数学同步训练：函数的奇偶性用计算机作函数的图象（选学）

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2。1.4函数的奇偶性2.1.5用计算机作函数的图象(选学）5分钟训练1。下列命题正确的是（）A.偶函数的图象一定与y轴相交B.奇函数的图象一定通过原点C。不存在既是奇函数又是偶函数的函数D.偶函数的图象关于y轴对称答案:D解析：偶函数的图象不一定与y轴相交,如函数y=x2,x∈［—4,-3］∪［3,4］，排除A;奇函数的图象不一定过原点，如函数y=，排除B;函数f（x)=0(x∈R）既是奇函数又是偶函数,排除C.2.下列函数图象中所表示的函数是奇函数的是（)答案：D解析：由奇函数的图象关于原点对称，可得D项中的函数为奇函数。3。对定义域为R的任何奇函数f（x），都有()A。f(x)-f(-x）>0B。f(x）-f(—x)≤0C。f（x）·f(-x)≤0D.f(x)·f(—x）>0答案:C解析：∵函数f（x)是R上的奇函数,∴f（0）=0。故A、D错误.对于B恒有f（x)≤0，这与奇函数的图象关于原点对称相矛盾.4。（1）一次函数y=kx+b(k≠0）是奇函数，则b=___________；（2)二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）是偶函数，则b=___________。答案：(1)0(2)0解析：（1）由-kx+b=-（kx+b），得b=0。（2)因为a(—x)2+b(-x）+c=ax2+bx+c，所以—bx=bx，故b=0。10分钟训练1。函数y=x｜x|的图象大致是()答案：C解析:∵y=x｜x｜是奇函数，∴A、B错误。又∵x〉0时,y=x2，∴D错误.2。已知函数f(x)=（m-1)x2+2mx+3为偶函数，则f(x）在(—5,—2)上是()A。增函数B。减函数C。非单调函数D。可能是增函数，也可能是减函数答案：A解析:∵f（x)为偶函数，∴f(—x）=f(x),即（m-1)x2+2m(-x)+3=（m-1)x2+2mx+3。∴—2mx=2mx。∴m=0。∴f（x)=—x2+3.∴f(x)在（-5，—2)上是增函数。3.如果奇函数f(x)在区间［—5,-3]上是增函数，且最大值是—4,那么f（x）在x∈［3,5］上是（）A.增函数且最大值是4B。增函数且最小值是4C.减函数且最大值是4D。减函数且最小值是4答案：B解析:作一个符合条件的函数的简图。观察图形，可知f(x)在[3,5］上是增函数,且最小值为4.4。函数y=f（x）在（0，2)上是增函数，函数y=f（x+2）是偶函数.下列结论中正确的是（)A。f(1）＜f()＜f(）B。f（）＜f(1）＜f（）C。f(）＜f(）＜f（1）D。f（）＜f（1）＜f（）答案：B解析：y=f(x）的图象关于直线x=2对称，且在（0，2）上是增函数，(2，3）上是减函数，∴.又f（3）=f（1），∴.5。已知奇函数f（x）在x<0时，f(x)=x（x—1),则当x〉0时，f(x)=____________.答案：—x(x+1）解析:设x〉0，则—x〈0.由条件,得f（—x）=—x(-x—1）.∵函数为奇函数，f（—x）=—f(x）,∴-f（x）=-x(—x—1).∴f(x)=-x(x+1）.6.已知f(x)是奇函数，在（-1，1)上是减函数，且满足f（1—a)+f（1—a2）＜0,求实数a的范围。解：由f（1-a）+f（1-a2）＜0，得f(1-a）＜—f（1-a2）。∵f（x)是奇函数,∴-f（1-a2)=f（a2-1）。于是f（1-a)＜f（a2-1）.又由于f（x）在（—1,1)上是减函数，因此，解得0＜a＜1.30分钟训练1.设f(x)是R上的偶函数,且在(0,+∞)上是减函数，若x1〈0且x1+x2〉0，则（）A.f(-x1)〉f(-x2）B。f（-x1）=f(-x2)C。f(-x1）〈f(—x2）D.f(—x1）与f(-x2)大小不确定答案：A解析：x2〉-x1〉0，f(x)是R上的偶函数,∴f（-x1）=f（x1）.又f(x)在（0，+∞）上是减函数，∴f（-x2）=f（x2）〈f（-x1）。2.(探究题)已知函数y=f（x）与y=g（x）的图象如图(1)和(2）:则y=f（x）·g(x）的大致图象为（）答案：B解析：由图象可知,y=f（x)是偶函数，y=g（x）是奇函数,∴y=f(x)·g(x)是奇函数,故A、C错误.又∵当0<x〈1时,f(x）〉0,g(x）<0，∴f（x)·g(x)<0.故D错误.3。已知函数f（x)在［-5,5］上是偶函数,f（x）在［0,5］上是单调函数，且f（-3）〈f（1)，则下列不等式中一定成立的是（）A。f（-1）<f（-3)B。f(2）〈f（3)C.f（-3)<f(5)D。f(0)>f（1）答案：D解析：∵f（—3）=f(3)。∴f(3）<f(1）。∴函数f（x）在x∈(0，5］上是减函数。4.设f(x)是（—∞，+∞)上的奇函数，f（x+2）=—f（x），当0≤x≤1时，f（x）=x，则f(7.5）等于（)A。0.5B.—0.5C答案：B解析:f(7.5）=f（6+1.5）=—f（1。5）=—f(2—0。5）=f（—0。5)=—f（0。5）=-0.5.5.若奇函数f（x)在(0，+∞）上是增函数,又f（—3）=0，则{x｜x·f(x)〈0｝等于(）A。｛x｜x>3或—3〈x<0}B.{x｜0〈x〈3或x〈—3}C。｛x|x>3或x〈—3}D.{x｜0〈x〈3或-3〈x〈0}答案：D解析：依题意，当x∈（-∞,3)∪(0,3）时,f（x）〈0;当x∈（-3，0)∪(3，+∞)时,f(x）〉0。由x·f(x)<0,知x与f(x)异号.6。（创新题）已知函数f(x)=ax2+bx+3a+b是偶函数，其定义域是［a—1,2a］，则a=____________,b=____________.答案:0解析:由偶函数不含奇次幂项，可得b=0.根据具有奇偶性的函数的定义域关于原点成中心对称,可得1-a=2a.7.已知函数f（x）=,若f（x)为奇函数，则a=____________.答案:解析：方法一:f(x）为奇函数,则有f（-x）=—f(x），即-a.解得2a=1,a=。方法二：定义域为R的奇函数满足f(0）=0,即f(0)==0。∴a=。8。设函数y=f（x)是奇函数。若f（—2)+f(—1）-3=f（1）+f(2)+3,则f（1)+f(2）=____________.答案：-3解析：依题意,得-f（2）-f（1）-3=f(1）+f(2）+3，∴f（1）+f（2)=-3。9.设函数f(x）=（a、b、c∈Z）为奇函数，又f（1）=2，f（2）＜3，且f（x)在[1，+∞）上递增.（1）求a、b、c的值；（2）当x＜0时,讨论f（x）的单调性.解：（1）∵f（x)为奇函数,∴f（—x）=—f(x）。∴。∴=0.∵ax2+1≠0，∴c=0.又∵f（1)=2，f（2)＜3，∴a+1=2b且＜3。将2b=a+1代入上式得-1＜a＜2。∵a∈Z，∴a=0或a=1。而a=0时，b=，与b∈Z矛盾,∴a=1,b=1,c=0。（2)由（1）f（x）=,设x1＜x2＜0，f（x2）-f（x1）=(x2-x1)，当x1＜x2＜—1时，x1x2＞1，x1x2-1＞0.又x2—x1＞0,∴f（x2）＞f（x1），即当x＜-1时，f(x）为增函数。同理，当-1＜x＜0时为减函数.10.已知y=f（x)是定义在（—∞,+∞)上的奇函数,且在[0，+∞）上为增函数.（1）求证：函数在(-∞,0]上也是增函数;(2）如果f（）=1,解不等式-1<f(2x+1）≤0.答案：(1）证明:设x1、x2是(—∞，0］上任意两个不相等的实数，且x1〈x2，则-x1，—x2∈［0，+∞),且-x1〉—x2，Δx=x2-x1〉0.Δy=f（x2)-f(x1).∵f（x）是奇函数，且在[0，+∞）上是增函数，—x1〉-x2，∴f(—x1）>f(-x2）.又∵f（x）为奇函数，∴f（-x1）=-f(x1），f(—x2）=—f(x2）.∴—f（x1）〉—f(x2）,即f（x1)〈f(x2），即Δy=f（x2）-f（