数学同步训练：向量的减法

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2.1.2向量的加法2．1。3向量的减法知识点一:向量的加法1．向量(eq\o（AB,\s\up6（→))＋eq\o(MB,\s\up6(→）)）＋（eq\o（BO,\s\up6（→））＋eq\o(BC,\s\up6（→）)）＋eq\o（OM，\s\up6（→)）化简后等于A.eq\o（BC,\s\up6(→))B.eq\o(AB,\s\up6（→)）C。eq\o(AC，\s\up6(→）)D.eq\o（AM，\s\up6(→）)2．已知平行四边形ABCD，设(Aeq\o（B，\s\up6（→））＋Ceq\o(D,\s\up6(→）））＋(Beq\o(C,\s\up6（→))＋Deq\o(A,\s\up6(→)）)＝a,而b是一非零向量,则下列结论正确的有①a∥b②a＋b＝a③a＋b＝b④｜a＋b｜＜｜a｜＋｜b|A．①③B．②③C．②④D．①②3．在菱形ABCD中,∠DAB＝60°，向量｜Aeq\o(B,\s\up6（→））｜＝1,则|Beq\o(C,\s\up6(→))＋Ceq\o(D，\s\up6（→)）｜＝__________.4．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC,则eq\o(OA,\s\up6（→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC，\s\up6（→)）＋eq\o（CD，\s\up6(→))＝________。知识点二：向量的减法5．在下列各式中,化简结果恒为零向量的是A.eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC，\s\up6（→）)＋eq\o（BD，\s\up6(→）)－eq\o（CD，\s\up6（→))B.eq\o(AB，\s\up6(→））＋eq\o(MB,\s\up6（→)）＋eq\o(BO,\s\up6（→））＋eq\o(OM,\s\up6（→））C.eq\o（MB，\s\up6(→））＋eq\o(AC，\s\up6（→）)＋eq\o(BM，\s\up6（→））＋eq\o（CD,\s\up6(→)）D。eq\o（OA,\s\up6(→)）＋eq\o(OC,\s\up6（→））＋eq\o（BO,\s\up6（→）)＋eq\o(CO,\s\up6(→）)6．下列命题中正确命题的个数为①如果非零向量a与b的方向相同或相反，那么a＋b的方向必与a、b之一的方向相同；②△ABC中,必有Aeq\o（B,\s\up6（→))＋Beq\o(C,\s\up6(→)）＋Ceq\o(A,\s\up6(→)）＝0；③若Aeq\o(B,\s\up6（→)）＋Beq\o(C，\s\up6（→）)＋Ceq\o(A，\s\up6（→）)＝0,则A、B、C为一个三角形的三个顶点;④若a、b均为非零向量，则|a＋b｜与｜a｜＋|b｜一定相等．A．0B．1C．2D7．已知向量a的终点与向量b的起点重合，向量c的起点与向量b的终点重合，则下列各结论中，正确的个数为①以a的起点为终点，以c的起点为起点的向量等于－(a＋b);②以a的起点为终点，以c的终点为起点的向量为－a－b－c;③以b的起点为终点，以c的终点为起点的向量为－b－c.A．1B．2C．3D8．在△ABC中,设eq\o(BC,\s\up6(→）)＝a，eq\o（CA,\s\up6（→))＝b，则eq\o（AB，\s\up6(→))＝________.能力点一：向量加减法的运算9．如图，D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，则A。eq\o（AD,\s\up6(→））＋eq\o(BE，\s\up6(→)）＋eq\o(CF,\s\up6(→)）＝0B。eq\o（BD,\s\up6（→))－eq\o(CF，\s\up6(→））＋eq\o(DF,\s\up6（→))＝0C。eq\o(AD，\s\up6（→））＋eq\o(CE,\s\up6(→))－eq\o(CF，\s\up6(→）)＝0D。eq\o(BD，\s\up6(→））－eq\o(BE,\s\up6（→)）－eq\o（FC,\s\up6（→））＝010．在平行四边形ABCD中,eq\o（AB，\s\up6（→)）＋eq\o(CA,\s\up6(→))－eq\o（DB,\s\up6(→））等于A.eq\o(AB,\s\up6(→））B。eq\o（DA，\s\up6(→）)C。eq\o(BC,\s\up6（→))D。eq\o（CD,\s\up6（→))11．若O是△ABC所在平面内一点，且满足|eq\o（OB,\s\up6(→))－eq\o（OC，\s\up6（→）)|＝｜eq\o（OB,\s\up6(→))＋eq\o（OC，\s\up6(→））－eq\o（OA，\s\up6（→）)－eq\o(OA,\s\up6(→))|,则△ABC的形状是A．等腰直角三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等边三角形12．如图所示，在矩形ABCD中，O是对角线AC与BD的交点,若eq\o（AB,\s\up6(→））＝a，eq\o（BC，\s\up6(→)）＝b,eq\o(OB，\s\up6(→））＝c，则a－（b＋c)＝________。13．如图,在梯形ABCD中，AD∥BC,AC与BD交于O点,则eq\o(BA，\s\up6（→）)－eq\o(BC，\s\up6（→))－eq\o(OA，\s\up6（→）)＋eq\o(OD，\s\up6(→))＝________.14．如图所示,已知eq\o（OA,\s\up6（→））＝a,eq\o(OB,\s\up6(→))＝b,eq\o(OC,\s\up6(→))＝c,eq\o(OE,\s\up6（→))＝e，eq\o（OD,\s\up6（→))＝d，eq\o(OF，\s\up6（→））＝f，试用a，b，c，d,e,f表示eq\o（AC,\s\up6(→））,eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→）)－eq\o(AB,\s\up6(→)），eq\o(AB，\s\up6（→)）＋eq\o（CF,\s\up6（→)），eq\o(BF,\s\up6（→)）－eq\o（BD,\s\up6(→)），eq\o（DF，\s\up6(→))＋eq\o(FE，\s\up6（→））＋eq\o（ED，\s\up6(→））.15．如图，在正六边形A1A2A3A4A5A6中，已知eq\o(A1A2,\s\up6（→）)＝p，eq\o（A1A6,\s\up6（→））＝q，试用p、q表示向量eq\o（A2A3,\s\up6(→））、eq\o（A3A4，\s\up6（→））、eq\o（A1A4，\s\up6（→）)、eq\o(A2A5,\s\up6(→)）。能力点二：向量加减法的综合应用16．若A、B、C、D是平面内任意四点，则下列式子正确的有________个．①eq\o（AB,\s\up6（→）)＋eq\o（CD，\s\up6（→））＝eq\o(BC,\s\up6（→）)＋eq\o（DA,\s\up6（→)）②eq\o（AC,\s\up6(→)）＋eq\o(BD,\s\up6（→））＝eq\o（BC,\s\up6(→））＋eq\o(AD，\s\up6(→））③eq\o（AC，\s\up6（→))－eq\o(BD,\s\up6(→））＝eq\o(DC,\s\up6（→)）＋eq\o（AB，\s\up6（→)）A．0B．1C．2D17．已知向量a、b满足｜a｜＝1，|b｜＝2，|a－b|＝2，则|a＋b|等于________．18．已知eq\o(OA,\s\up6(→))＝a,eq\o（OB，\s\up6（→))＝b，且｜a|＝｜b|＝4，∠AOB＝60°。求a－b与a所在直线的夹角．19．如图,已知正方形ABCD的边长等于1,eq\o(AB，\s\up6(→））＝a，eq\o（BC，\s\up6（→))＝b，eq\o（AC，\s\up6（→)）＝c，试作向量并分别求模．（1)a＋b＋c；(2)a－b＋c.20．已知任意四边形ABCD,E为AD的中点，F为BC的中点，求证：eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o（EF，\s\up6（→）)＝eq\o(EF，\s\up6（→）)－eq\o(DC，\s\up6(→)）.21．如图所示,ABCD中，eq\o（AB,\s\up6（→））＝a,eq\o（AD,\s\up6(→）)＝b，(1）用a、b表示eq\o（AC，\s\up6（→))、eq\o(DB，\s\up6(→)）。（2）当a、b满足什么条件时，a＋b与a－b所在直线互相垂直?（3）当a、b满足什么条件时，｜a＋b|＝｜a－b|?(4)a＋b与a－b有可能为相等向量吗？为什么?答案与解析1．C原式＝（eq\o（AB,\s\up6(→）)＋eq\o（BC，\s\up6(→)））＋(eq\o(BO，\s\up6（→)）＋eq\o(OM,\s\up6(→）））＋eq\o（MB，\s\up6(→))＝eq\o(AC，\s\up6(→)）＋eq\o（BM,\s\up6(→））＋eq\o（MB,\s\up6（→））＝eq\o(AC，\s\up6（→)）。2．A3．1eq\o（BC,\s\up6（→）)＋eq\o（CD,\s\up6(→））＝eq\o（BD，\s\up6（→）），在△ABD中，AD＝AB＝1，∠DAB＝60°，∴BD＝1.∴｜eq\o(BC,\s\up6（→）)＋eq\o（CD，\s\up6（→）)｜＝｜eq\o(BD,\s\up6（→)）|＝1。4。eq\o（OD，\s\up6(→)）5．A6。B7.C8．－a－beq\o（AB,\s\up6(→)）＝eq\o（AC，\s\up6（→））＋eq\o(CB，\s\up6（→）)＝－eq\o(CA，\s\up6(→)）－eq\o（BC,\s\up6（→）)＝－a－b.能力提升9．A由条件知eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(DB，\s\up6(→）)，eq\o（DE，\s\up6(→）)＝eq\o（FC，\s\up6（→）),∴eq\o(AD，\s\up6(→））＋eq\o（BE,\s\up6（→)）＋eq\o（CF，\s\up6(→)）＝eq\o(DB,\s\up6（→））＋eq\o(BE,\s\up6（→))＋eq\o(CF，\s\up6(→))＝eq\o(DE,\s\up6（→）)＋eq\o(CF,\s\up6（→))＝eq\o（FC,\s\up6(→))＋eq\o(CF,\s\up6（→)）＝0。10．Deq\o(AB，\s\up6(→）)＋eq\o（CA，\s\up6（→)）－eq\o（DB,\s\up6(→)）＝(eq\o（AB,\s\up6（→））＋eq\o(BD,\s\up6（→）))－eq\o(AC,\s\up6(→)）＝eq\o（AD，\s\up6(→）)－eq\o(AC，\s\up6(→)）＝eq\o（CD，\s\up6（→))。11．B由已知得|eq\o(BC，\s\up6（→））｜＝|(eq\o(OB，\s\up6（→）)－eq\o(OA，\s\up6(→))）＋（eq\o(OC,\s\up6（→)）－eq\o（OA，\s\up6（→））)｜＝|eq\o(AB,\s\up6（→）)＋eq\o(AC,\s\up6(→））|，∴以｜eq\o（AB,\s\up6(→))｜与|eq\o（AC,\s\up6（→））｜为邻边的平行四边形为矩形，即AB⊥AC。故△ABC为直角三角形．12．ca－（b－c）＝eq\o(AB,\s\up6(→）)－（eq\o（BC，\s\up6(→)）＋eq\o(OB，\s\up6(→））)＝(eq\o（OB,\s\up6(→))－eq\o(OA，\s\up6（→）))－(eq\o(OC,\s\up6（→))－eq\o(OB，\s\up6(→））＋eq\o（OB,\s\up6（→）））＝eq\o（OB，\s\up6(→）)－eq\o（OA，\s\up6（→))－eq\o（OC，\s\up6(→))＝eq\o(OB，\s\up6(→)）－eq\o（OA，\s\up6（→）)＋eq\o（OA，\s\up6（→）)＝eq\o(OB,\s\up6(→))＝c.13.eq\o（CD，\s\up6（→））14．解：eq\o(AC,\s\up6(→））＝eq\o（OC，\s\up6（→））－eq\o(OA,\s\up6(→））＝c－a，eq\o(AD，\s\up6（→))＝eq\o(OD,\s\up6（→)）－eq\o(OA，\s\up6（→））＝d－a,eq\o(AD，\s\up6(→）)－eq\o（AB,\s\up6（→)）＝eq\o（BD，\s\up6(→）)＝eq\o(OD,\s\up6(→））－eq\o(OB，\s\up6(→）)＝d－b，eq\o（AB,\s\up6（→）)＋eq\o(CF,\s\up6(→））＝eq\o（OB，\s\up6(→））－eq\o（OA，\s\up6（→)）＋eq\o（OF，\s\up6(→））－eq\o（OC,\s\up6（→)）＝b－a－c＋f,eq\o（BF，\s\up6（→))－eq\o(BD，\s\up6（→)）＝eq\o(DF，\s\up6（→))＝eq\o(OF，\s\up6(→））－eq\o(OD，\s\up6(→）)＝f－d，eq\o（DF,\s\up6（→))＋eq\o（FE，\s\up6（→)）＋eq\o（ED,\s\up6（→)）＝0。15．解:∵由已知得:eq\o（A1A2，\s\up6(→））＝eq\o(OA3,\s\up6(→））＝p，eq\o（A1A6，\s\up6(→)）＝eq\o(A2O,\s\up6(→）)＝eq\o（A3A4，\s\up6(→）)＝eq\o（OA5,\s\up6(→））＝q,∴eq\o(A2A3,\s\up6(→））＝eq\o(A2O，\s\up6(→)）＋eq\o（OA3，\s\up6(→）)＝eq\o(A1A6,\s\up6(→)）＋eq\o(A1A2,\s\up6（→）)＝q＋p＝p＋q；eq\o(A3A4，\s\up6(→）)＝eq\o（A1A6，\s\up6（→)）＝q；eq\o(A1A4，\s\up6(→))＝eq\o（A1O,\s\up6(→）)＋eq\o（OA4，\s\up6(→）)＝2eq\o（A2A3，\s\up6(→))＝2(p＋q);eq\o(A2A5，\s\up6（→））＝eq\o（A2O，\s\up6(→）)＋eq\o（OA5,\s\up6（→））＝2eq\o（A2O，\s\up6(→）)＝2eq\o(A1A6,\s\up6(→）)＝2q.16．C∵eq\o(AB，\s\up6（→））＋eq\o(BC,\s\up6（→)）＝eq\o(AC,\s\up6(→）)和eq\o(BC,\s\up6（→））＝eq\o（AC，\s\up6（→)）－eq\o(AB,\s\up6(→))，①式可变形为eq\o（AB,\s\up6（→））－eq\o（BC，\s\up6(→）)＝eq\o（DA，\s\up6(→))－eq\o(CD，\s\up6（→)),即eq\o(AB,\s\up6（→))＋eq\o（CB,\s\up6（→））＝eq\o(DA,\s\up6(→）)＋eq\o（DC，\s\up6(→）)，不恒成立;②式可变形为eq\o（AC,\s\up6（→））－eq\o（AD,\s\up6（→））＝eq\o(BC，\s\up6(→））－eq\o(BD,\s\up6（→）），即eq\o(DC，\s\up6（→))＝eq\o（DC,\s\up6(→）)，故正确；③式可变形为eq\o(AC，\s\up6（→))－eq\o（DC，\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→)）＋eq\o(BD，\s\up6（→))，即eq\o（AD,\s\up6（→)）＝eq\o(AD,\s\up6(→)），正确．17.eq\r（6）利用|a＋b｜2＋｜a－b|2＝2（｜a|2＋|b|2)求得｜a＋b|＝eq\r(6）。18．解：如图所示，OACB,｜a｜＝｜b|＝4，∠AOB＝60°，∴此平行四边形为菱形，eq\o（BA，\s\up6（→))＝a－b，△ABO为等边三角形．∴｜eq\o（BA,\s\up6（→)）｜＝4，即｜a－b|＝4。∵a－b与a所在直线分别为BA与OA，∴所求夹角为60°.19．解:(1)由已知得a＋b＝eq\o(AB，\s\up6(→）)＋eq\o(BC，\s\up6(→)）＝eq\o(AC，\s\up6（→）),又eq\o（AC，\s\up6(→)）＝c,∴延长AC到E,使｜eq\o(CE,\s\up6（→)）｜＝｜eq\o（AC，\s\up6(→)）｜.则a＋b＋c＝eq\o(AE，\s\up6(→))，且｜eq\o（AE，\s\up6（→））|＝2eq\r(2）.（2）作eq\o（BF,\s\up6（→）)＝eq\o（AC,\s\up6（→)），则eq\o(DB，\s\up6（→)）＋eq\o（BF,\s\up6（→)）＝eq\o（DF,\s\up6（→)),而eq\o（DB,\s\up6（→)）＝eq\o（AB，\s\up6（→))－eq\o(AD，\s\up6（→））＝a－eq\o（BC，\s\up6（→））＝a－b，∴a－b＋c＝eq\o（DB,\s\up6（→)）＋eq\o（BF,\s\up6(→)）＝eq\o（DF,\s\up6(→）)且｜eq\o（DF，\s\up6（→））｜＝2.拓展探究20．证明：如图,在四边形CDEF中，eq\o(EF，\s\up6(→)）＋eq\o(FC,\s\up6（→))＋eq\o(CD,\s\up6(→）)＋eq\o(DE，\s\up6(→））＝0,∴eq\o（EF，\s\up6(→)）＝－eq\o(FC，\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6（→))－eq\o(DE,\s\up6（→））＝eq\o(CF,\s\up6(→）)＋eq\o（DC,\s\up6(→））＋eq\o(ED,\s\up6(→）).①在四边形ABFE中，eq\o(EF，\s\up6（→）)＋eq\o(FB,\s\up6（→)）＋eq\o(BA,\s\up6(→））＋eq\o(AE，\s\up6（→））＝0，∴eq\o（EF，\s\up6(→））＝eq\o(BF,\s\up6（→))＋eq\o（AB,\s\up6(→)）＋eq\o（EA,\s\up6(→)).②①＋②，得eq\o(EF,\s\up6（→））＋eq\o（EF,\s\up6(→))＝eq\o(CF,\