选C.答案：C8。满足｜x｜+｜y｜≤4的整点（x，y）的个数是(）A.16B。17C.40解析：｜x｜=4时,y=0，有2个；｜x|=3时,y=0，±1，有6个；|x|=2时，y=0,±1，±2，有10个；｜x｜=1时，y=0，±1，±2，±3,有14个；｜x|=0时，y=0，±1，±2,±3,±4，有9个，∴共有2+6+10+14+9=41个.答案:D9.已知集合A={（x,y）｜｜x｜+|y|≤1｝，B={（x,y）|（y-x)（y+x）≤0}，M=A∩B,则M的面积为____________。解析：由题意，如下图所示,图中阴影部分即为M的平面区域.可求其面积S=×2×1=1。答案：110.已知实系数方