高二数学选择性必修二同步练习与答案解析（提高训练）

高二数学选择性必修二同步练习

《4.1数列的概念》同步练习

（提高练）

选择题（共10小题，满分50分，每小题5分）

3n-2,/?>10

1.若数列｛4｝的通项公式为4=<(neN"则%=（)

r~\n<9

A.27B.21C.15D.13

(、2

a

2.在数列｛4｝中，4=1,n—―(〃22,nsN"),则。4=

n—\

22

A.—B.-C.2D.6

113

3.数列｛4｝的通项公式an=ncosy,其前〃项和为Sn,则S2015=

A.1008B.2015C.-1008D.-504

4.德国数学家科拉茨1937年提出了一个著名的猜想：任给一个正整数如果，是偶数,

就将它减半（即人）：如果t是奇数，则将它乘3加1（即3r+l）,不断重复这样的运算,

2

经过有限步后，一定可以得到1.猜想的数列形式为：旬为正整数，当〃eN*时，

3/+1,（。,-为奇数）

an=\a,、，则数列｛4,｝中必存在值为1的项.若4=1,则%的值为

为偶数）

（）

A.1B.2C.3D.4

5.数学上有很多著名的猜想，角谷猜想就是其中之一，它是指对于任意一个正整数，如果

是奇数，则乘3加1.如果是偶数，则除以2,得到的结果再按照上述规则重复处理，最终

总能够得到1.对任意正整数即，记按照上述规则实施第〃次运算的结果为%（〃£N）,则

使%=1的劭所有可能取值的个数为（）

A.3B.4C.5D.6

6.观察数列ln2,cos3,21,ln5,cos6,27,ln8,cos9,…，则该数列的第20

项等于()

A.230B.20C.In20D.cos20

7,

7.己知数列｛%｝满足：4=1(3-“a_6)n-3,nr<(neTV*),且数列｛《J是递增数列，则实

a,〃>7

数a的取值范围是()

oo

A.(-,3)B.[-,3)C.(1,3)D.(2,3)

44

8.已知数列｛《,｝的通项公式为4=/—/I”(AeR),若｛4｝为单调递增数列，则实数2

的取值范围是()

A.(-oo,3)B.(Y°,2)C.(-co,l)I).(fo,0)

9.己知数列｛4｝的前〃项和S“，且S”一=(〃一1)2,则数列也｝的最小项

为()

A.第3项B.第4项C.第5项D.第6项

10.已知数列｛4｝满足4=Q(0vavl),4讨=。〃+4自，则()

21

A.当Q=一时，。2020<1B.当。=5时，。2020>1

C.当。=§时，。2020<1D.当时，。2020>1

二,填空题(共7小题，单空每小题4分，两空每小题6分，共36分)

11.已知数列｛〃〃｝的前〃项和为S〃，a〃=cos(wr),则§2020=

12.数列｛q｝中，已知〃2=2,。〃+2=%+1+。〃，若。8=34,则数列｛%｝的前6项和为

13.观察下列数表：

1

35

791113

1517192123252729

设1025是该表第m行的第n个数，则加+〃=

14.已知数列｛4｝对任意的p,qeN*满足＜+g=%,+%,且。2=-4,则，=

15.设数歹ij｛4｝的前n项和为S“，满足5〃=(一1)"4(〃GN"),则4=

S?=----------

16.已知在数列｛4｝中，4=11且叫,-1）4+1=1，设—=―*—，neN*，则4=

anan+\

,数列也｝前n项和（=

3a„+L为奇数

17.已知数列｛/｝对任意的nGN*,都有%GN*,月.a.+产,a牝,由必

彳,。“为偶数

①当为=8时，a20l9=

②若存在mdN*,当n＞m且4为奇数时，《，恒为常数P,则P=

三.解答题（共5小题，满分64分，18—20每小题12分，21,22每小题14分）

18.数列｛4｝的通项4+试问该数列｛““｝有没有最大项？若有,

求出最大项；若没有，说明理由.

19.数列｛““｝满足：—H--H-1-----=n~+n,nGN*.

23n+\

（1）求｛%｝的通项公式；

,19

（2）设勿=/，数列｛4｝的前〃项和为S“，求满足S”＞与的最小正整数〃.

20.数列｛4｝满足/。“+|%+2=%+/+1+4+2（%4”产1，〃€"），且6=1,里=2.规

定的｛4｝通项公式只能用Asin®x+0）+c（A彳0,0＞0,|同＜、）的形式表示.

（1）求％的值;

(2)证明3为数列｛4｝的一个周期，并用正整数2表示①；

(3)求｛a,｝的通项公式.

21.数列数“｝中,4=2,(n+l)(a„+i-a„)=2(a„+n+1).

(1)求出，阳的值；

2

(2)己知数歹的通项公式是=〃+1,an=n+1,a“=〃2+〃中的一个，设数列

1T

｛一｝的前〃项和为｛。m一q｝的前葭项和为T,，若黄>360,求”的取值范围.

an

22.已知数列｛q｝满足q=f,an+i=1+—,数列｛4｝可以是无穷数列，也可以是有穷

3511

数列，如取r=i时，可得无穷数列：1,2,二，—，…；取"一一时，可得有穷数列：-一，

2322

-1，0.

(1)若为=0，求f的值；

(2)若1</<2对任意n>2,〃eN*恒成立.求实数t的取值范围；

(3)设数列也｝满足4=-1,%=V—j-(«wN*),求证：t取数列也｝中的任何一个

数，都可以得到一个有穷数列｛%｝.

答案解析

一.选择题(共10小题，满分50分，每小题5分)

,、f3n-2,n>10/

1.若数列｛为｝的通项公式为a”=彳3“-2〃<9(〃eN),则%=()

A.27B.21C.15D.13

【答案】A

【解析】

3n-2,n>10

所以为=3"2=33=27,

3"-2,n<9

故选：A.

r、2

2.在数列｛%｝中，4=1,=-------(H>2,neN*),则。4=

〃-1-1

22

A.—B.—C.2D.6

113

【答案】D

【解析】

22c22

a

n=^-----rCn>2,〃wN*),•••a2=-----=2,a3=------=

2«〃_]-12at-12%-13

3.数列｛4｝的通项公式a“="cos万，其前〃项和为S“，则$20”=

A.1008B.2015C.-1008D.-504

【答案】C

【解析】

根据三角函数的周期性可

麴、助？

帆==僦％=寓礴*施=一游福=3?蹦镇一1二吼嘴=

既‘

二4，同理得哪=%%=-就叫？=卿：,4=配，可知周期为4,

二,蚪相梯=敛喷粒鹏开吗#嗨》珏叫^^带

器啊.界:嗯足粉=工颜幅-额窜8=一凿蹶幅.

4.德国数学家科拉茨1937年提出了一个著名的猜想：任给一个正整数乙如果，是偶数，

就将它减半（即,）；如果f是奇数，则将它乘3加1（即3/+1）,不断重复这样的运算，

2

经过有限步后，一定可以得到1.猜想的数列形式为：劭为正整数，当“eN*时，

34I+L（4T为奇数）

a,,^\a.,、，则数列｛4,｝中必存在值为1的项.若4=1,则生的值为

寸,（如为偶数）

、乙

()

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解析】

3%+1,（%为奇数）

因为4=1,

争,（―为偶数）

I2

所以％=3xl+l=4,

4c

%=—=2,

2

2।

“3=5=1，

4=3x14-1=4,

4,

“5=5=2,

故选：B

5.数学上有很多著名的猜想，角谷猜想就是其中之一，它是指对于任意一个正整数，如果

是奇数，则乘3加1.如果是偶数，则除以2,得到的结果再按照上述规则重复处理，最终

总能够得到L对任意正整数即，记按照上述规则实施第〃次运算的结果为?（〃£N）,则

使%=1的％所有可能取值的个数为（）

A.3B.4C.5D.6

【答案】D

【解析】

3a“_1为奇数

由题意知GN"，号,为偶数

由%=1,得％=2,二.%=4,「・%=1或。4=8.

①当4=1时，%=2,二・%=4,，q=1或q=8,二.%=2或旬=16.

②若&=8,则%=16,「.%=5或%=32,

当4=5时，10,此时，g=3或4=20,

当％=32时，%=64,此时，%=21或4=128,

综上，满足条件的4的值共有6个.

故选：D.

6.观察数列2’，ln2，cos3,24,ln5,cos6,27,ln8,cos9,…，则该数列的第20

项等于()

A.230B.20C.In20D.cos20

【答案】C

【解析】

观察数列得出规律，数列中的项中，

指数、真数、弧度数是按正整数顺序排列，

且指数、对数、余弦值以3为循环，

•.•20=6?32,

可得第20项为In20.

故选：C.

(3-a)n-3,«<7

7.已知数列｛4｝满足：aH=\"6”(nwN*),且数列｛4｝是递增数列，则实

(a,n>7

数a的取值范围是()

99

A.(-,3)B.[-,3)C.(1,3)D.(2,3)

44

【答案】D

【解析】

(3~a)n-3,x<7

根据题意，a„=f(n)=f/,,nSN*,要使｛a.｝是递增数列，必有

a"6,〃>7

3-。>0a<3

<a>\,据此有：\a>\,综上可得2〈水3.

(3-a)x7-3<a"6[.>2或4<-9

本题选择D选项.

8.已知数列｛%｝的通项公式为4=/—力？(4eR),若｛4｝为单调递增数列，则实数％

的取值范围是()

A.(—8,3)B.(—co,2)C.(—8,1)D.(-8,0)

【答案】A

【解析】

-—

由已知得a“+1—cin=(〃+1)-+1)n~+An=In+1—A,

因为｛6,｝为递增数列，所以有。川一4>0，即2〃+1—4>0恒成立，

所以」<2凡+1,所以只需；l<(2〃+l)min，即几<2xl+l=3,

所以;1<3,

故选：A.

2"'

9.已知数列｛q｝的前〃项和S“，且S”一。”=(〃一1)2,b.二不,则数列｛〃｝的最小项

为()

A.第3项B.第4项C.第5项D.第6项

【答案】A

【解析】

S„-an=S,i,则Si=5-1尸，即S“=IseN*),

22

/.an=77-(H-1)=2n-l.

易知”>0,

..2+1_2?/①I4

4

hn(n+1)n+1

当屈>1时，〃〉夜+1，

n+1

...当1W/<3时，b„>b„+l,

当〃23时，a<〃用,

32

又&=2也8?

当〃=3时，么有最小值.

故选：A

2

10.已知数列｛4｝满足q=a（o<a<l）,4，用=%+养§，〃eN*，则（)

21

A.当〃二§时，。2020<1B.当。=5时，％020>1

C.当。=g时，。2020<1D.当Q=；时，％020>1

【答案】c

【解析】

2

因为。，用―。“=养3>0,所以｛可｝递增，从而4Na，

当a=|时，a-a„

n+i-~—>

2019

2019

4

924

所以。2。2。>4+2019

293-9-

01

当0<awg时，因为2019a,+1=2019%+a；=%(2019+4),

…111(111

所以--------=--------------=--------------------

2019a,川a“(2019+a“)2019(a“2019+«J

11

所以---

4+ian2019+。〃

1111

所"--------=----------->-------

«n+1%2019+%20191

从而土》（-2019•短=»22-1=1,故有限<1.

故选：C.

二.填空题（共7小题，单空每小题4分，两空每小题6分，共36分）

11.己知数列的｝的前"项和为S"，a“=cos(/vr),则S20207

【答案】0

【解析】

由an=cos(〃万)得a“+2=cos(〃4+2万)=cos(〃%)=an,

所以数列｛4｝以2为周期，

又①=cos乃=-1,a2-cos2万=1,

所以S2020=1010x(q+%)=0.

故答案为：0.

12.数列｛4｝中，已知外=2,4+2=。用+4,若%=34,则数列｛4｝的前6项和为

【答案】32

【解析】

:数列｛%｝中,电=2,an+2=an+i+an,%=34,

%=%+q=2+q,4=%+%=2+q+2=4+q,

。5=%+。3=6+2%,4=%+。4=10+3。1,

%=%+。5=16+5。］,%=%+4=26+8“-34,

解得q=1,

・・・数列｛2｝的前6项和为：

§6=q+2+(2+4)+(4+q)+(6+2aJ+(10+3aJ=24+84=32,

故答案为：32.

13.观察下列数表：

1

35

791113

1517192123252729

设1025是该表第m行的第n个数，则m+〃=______.

【答案】12

【解析】

根据上面数表的数的排列规律，1、3、5、7、9、…都是连续奇数,

第一行1个数；

第二行2=2个数，且第一个数是3=2z-1.

第三行4=22个数，且第一个数是7=23-1;

第四行8=23个数，且第一个数是15=2,一1；

第10行有29个数，且第一个数是-1=1023,第二个数是1025,

所以1025是该表第10行的第2个数，所以加=10,n=2,则m+n=

故答案为：12.

14.已知数列｛《,｝对任意的p,qeN*满足a°+g=%+%,且%=-4,则4=—

【答案】一12-In

【解析】

由题意，根据条件得出=4+4=T,则％=-2,而/=%+%=-6,所以

%=%+。3=-12,…，由此可知。“=一2",从而问题可得解.

15.设数列｛4｝的前n项和为Sn，满足S,=(-1)%“一，)(nGN*),

$3=・

［答案］；

416

【解析】

当〃=1时，4=一4一3，解得q=-；.

(2)当〃22时

=(—DZ,一£一(一1尸—+击,

a”=S“_S“_\

11

令〃=3可得,——a+—,即2%=—,

8748

令〃=4可得,

10O

11

解得：%=一—,a?=—

16-4

…1111

则$=4+。2+。3=_7+1_而=―记

,1

16.已知在数列｛q｝中，4=11且〃4一（〃一1）%+1=1，设"=，〃wN*,则a„=

。网7

,数列｛"｝前n项和7；=

H

【答案】22—

【解析】

111

n-\nn(n-l)n-1n

也」=人」(〃22)

nnn—l〃一1

«„1=/g=2(〃N2)

为常数列,

n-\n-\n—\n—\

：.an=2/7-l(n>2),〃=1,%=1适合上式.

an=2n-l,UGN*,

111

b,」==1

anan+l(2〃-1)(2〃+1)212〃-12〃+1

11111n

1—

23J2135J212〃-l2n+\22〃+1J2〃+l

故答案为：2〃-1；——-

2/7+1

3a“+1,%为奇数

17.已知数列｛/｝对任意的nCN*,都有a“GN*,且凡+]'与，见为偶数

①当为二8时，％019=

②若存在meN*,当n>m且凡为奇数时，。“恒为常数P,则P=

【答案】21

【解析】

3an+1,为奇数

aM,1c，,则q=8,%=4,4=2,%=1,%=4,4=2,…

-y,a”为偶数

故从第二项开始形成周期为3的数列，故生,“9=2

当凡为奇数时，4用=34+1为偶数，故。,+2=等=的产

什「大%r1lI3a“+1生।7、在口

右4+2为奇数，则a„=——，故an=-1,不酒足；

若可+2为偶数，则可+3=等='导，直到为奇数，即见=之导MeN"

故为=—」cN",当A=2时满足条件，此时4=1,即〃=1

故答案为：①2；②1

三.解答题（共5小题，满分64分，18—20每小题12分，21,22每小题14分）

18.数列｛勺｝的通项+试问该数列｛4｝有没有最大项？若有,

求出最大项；若没有，说明理由.

【答案】最大项为%=%0=》

【解析】

a„>a,,..

设。“是该数列的最大项，则、"

UN4T

解得9W〃W10

•/nwN：

：.〃=9或〃=1(),

♦•最大项为%==■']F

点睛：求数列最大项或最小项的方法

(1)可以利用不等式组彳"一["522)找到数列的最大项；利用不等式

[4,>an+i

"0，，''"""(n>2)找到数列的最小项.

(2)从函数的角度认识数列，注意数列的函数特征，利用函数的方法研究数列的最大项或

最小项.

19.数列｛〃〃｝满足：---卜；]="+*九eN1

(1)求｛〃”｝的通项公式；

,1_9

⑵设壮力数歹四｝的前〃项和为S"'求满足s”>历的最小正整数工

【答案】(1)。“=2〃5+1)；(2)10.

【解析】

(1)•.•幺+竺+…+卫=/+〃.

23n+1

n=l时，可得5=4,

n22时，—+—H---1--^^-=AZ—I24-n—1.

23n

与幺+&+…+卫=〃2+〃.

23n+\

两式相减可得」公=(2n-1)+l=2n,

n+\

a”=2〃(〃+l).n=i时，也满足，；.

,11

(2)=—=—~N=-----------

a„2〃(〃+l)2(〃n+\)

”,1119

.*.S„=-1----1-------F...H---------=—1--------,又S“>—，可得n〉9,

21223nn+l)2(n+1)”20

可得最小正整数n为10.

20.数列何｝满足anan+ian+2=an+an+i+«„+2(+产1,〃wN"),且q=1,&=2.规

定的｛。〃｝通项公式只能用Asin(a)x+/)+cAh0,6y>0,例<]的形式表示.

(1)求的的值；

(2)证明3为数列｛%｝的一个周期，并用正整数女表示刃；

(3)求｛%｝的通项公式.

【答案】(1)%=3(2)证明见解析；勿=等心€?4*).(3)4=-苧sin(1〃—()+2

【解析】

(1)当ai=l,&=2,41&@3=41+@2+&3，解得@3=3；

(2)当n=2时，6a.i=2+3+a.i,解得出=1,

当n=3时,3a5=l+3+a5,解得a5=2,

可得an+3=an,当ai=l,a-2=2,33=3；

故3为数列｛a｝的一个周期，

则支=3,k£N*,则啰=也仅£?4*)；

33v7

2zr

(3)由(2)可得an=Asin(----n+6)+c,

3

2冗冗

则l=Asin(----+6)+c,2=-Asin(—+6)+c,3=Asin4)+c,

33

]

即1=A・-----cos6-A・一sind)+c,①

22

]

2=-A*——cos小-A・-sin4>+c,②

22

由①+②，可得3=-Asin4>+2c,

.\c=2,Asin=1,

①-②，可得-1=A・7JCOS6,

则tan4)=->/3,

・・•I6Vg,

2

工6=一-,

3

2月.(17171

=-----sm—n+2.

3

21.数列｛%｝中，4=2,(n+1)(a„+1-«„)=2(a„+n+l).

(1)求。2，43的值;

2

(2)已知数列｛%｝的通项公式是=〃+1,an=n+\,〃“=/+〃中的一个，设数列

1T/

｛-｝的前〃项和为S“，｛。向一%｝的前〃项和为7；,若,>360,求〃的取值范围.

%S.

t答案】(1)。2=6,«3=12(2)n>m且”是正整数

【解析】

⑴•••(〃+1)(%-%)=2(4+〃+1),

〃+3.

•%=一7凡+2

1+3

=4+2=6

21+1

2+3

4+2=12

2+1

2

(2)由数列｛4｝的通项公式是=〃+1,an=n+\,%="+〃中的一个，和心=6得

数列MJ的通项公式是为=〃2+〃=〃(〃+1)

1_1_1

由4=〃(〃+1)可得丁

+n〃+1

11111

++…+=1———

|1n〃+1n+1

1

〃+1

•••(%一弓)+(%-%)+•••+(“用一)=4向一4,%=〃(〃+1)

/.(%-q)+(%一%)+…+(%+1_。")="2+3〃

同J[=/r+3n

由方>360,得“2+4〃一357>0,解得〃>17或〃<-21

是正整数，

，所求”的取值范围为〃>17,且〃是正整数

22.已知数列｛。“｝满足/=，，4+1=1+',数列｛勺｝可以是无穷数列，也可以是有穷数

3511

列，如取U1时，可得无穷数列：1,2,取，=-7时，可得有穷数列：一大，

2322

-1，0.

(1)若4=。，求/的值；

(2)若1<%<2对任意”22,恒成立.求实数/的取值范围；

⑶设数列也｝满足〃=T,求证：/取数列也｝中的任何一个

数，都可以得到一个有穷数列｛%｝.

3

【答案】(1)/=-|;(2)r>l；(3)证明见解析.

【解析】

,I1

(1)由4用=1+—得4=-----

1

%«„+i-

,,,1213

.1[11%=-----=—t=a,=------=—

..…西=T'%=F=-5'--93，5;

1131

(2)若1<2(〃N2,〃wN")，则彳<一<1,T-<an+l=1+一<2,

''2a"2an

即1<。用<2,故只要iv4<2即可，

因为4=,,所以％=11,解得，>1；

,1,,1

(3)由%+i=；~；得匕=1+：—,

设4=/=瓦，(kwN"),则％=1+，=4.1

故｛q｝有&+1项，为有穷数列.

即/取数列｛4｝中的任何一个数，都可以得到一个有穷数列｛%｝.

《4.2等差数列》同步练习

（提高练）

一.选择题（共10小题，满分50分，每小题5分）

1.在等差数列｛4｝中，首项4=0,公差S“是其前〃项和，若应=$6,则么=（）

A.15B.16C.17D.18

2.已知递减的等差数列｛%｝满足d=*,则数列｛%｝的前n项和取最大值时n=（）

A.4或5B.5或6C.4D.5

3.己知数列｛4｝中，4=2，%=1,若，=丁为等差数列，则q9=（）

12

A.0B.—C.-D.2

23

4.已知数列｛q｝是公差不为零的等差数列，前〃项和为S“，则"S”>0,〃eN*”是“数

列｛q｝是递增数列”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

5.已知数列｛%｝满足az=%［且q=4,设｛%｝的n项和为S„,则使得S“取得最大

值的序号n的值为（）

A.5B.6C.5或6D.6或7

6.已知｛叫是公差为2的等差数列，5“为｛4,｝的前门项和，若53=4+%，则融=（）

A.10B.12C.15D.16

7.在等差数列｛风｝中，。2+4=1°，4+3=14,则为+4=（)

A.12B.22C.24D.34

8.中国古代词中，有一道“八子分绵”的数学名题：“九百九十六斤绵，赠分八子做盘缠,

次第每人多十七，要将第八数来言”.题意是：把996斤绵分给8个儿子作盘缠，按照年龄

从大到小的顺序依次分绵，年龄小的比年龄大的多17斤绵,那么第8个儿子分到的绵是（）

A.174斤B.184斤C.191斤D.201斤

9.设等差数列｛。“｝的前〃项和为S“，若兀>0,几<0,则S“取最大值时”的值为（）

A.6B.7C.8D.13

r、/、S”〃+54

10.已知等差数列｛/｝,｛2｝的前〃项和分别为s“和7；,且■=歹工，则U=（）

612八1816

A.-B.—C.—D.—

7112521

二.填空题（共7小题，单空每小题4分，两空每小题6分，共36分）

11.已知数列｛4｝是公差d>0的等差数列，｛%｝的前〃项和为S,,4=39,S6=48,

贝IS|o=-

12.设数列｛4｝为等差数列，其前〃项和为S“，已知q+4+%=99,%+%+4=93,

若对任意〃eN*都有S,,<Sk成立，则k的值为.

13.已知等差数列｛4｝的前n项和为S“，若1W/W3,3Wq+S3W6,则，■的取值范围

是.

14.数列｛4,｝的前〃项和为S.,定义｛可｝的“优值”为叫=%+2。2+•••+2”%,现

n

已知｛可｝的“优值"H,,=2"，则为=,Sn=.

15.已知数列｛4｝的前〃项的和为S“=〃2+〃+i,仇—则数列

｛q,｝的通项公式为一二数列｛2｝的前5（）项和为一.

V11

16.己知数列｛%｝的前〃项和为S“，数列｛」t｝是首项为：，公差为二的等差数列，则｛4｝

n24

的通项公式为；若[x]表示不超过x的最大整数，如[0.5]=0,[1g499]=2,则

数列｛Uga,1｝的前2(X)0项的和为.

17.等差数列｛%｝中4+%+44=40+24,且%=3q,则4=.；若集合

｛”eN*|2"/i<q+a2+...+a“｝中有2个元素，则实数;I的取值范围是.

三.解答题(共5小题，满分64分，18—20每小题12分，21,22每小题14分)

18.在项数为2〃的等差数列中，各奇数项之和为75,各偶数项之和为90,末项与首项之差

为27,求n.

19.等差数列｛%｝中，4=2且嬉=2%，求数列｛4｝的前10项的和小.

20.数列｛%｝是等差数列，4=/(x+l),4=0,0,=〃彳-1),其中/(力=%2-以+2,

求通项公式以及前〃项和s..

21.已知公差小于零的等差数列｛aj的前n项和为S“，月.满足a3a尸117,a2+a5=22.

(1)求数列｛a,,｝的通项公式；

(2)求S0的最大值.

22.在数列｛q｝中，％=1,a；-

(1)证明，数列是等差数列.

(2)设勿…+G〃+i，是否存在正整数攵，使得对任意〃WN*，b“<2k恒

成立？若存在，求出左的最小值；若不存在，说明理由.

答案解析

一.选择题(共10小题，满分50分，每小题5分)

1.在等差数列｛4｝中，首项4=0,公差d#O,5“是其前〃项和，若4=$6,则%=()

A.15B.16C.17D.18

【答案】B

【解析】

6x5

由。£=$6得4+(Z—l)d=6q+.-2—d,

将q=0代入得（比-1）4=15",

因为d#0,所以Z—1=15,得k=16.

故选:B

2.已知递减的等差数列｛q｝满足a：=a；,则数列｛q,｝的前n项和取最大值时n=()

A.4或5B.5或6C.4D.5

【答案】A

【解析】

设递减的等差数列｛%｝的公差为"(△<()),

因为.；=而，所以a：=(q+8d)2,化简得q=-44,

“一c=n(n-l),“，d2dd29d

所以S,net,H------d=-4-dnH—nn=—n------n,

"122222

9

对称轴为〃=-,

2

因为“eN+，—<0,

2

所以当〃=4或“=5时，S”取最大值,

故选：A

%=2,%=1，若---二，为等差数列，则。［9=

3.己知数列｛4｝中,）

12

A.0B.—C.-D.2

23

【答案】A

【解析】

1111

因为，%=2,故

。3+13%+12

所以—L.=_L+”L16=，+2=I，故/"

Q[g+1/+1433

故选：A.

4.已知数列｛q｝是公差不为零的等差数列，前〃项和为S“，则"S”>0,〃eN*”是“数

列｛4｝是递增数列”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

VSn=nat+—^~-耳>0恒成立，d>0,二｛4｝递增；

反之，可取则｛4｝递增，但5<0,

所以“S,,>0,〃eN*”是“数列｛q｝是递增数列”的充分不必要条件.

故选：A.

5.已知数列｛4｝满足%+1=。“一［且4=4,设｛%｝的n项和为S,,,则使得S,,取得最大

值的序号n的值为（）

A.5B.6C.5或6D.6或7

【答案】C

【解析】

由已知得，«„+|故｛4｝是公差为一不得等差数列，

4424

又4=4,所以%=4_q〃_1)—n-\---

令420,故〃=5或6时，S“取得最大值.

故选:C

6.已知｛凡｝是公差为2的等差数列，S,为｛凡｝的前n项和，若$3=4+%，则％=（）

A.10B.12C.15D.16

【答案】D

【解析】

由题意得：S3=3q+3",且q+4=24+43,

/.34+3d=2q+4d,

将d=2代入得：%=d=2,

所以q=4+7d=16.

故选：D.

7.在等差数列｛《,｝中，a2+a5=10,%+&=14,则为+4=（）

A.12B.22C.24D.34

【答案】B

【解析】

设数列｛%｝的公差为a,

则（生+%）=比辿

22

故为+为=。5+4+6d=10+6x2=22.

故选：B

8.中国古代词中，有一道“八子分绵”的数学名题：“九百九十六斤绵，赠分八子做盘缠，

次第每人多十七，要将第八数来言”.题意是：把996斤绵分给8个儿子作盘缠，按照年龄

从大到小的顺序依次分绵，年龄小的比年龄大的多17斤绵,那么第8个儿子分到的绵是（）

A.174斤B.184斤C.191斤D.201斤

【答案】B

【解析】

用4,4,…表示8个儿按照年龄从大到小得到的绵数，

由题意得数列4,4,…，4是公差为17的等差数列，且这8项的和为996,

3x7

/.8a,+-^-xl7=996,

解得q=65.

.•.4=65+7x17=184.选B.

9.设等差数列｛4｝的前〃项和为S“，若耳3>0,&4<0,则S〃取最大值时〃的值为（）

A.6B.7C.8D.13

【答案】B

【解析】

根据S[3>0,