高中数学必修 选修全部知识点归纳总结

高中数学必修+选修

知识点归纳

新课标人教A版选修3-5：欧拉

公式与闭曲面分类。弓|言选修3—6：三等分

角与数域扩充。系列4：由10个专题组成。

选修4—1：几何证明选讲。1.课程内容：选

修4—2：矩阵与变换。个模块组成：由5必修

课程选修4-3：数列与差分。：集合、函数概

念与基本初等函数（指、必修1选修4—4：坐

标系与参数方程。对、基函数）选修4-5：不

等式选讲。：立体几何初步、平面解析几何初步。

必修2选修4—6：初等数论初步。：算法初步、

统计、概率。必修3选修4—7：优选法与试验

设计初步。（三角函数）、平面向量、必修4：基本

初等函数：统筹法与图论初步。一8选修4三角

恒等变换。：风险与决策。一9选修4：解三角

形、数列、不等式。必修5：开关电路与布尔代

数。一10选修4以上是每一个高中学生所必须学习

的。上述内容覆盖了高中阶段传统的数学基础知

识和基本技能的主要部分，其中包括集合、函数、

数列、不等式、解三角形、立体几何初步、

高中数学解题基本方法平面解析几何初步等。不同的是在

保证打好基础

配方法-、进一步强调了这些知识的发生、发展的

同时，

换元法二过程和实际应用，而不在技巧与难度上做

过高的

待定系数法三、要求。定义法四、止匕外，基础内容还增

加了向量、算法、概

数学归纳法五、率、统计等内容。

参数法六、反证法七、个系列：4有选修课程消去

法八、个模块组成。：由21系歹分析与综合法九、：

常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、1—1选修特殊

与一般法十、导数及其应用。类比与归纳法十一、：统计

案例、推理与证明、数系的扩选修一12观察与实验

法十二：由充与复数、框图系列2

高中数学常用的数学思想个模块组成。3数形结合思想一、：

常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、2—选修1类讨

论思想二、空间向量与立体几何。函数与方程思想三、：

导数及其应用，推理与证明、数系选修2—2转化

（化归）思想四的扩充与复数：计数原理、随机变量

及其分布列，2一选修3统计案例。

个专题组成。6系列：由3：数学史选讲。3

一选修1：信息安全与密码。3一选修2

:球面上的几何。3一选修3：对称与群。选修3

——4

2.重难点及考点:

重点：函数，数列，三角函数，平面向量，圆锥

曲线，立体几何，导数难点：函数、圆锥曲线高

考相关考点：⑴集合与简易逻辑：集合的概念与

运算、简易逻辑、充要条件⑵函数：映射与函

数、函数解析式与定义域、值域与最值、反函数、

三大性质、函数图象、指数与指数函数、对数与

对数函数、函数的应用⑶数列：数列的有关概念、

等差数列、等比数歹h数列求和、数列的应用⑷

三角函数：有关概念、同角关系与诱导公式、和、

差、倍、半公式、求值、化简、证明、三角函数

的图象与性质、三角函数的应用⑸平面向量：有

关概念与初等运算、坐标运算、数量积及其应用

⑹不等式：概念与性质、均值不等式、不等式的

证明、不等式的解法、绝对值不等式、不等式的

应用⑺直线和圆的方程：直线的方程、两直线的

位置关系、线性规划、圆、直线与圆的位置关系

⑻圆锥曲线方程：椭圆、双曲线、抛物线、直线

与圆锥曲线的位置关系、

轨迹问题、圆锥曲线的应用⑼直线、平面、简单

几何体：空间直线、直线与平面、平面与平面、

棱柱、棱锥、球、空间向量(10)排列、组合和概率：

排列、组合应用题、二项式定理及其应用

(11)概率与统计：概率、分布列、期望、方差、抽

样、正态分布⑫导数：导数的概念、求导、导数

的应用⑬复数：复数的概念与运算

・2-

f(x)f(x)Of(x)4[a,b]上是增函数；21数学

知识点必修1

f(x)f(x)0f(X)在[a,b].上是减函数21第一章:

集合与函数概念步骤：取值一作差一变形一定号一判断

§1.1.1、集合，xxa,bxx设解且：，则：

格式：21121、把研究的对象统称为元素，把一些元素组

成的总体fXfX=?21确定性、互异性、无序。集合三要

素：叫做集合yf(x)在某个区间内可导，设函数(2)导数

法：。性f(x)0f(x)为增函数；，则若

f(x)

0f(x)则若为减函数只要构成两个集合的元素是一样的,

就称这两个2、。集合相等§1.3.2、奇偶性*NfXN

常见集合：正整数集合：3、的定义域内任意一个一般地，如

果对于函数1、：或，整数集合

ZQR实数集合，有理数集合：xfxfxf

X,那么就称函数为，都有.列举法、描述法4、集合的表

示方法：

y偶函数图象关于偶函数..轴对称、集合间的基本关系1.1.2

§

A、B,如果集合A中任1、一般地，对于两个集合fX

的定义域内任意一个、一般地，如果对于函数2意一个元素都

是集合A是B中的元素，则称集合

AB集合B的子集。记作.xfxfxfx为，都

有，那么就称函数AxBxBA,，且，但存在元

素2、如果集合则称集合A是集合B的真子集.记作：

AB.奇函数.奇函数图象关于原点对称.

空集•记作：.3、把不含任何元素的集合叫做并规定：知识链

接：函数与导数

•空集合是任何集合的子集

f(x)xy处的导数的几何意义：在点、函数1o

n2个子A有个元素，则集合中含有n、如果集合A4f(X)

xyf(x)y处的导数是曲线在点在函数o

P(x,f(X))f(x)n,相应的切线方处的切线的斜率21

000集，.个真子集

yy)f(x)(xx程是.ooo§1.1.3、集合间的基本运

算

2、几种常见函数的导数的元素组成A一般地，由所有属于集合

或集合B1、

AB.A与B的并集.记作：的集合，称为集合hn1

0)(xnx

C；①；②且属于集合A一般地，由属于集合B的所有

元素2、

AB..记作：A与B的交集"组成的集合，称为(sinx)cos

x(cosx)sinx④；③;

ACU,且xU}{X|X3、全集、补集?U'xx'xx

a)(⑤)eaIna(e；；@

§1.2.1、函数的概念”是非空的数集，如果按照某种确定的对

应、B、1设A(Inx)(logx)11；⑧⑦axxInax

f中的任意一个数，使对于集合关系A,在集3、导数的

运算法则f:

fx那么就称和它对应，B中都有惟一确定的数合《II

V))(1uv.AB为集合函数A到集合B,记的一个

"Vuvu(uv)fx,xy)(2A作：.U

E一个函数的构成要素为：2、定义域、对应关系、值UV

UV()(V0))(3.2VV并且对应关系完全域.如果

两个函数的定义域相同，

4、复合函数求导法则这两个函数相等.一致，则称yf

(g(X))复合函数的导数和函数§1.2.2、函数的表示法

yuyg(x)yf(u),u,的导数间的关系为.§函

数的三种表示方法：1、解析法、图象法、列表法XXU

yxyuux的导数的的导数等于对对即对的导数

与、单调性与最大(小)值1.3.1乘积.、注意函数单调性的

证明方法：1x、x[a,b],xx设定义法：(1)那么1122

-3-

解题步骤：分层一层层求导一作积还原§2.1.2、指数函数及其

性质.

5、函数的极值xO,aay

a1、记住图象：1

(1)极值定义：y,f(X)极值是在附近所有的点，都有＜f(X)

xx00y=a

f(x)的极大值；则f(x)是函数0

0＜av1a＞1,极值是在＞f(x)f(x)附近所有的点，都有x001

则f(x)是函数f(x)的极小值.0x判别方法：(2)o”，

那00,右侧＜附近的左侧①如果在＞(x)xff(x)02＞

性质：

是极大值；f(X)么oa10a1"附近的左侧②如果在，＜0,

右侧0＞xff(x)(x)0图

.)是极小值那么f(x0象、求函数的最值6(a,

b)yf(x)求⑴内的极值(极大或者极小值)在-1R

定义域：⑴性f(a),f(b)yf(x)比较,其中⑵将的各

极值点与8)+)值域：(0,(2质y=1时，)，即x=03)过定点

(0.1(最大的一个为最大值，最小的一个为极小值。

上是减函数R4)在4)在R上是增函数((1

；；注：极值是在局部对函数值进行比较(局部性质)0.00.

叫…XO)(整体性质最值是在整体区间上对函数值进行比

较xx10,a0,Oalxx

、对数与对数运算2.2.1§第二章：基本初等函数(I)

X、指数与指数基的运算2.1.1§Nloga

XN；、指数与对数互化式：1a

nnxaxa次方根。叫做一般地，如果1、的，那么

NIogaaN、对数恒等式：2.

N1,nn

淇中a10logIog1,3、基本性质：.aann

ana为奇数时，当、2；0a0,aO,N1,M时：4、

运算性质：当

nnana

.为偶数时，当NloglogMlogMN；⑴aaa

我们规定：、3MnNlogloglogM；(2)aaanm

a⑴amN

*1N,m0,m,na；nlogMMnlog(3).aa

1nan0a；⑵nblogcblog、换底公式：5a

运算性质：4、alogc

rssrO.1,bao,al,co,ca0,r,sQaaa

；(1)ITImblogblog6、重要公式：ansrrs

aaa0,r,sQa(2)n；

rrrabaab0,b0,rQ⑶.

-4-

LI

2、零点存在性定理：1log7、倒数关系：a0,a1,b0,

b1.ba

logaya,bfx在区间如果函数上的图象是连续不断

b

§2.22、对数函数及其性质Ofafb,那么函数的一

条曲线，并且有

logxayO,a1、记住图象：1a

xa,bca,byfy,在区间内有零点，即存在

y=logxa

CfXOfOc也就是方程，这个使得的根.0<a<1

xo3.1.2.用二分法求方程的近似解§1

.1、掌握二分法a>1

、几类不同增长的函数模型3212、性质：§

、函数模型的应用举例§3.2.2a1a10、解

决问题的常规方法：先画散点图，再用适当的函12.5.数拟

合，最后检验1.51.5图”0.50.50-1-1101.0.5.0-1-1-1-1.5-2

-2-2.5-2.5

8)+0(1)定义域：(，

R)值域：(2性

y=0),即x=1时，3()过定点(1,0质

8)上是减函数，+(0,+8)上是增函数(4)在(0(4)在

x1,log1,logX00XX；(5)；(5)aa

xx1,logx1,log0x000aa

、幕函数§2.3

、几种基函数的图象：1

第三章：函数的应用

、方程的根与函数的零点§3.1.1

fxO、方程1有实根

fxy

的函数x轴有交点图象与

y

fX.有零点函数

-5-

3、公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它数

学知识点2必修们有且只有一条过该点的公共直线。

第一章：空间几何体4、公理4：平行于同一条直线的两条直线

平行.

5、定理：、空间几何体的结构1空间中如果两个角的两边分别对

应平行，那么这⑴两个角相等或互补。常见的多面体有：棱柱、

棱锥、棱台；常见的旋转体有：

圆柱、圆锥、圆台、球。6、线线位置关系：平行、相交、异面。

7、线面位置关系：直线在平面内、直线和平面平行、直⑵棱柱:

有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形

的公共边都互相平行，由这些面所围线和平面相交。

成的多面体叫做棱柱。8、面面位置关系：平行、相交。

9、线面平行：⑶棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,

底面与截面之间的部分，这样的多面体叫做棱台。⑴判定：平面

外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行

（简称线线平行，则线面平行）。、空间几何体的三视图和直观图2

把光由一点向外散射形成的投影叫中心投影，中心投影⑵性质：一

条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一

平面与此平面的交线与该直线平行（简称线面平行，则的投影线交于

一点；把在一束平行光线照射下的投影叫线线平行）。平行投影，平

行投影的投影线是平行的。

10、面面平行：3、空间几何体的表面积与体积⑴判定：

个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行（简

称线面平行，则面面平行）。⑵性质：如果两个平行平面同时

和第三个平面相交，那么它们的交线平行（简称面面平行，则线

线平行）。11、线面垂直：12Sr⑴圆柱侧面积；侧面⑴定

义：如果一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线，那么就说

这条直线和这个平面垂直。⑵判定：一条直线与一个平面内的两

条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直（简称线线垂直，则

线面垂直）。⑶性质：垂直于同一个平面的两条直线平行。

12、面面垂直：rIS⑵圆锥侧面积：侧面⑴定义：两个平

面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互

相垂直。⑵判定：一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两

个平面垂直（简称线面垂直，则面面垂直）。（3）性质：两

个平面互相垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个

平面。（简称面面垂直，则线面垂直）。S

侧

第三章：直线与方程

RHr面⑶圆台侧面积：y

y⑷体积公式：2tank1、倾斜角与斜率：XV

Shx；xVSh；柱体2i锥体312、直线方程：S

hSSSV上台体下下上y

ykxx⑴点斜式：3oo

⑸球的表面积和体积：

y

kxb⑵斜截式：23V4R,SR4.球球

3y

第二章：点、直线、平面之间的位置关系yyy⑶

两点式：112：,公理11如果一条直线上两点在一个平面内，那么

这条XXXX211直线在此平面内。

:、公理22过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。

-6-

yx第四章：圆与方程1⑷截距式:

1、圆的方程：ba

CByAx

0⑸一般式:222r

yb

a

x(i)标准方程：

、对于直线：3(a,b)r.圆心为，半径为其中

X,I:丫2：丫10(1313有：212112220.X

y

FDxEy一般方程：(2)

kkE21I//1(1)；)rD,22,半径为124F(E1D.圆

心为其中bb21222

2、直线与圆的位置关系kIIk；⑵相交和2112222r

a)

(yb)

(xAxOByC与圆直线kk；II的位置关系有三

种：重合⑶和22“bbdr相离0；21

相切0rd；Ikkl1(4).1212

相交0rd.

、对于直线：422I弦长公式：d

2yC:AlxBO,1111有：224x)

1kx(x:AlxByCxO22122221

BBAAd001221、两圆位置关系：321//1

(i)；21CBCB1122drR；⑴外离：

drR；⑵外切：IAIABB；⑵和相交112122

RRrdr；⑶相交：

BAdrR；⑷内切：

BAII；重合和⑶12dRr2121⑸内含：.

CCBB11223、空间中两点间距离公式：

222IBBAAI0(4),121212PPxxyyzz11222121

、两点间距离公式：5

22yxxPPv221211、点到直线距离公式：6

CByAxood22BA

、两平行线间的距离公式：7

CAxCByAxByIIO0：：与平行，2112

CC21d则22AB

-7-

⑶循环结构示意图：数学知识点必修3①当型

（WHILE型）循环结构示意图：

第一章：算法、算法三种语言：1自然语言、流程图、程

序语言；循环体、流程图中的图框：2

起止框、输入输出框、处理框、判断框、流程线等满足条件？

是规范表示方法；否、算法的三种基本结构：3当型循环

结构顺序结构、条件结构、循环结构（图4）直到型循环结构

UNTIL（直到型②型）循环结构示意图：⑴顺序结构示意图：

n语句

循环体否n+1语句

满足条件？是）1（图

）（图5⑵条件结构示意图：一①IFTHENELSE格

式：、基本算法语句：4；变量①输入语句的一般格式：INPUT

“提示内容”；表达式②输出语句的一般格式：PRINT"提

示内容”③赋值语句的一般格式：变量=表达式满足条件？

否.）”有时也用“一”（”=是④条件语句的一般格式有两

种：语句的一般格式为：一ELSEIF-THEN21语句语句

THEN条件IF1语句ELSE）（图22语句

格式：THEN-②IF）（图2ENDIF

是满足条件？语句的一般格式为：THEN-IF否

THEN条件IF语句语句ENDIF）（图3

)(图3-8-

⑤循环语句的一般格式是两种：2、总体分布的估计：⑴一表

二图：）语句的一般格式：WHILE当型循环（①频率分布表

——数据详实条件WHILE②频率分布直方图一一分布直

观循环体③频率分布折线图一一便于观察总体分布趋势）

4（图注：总体分布的密度曲线与横轴围成的面积为1。WEND

⑵茎叶图：

直到型循环（①茎叶图适用于数据较少的情况，从中便于看出数

据）语句的一般格式：UNTIL的分布，以及中位数、众位数

等。

DO②个位数为叶，十位数为茎，右侧数据按照从小到大书

写，相同的数据重复写。循环体3、总体特征数的估计：

XUNTILLOOP条件；xxxx⑴平均数：n

321

）5（图n取值为x,x„x的频率分别为p,p,,p,

则其n2nli2;XP平均数为pxpx⑹算法案例：nn221

I注意：频率分布表计算平均数要取组中值。而得到利①辗转相

除法一结果是以相除余数为0

,,X⑵方差与标准差：一组样本数据X用辗转相除法求最大公约

数的步骤如下：，X21nS和一得到一个商i）：用较大的数m

除以较小的数n022ns方差：1

；x）R（x；个余数i0

nRR的最大公约数；若=0n为，则mii）：若，n

iiOoSR和一个余得到一个商0W,则用除数n除以余数

1021nR；数标准差：1X）S（XiDRRRW的最大

公约数；若，=0,则为mniii）：若111i1SRR和一个余

数得到一个商0,则用除数除以余数注：方差与标准差越小，

说明样本数据越稳定。210R；??2平均数反映数据总体水平；

方差与标准差反映数据的R即为所求n1稳定水平。R,

此时所得到的依次计算直至=0n⑶线性回归方程的最大公约

数。①变量之间的两类关系：函数关系与相关关系；结果是

以减数与差相等而得到②更相减损术一②制作散点图，判断线

性相关关系利用更相减损术求最大公约数的步骤如下：i）：

任意给出两个正数;判断它们是否都是偶数。bx③线性回归方程:

y（最小二乘法）a

若是，用约简；若不是，执行第二步。2nii）：以较大的数

减去较小的数，接着把较小的数与yxnxy"所得的差比较，

并以大数减小数。继续这个操作，直“bn2到所得的数相等为

止，则这个数（等数）就是所求的2XFIXi最大公约数。11

③进位制yabx取余法进制数一kk十进制数化为除

进制数化为十进制数ko注意：线性回归直线经过定点（x,y）

第二章：统计第三章：概率、抽样方法：1、随机事件及

其概率：1①简单随机抽样（总体个数较少）⑴事件：试验的

每一种可能的结果，用大写英文字母②系统抽样（总体个数较多）

表示；③分层抽样（总体中差异明显）⑵必然事件、不可能

事件、随机事件的特点；个个体的总体中抽取出注意：在N个

个体组成样本，nn

O每个个体被抽到的机会（概率）均为

N-9-

m

⑶随机事件A的概率：P(A),0P(A)1.

2、古典概型：

⑴基本事件：一次试验中可能出现的每一个基本结果；⑵古典

概型的特点：

①所有的基本事件只有有限个；

②每个基本事件都是等可能发生。

⑶古典概型概率计算公式：一次试验的等可能基本事

件共有n个，事件A包含了其中的m个基本事件，则

m.P(A)事件A发生的概率

n

3、几何概型：

⑴几何概型的特点：

①所有的基本事件是无限个；

②每个基本事件都是等可能发生。

的测度P(A)⑵几何概型概率计算公式:；

D的测度其中测度根据题目确定，一般为线段、角度、面积、

体积等。

4、互斥事件：

⑴不可能同时发生的两个事件称为互斥事件；

⑵如果事件A,A,,A任意两个都是互斥事件，则称n12

彼此互斥。，,A事件A,A12n⑶如果事件A,B互斥，那么

事件A+B发生的概率，

发生的概率的和，A,B等于事件

P(A即：P(A)P(B)B)

⑷如果事件A,A,,A彼此互斥，则有：21nAAP(A)P(A)

P(A)P(A)n221nl⑸对立事件：两个互斥事件中必有一个要

发生，则称

这两个事件为对立事件。

①事件A的对立事件记作A

P(A)P(A)1,P(A)1P(A)

②对立事件一定是互斥事件，互斥事件未必是对立事件。

-10-

a+a=

a

a=------

a

aaa=

{pP=a+e)

(a+n)=a

(a+n)=a

(a+无)=a

(定+a)=-a

(九+a)=-a

(宛+a)=a

a(-a)=一a

（）a=a=—(_a)=a

(-a)=-a

(7T-a)=a

-a)=-a

a=­a=—(TT—a)=—a

§122、同角三角函数的基本关系式数学知识点必

修4

22sincos1平方关系：1、.第一章：三角函数

§1.1.1、任意角sintan：商数关系2、.正角、负角、

零角、象限角1、•的概念cos

与角、2终边相同的角的集合：tancotl倒数关系：3、

§1.3、三角函数的诱导公式Z2k,k.“奇变偶不

变，符号看象限"kZ）（概括为

§1.1.2＞弧度制：1、诱导公式一

1、把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度

sin2ksin,.的角Z,kcoscos2k（其中：）I、

2.tan.tan2kr

nR：2、诱导公式二R.3I：、弧长公式

180,sinsin1,coscos2IR.nRS：、扇形

面积公式4

tan.tan2360

、任意角的三角函数§1.2.1：3、诱导公式三

设、1是一个任意角，它的终边与单位圆交于点,sinsiny

sinx,yx,Py,cos,那么：tan,coscos

xtan.tan

Ax,y设点、2那么：（设终边上任意一点，为角：4、诱

导公式四

22sin,sinyxr）

,coscos

yyxtan.tanxsin,,,cotcostanyrrx：5、诱

导公式五

tansincos,,>3在四个象限的符号和三

角，cossin.函数线的画法y2TP

sin.cosM已正弦线：

2OM；余弦线：AXOM

AT正切线：：6、诱导公式六,cossin

2°,°,45°,°,0特殊角、53060.270°,

等的三角函数值180°,90sin.cos220323

6432324

sin

cos

tan

-11-

§1.4.1、正弦、余弦函数的图象和性质2、能够对照图象讲

出正弦、余弦函数的相关性质：定

、记住正弦、余弦函数图象：1义域、值域、最大最小值、对称

轴、对称中心、

y.奇偶性、单调性、周期性y=sinx3、会用五点法

作图.-57312-222-70Xysinxx[0,2]

上的五个关键点为：在-2-3-4

-35342-122223y)(,01)(,,(0,0)(,,,

-1)(,2,0).y=cosx22731-5

2-322-32-7OX-2-4

-3524-12222

、正切函数的图象与性质§1.4.3

2、记住余切函数的图象：、记住正切函数的图象：1yy=COtX

yy=tanxOX23--2223X03-2222

-12-

3、能够对照图象讲出正切函数的相关性质：定义域、值域、对

称中心、奇偶性、单调性、周期性.

XfX

fx,使得当周期函数定义：对于函数取定义域内的每

一个值时，都有，如果存在一个非零常数T

Tfxfx.就叫做周期函数，非零常数T,那么函数叫

做这个函数的周期

图表归纳：正弦、余弦、正切函数的图像及其性质

ycosxytanxysinx

图象

RR定义域{x|xk,kZ}

2

RW-1,1][-1,1]

Z时，y1x,k2kmax,kZ时，y12k2xmax无

最值y时，Z1x2k,kminy时，Z,k2kximm2

T2T2T周期性

奇奇奇偶性偶

在[2k上单调递增][2k,2k]上单调递增在,2k在上

单调递增单调性22(k,k)3

22kZ][2k,2k上单调递减在上单调递减

在][2k,2k

22

对称轴方程：x无对称轴k对称轴方程:对称性kxk2k

Z(对称中心对称中心(k,0),o)

22(k对称中心,0)

-2-

(a-°—a?

xZ,kkx）ytan(,(A,3数为，2yA

sinx§1.5>函之

T的周期#0）常数，且A.

、对于函数：1||

和对于来00,xBAyAsin)yAcos(xyAsin

（X,周有：振幅A）

对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系说，.2)

yAsin(x图像的对称轴与对称中心，求函数1.xfT,频

率期，相位，初相丁2kk(kZ)xx(kZ)与只需令

sinxy的图象与、能够讲出函数22x.即可

余弦函数可与正弦函数类比可得.解出xAsin

yB的图象之间的平移伸缩变

4、由图像确定三角函数的解析式yyyy.换关系

B.A,利用图像特征：minmaxminmax

①先平移后伸缩：22要根据周期来求，要用图像的关键点

来求.ysinxsinxy11个单位平移

§1.6、三角函数模型的简单应用(左加右减)

1、要求熟悉课本例题.yAsinx横坐标不变倍A纵

坐标变为原来的第三章、三角恒等变换

xyAsin纵坐标不变§3.1.1、两角差的余弦公式1记

住15°的三角函数值：||倍横坐标变为原来的COSsintan

xyAsinB6262|B|个单位平移234412(上加下减)

§3.1.2、两角和与差的正弦、余弦、正切公式②先伸缩后平

移：sinsincoscossin1、

yAsinxsinxy横坐标不变

sinsincoscossin2、倍A纵坐标变为原来的

xAsiny纵坐标不变coscoscossinsin、3

1||coscoscossinsin4＞倍横坐标变为原来的

tantanXyAsiAtari5、.个单位平移tan1tan

（左加右减）tantantan6＞.tan1tanByxAsin|B

|个单位平移3.1.3§＞二倍角的正弦、余弦、正切公式

（上加下减）、三角函数的周期，对称轴和对称中心3

x））yycos（sin（x,函数£x,及函数Rsin22sin

cos1、，

2变形：1R（A,xe；函,TrA为常数，且的周期0）

||sin2sincos.2

-2-

22cos2cossin

2、§2.2.1、向量加法运算及其几何意义

1、三角形加法法则和平行四边形加法法则.22cos12

12sin

变形如下:22coscos21升塞公式：22sin

cos21

abab1.、W2

2(1cos)cos2§222、向量减法运算及其几何意义2降

塞公式：l2sin

)cos2(1aa.与的相反向量长度相等方向相反的向量叫

做、12

、三角形减法法则和平行四边形减法法则.22tan

tan23、.2tan11cos2sin2tan4、

1cos2sin2§3.2、简单的三角恒等变换

1、注意正切化弦、平方降次§2.2.3、向量数乘运算及其几

何意义.

、辅助角公式2a规定：实数1、的积是一个向量，这种运与

向量22)sin(xabyasinxbcosx

a记作：.向量的数乘算叫做，它的长度和方向(a,b)角助

其中辅(决限的象所在象限由点规定如下：b

tan,定).aa,d)a第二章：平面向量§2.1.1＞向量的

物理背景与概念0aa的方向与时，⑵当的方向相同；当

力、位移、速度、加速度了解四种常见向量：1、.2、既有

大小又有方向的量叫做.向量0aa.的方向与时的方

向相反，、向量的几何表示2.1.2§

,有向线段包含三个有向线段、1带有方向的线段叫做0

aab：向量平面向量共线定理共线，当2与、

.要素：起点、方向、长度

ba，使且仅当有唯一一个实数.ABAB的长度（或称2、

向量的大小，也就是向量

§2.3.1、平面向量基本定理

AB；长度为零的向量叫做模），记作零向量；e,e平面向

量基本定理1、是同一平面内的两：如果21.个单位的向量

叫做长度等于1单位向量3、方向相同或相反的非零向量

叫做平行向量（或共a那么对于这一平面内任一向量个不共线

向量，，线向量）.规定：零向量与任意向量平行.、相

等向量与共线向量§2.1.3eae,使有且

只有一对实数211212长度相等且方向相同的向量叫做、1.相

等向量

§2.3.2、平面向量的正交分解及坐标表示

axiyjx,y.-3-

、平面向量的坐标运算§2.3.3XxyyAB.11222

设、，bx,ya

x,y,则：3、两向量的夹角公式1122

xyxyabd)2121c0s,yab

xxy,12122222yxyxab2112,yxxa

b

y(2),11224、点的平移公式P(x,y)(原坐标)，平移

后的对应点平移前的点为a,yx(3),11

P(x,y)PP

(h,k),(新坐标)为，平移向量为yxa//b(4)yx.2112

xxh2设、贝ij,Bx,yAx,y,则：22nyyk.

,yxxAB

y.2211yf(x)a(h,k)平移后的函数的图像按向量、

平面向量共线的坐标表示§2.3.4

ykf(xh).,yAx,y,y,Bx,Cx图像的解析式为

1、设，则313212

§2.5.1、平面几何中的向量方法yy,,中点坐标为⑴线段AB

12

XX2221

§2.5.2、向量在物理中的应用举例xyxyyx323l2l3的重心坐

标为⑵△ABC.33

、平面向量数量积的物理背景及其含义2.4.1§知识链接：空间

向量空间向量的许多知识可由平面向量的知识类比而得.a

babcos、.1下面对空间向量在立体几何中证明，求值的

应用进行

.总结归纳acosab.方向上的投影为：、在2直

线的方向向量和平面的法向量、122(1).直线的方向向

量：aa、.3

IIAB的为直线上的任意两点，则若A、B是直线2

aa、.4

IAB平行的任意非零向量也是直线与一个方向向量；

abab0、.5.的方向向量、平面向量数量积

的坐标表示、模、夹角§2.4.2⑵.平面的法向量：

n所在直线垂直于平面若向量，则称这个向量，y,b

xax,y,则：设、12112

nnn,如果垂直于平面，记作xabx,那么向量yy

(1)2121

.叫做平面的法向量22yxa⑵11：(3).平面的法向量的求

法(待定系数法)

①建立适当的坐标系.yxxyabOab0⑶2121

n(x,y,z)的法向量为②设平面.

yxxya//bOab(4)1122③求出平面内两个不共线向量

的坐标

）,b,a,aa（a,yAx,Bx,y设、2，贝U：）（b,b,

b.2211321312

e

e-hA

N

444

e774

naoIuauau则要证明量是.，只需证明，即

〃.④根据法向量定义建立方程组

nbo

Ia,平面设直线②（法二）的方向向量是内的两⑤解

方程组，取其中一组解，的法向量.即得平面

m、n,则1.0am,若个相交向量分别为（如图）

0an即：直线与平面垂直直线的方向向量与平面的

法向量共线直线的方向向量与平面内两条不共线直线的方向

向量都垂直。⑶面面垂直uv的法向量为若平面的法

向量为，平面，要2、用向量方法判定空间中的平行关系V

U

UV,即证，只需证证0.

⑴线线平行

即：两平面垂直两平面的法向量垂直。，11a、bI的方

向向量分别是设直线〃，则要证明2114、利用向量求空间角⑴

求异面直线所成的角Iabakb（kR）,即，只需证明〃.

2a,ba,bD分别是B,c与已知，为两异面直线，A

即：两直线平行或重合两直线的方向向量共线。⑵线面平行a,

b所成的角为，上的任意两点，

Ia,平面①（法一）的方向向量是设直线的法向ACBD

cos.则

IauuauO,即，只需证明，则要证明〃量是.BDAC

⑵求直线和平面所成的角直线的方向向量与该平面的法即：直

线与平面平行

向量垂直且直线在平面外①定义：平面的一条斜线和它在平面

上的射影所

成的锐角叫做这条斜线和这个平面所成的角②（法二）要证明

一条直线和一个平面平行，也可以在平面内找一个向量与已知

直线的方向向量是共线Ia,平面设直线②求法：的方向向量

为的法向量.向量即可

⑶面面平行uau的夹角为，与为,，直线与平面所成的角

为uv的法向量为的法向量为若平面，平面，要则

为的余角或的补角

UUVV证〃，即证，只需证〃.的余角.即有：

au、用3两平面的法向量共线。即：两平面平行或重合sincos.

向量方法判定空间的垂直关系au⑴线线垂直

I,la、b的方向向量分别是设直线，则要证明21

11ababo,即，只需证明.12

两直线的方向向量垂直。即：两直线垂直⑵线面垂直

Ia,平面①（法一）设直线的方向向量是的法向

-5-

a

a-

(3)求二面角n，则P平面的法向量为到平面的距离就等于

①定义：平面内的一条直线把平面分为两个部分，

其中的每一部分叫做半平面；从一条直线出发的两个MPn

方向上的投影的绝对值在法向量.半平面所组成的图形叫做二

面角，这条直线叫做二面

角的棱，每个半平面叫做二面角的面dMPcosn,MP即

I二面角的平面角是指在二面角的棱上nMP,分别在两个

半平面内作射线。任取一点MP

nMPAOBIIAO

I,B0为二面角，则的平

.面角nMP

如图：n

ABiBO0Aa与平面之间的距离⑶直线I

的两个半平面的法向量②求法：设二面角当一条直线和一个

平面平行时，直线上的各点到平面的距离相等。由此可知，直

线到平面的距离可转化nm、m、n为为的夹，再设

角分别，二面角为求直线上任一点到平面的距离，即转化

为点面距离。

n、mI的夹角为的平面角为，则二面角

nMP.或其补角.d即n是锐角或是钝角：根据具体图形

确定mncoscos是锐角，则♦如果，mn

,两平行平面⑷之间的距离mn

arccos；即

利用两平行平面间的距离处处相等，可将两平行平mn

面间的距离转化为求点面距离。

mnnMPcoscos是钝角，则.如果，.d即mn

n

mnarccos即.⑸异面直线间的距离

mna,PM

na,bb,都垂直，设向量与两异面直线

、利用法向量求空间距离5ndMPa,b方向就是在向

量则两异面直线间的距离I距离Q⑴点到直线

IllPa的为直线上,在直线，外的一点为直线若Q上

投影的绝对值。

IPQb=方向向量，，则点距离为Q到直线nMP22.

d(ab)(|a||b|)1h即

n|a|

到平面⑵点A的距离

为平面为平面P若点M外一点，点内任一点，

-6-

eoe

++«e+e+0=

ue+e+0

1a€a

f|a=>=_L

ua±

±a€a

Qa=>=J_

ua±

0=e

9、一个结论、三垂线定理及其逆定理6I的线段在三条

两两互相垂直的直线上的射长度为在平面内的一条直线，如果它

和这个⑴三垂线定理：I、I、I、、，，夹角分别为影长分

别为则有322131平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条

斜线垂2222222直IIIcoscoslcosl211233P推

理模式：222sinsinsin2.231.（立体几何中长方体

对角线长的公式是其特例）

OAa

,0P0

PAa

PAA

a,aOA

概括为：垂直于射影就垂直于斜线.

⑵三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果

和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直

P0,0

APAaA0推理模式：

AP,a

a

概括为：垂直于斜线就垂直于射影.

7、三余弦定理

设AC是平面内的任一条直线，AD是的一条斜线

AB在内的射影，且BD±AD,垂足为D.设AB与

，AD与AC所成的角为，AB所成的角为(AD)21

COSCOSCOS..则所成的角为与AC21

B

iDA2

C

8、面积射影定理

ss,它在已知平面内一个多边形的面积为原S内的射

影图形的面积为S,平面与平平面射

面所成的二面角的大小为锐二面角，则

S.=Scos射

SS原

-7-

2

I++

Q+}A.

>u{}

VU{}

…{}

u=+

第二章：数列数学知识点必修5aS之间的

关系：与1、数列中nn第一章：解三角形

、正弦定理：1S,(n1)iacab注意通项能否合并。n

2R.SS,(n2).ninsinCsinBsinA

ABCR2、等差数列：外接圆的半径)(其中为

⑴定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前2Rsin

C;a2RsinA,b2RsinB,c

aan一项的差等于同一个常数，即=~—2,(n

incba,sinB;sinA,sinC2R2R2R2,neN),

a:b:csinA:sinB:sinC.

用途：⑴已知三角形两角和任一边，求其它元素；⑵已那么这个数

列就叫做等差数列。⑵等差中项：a、A、b知三角形两边

和其中一边的对角，求其它成等差数列若三数ab元素。A2

、余弦定理：2aaa(nm)d(n1)d⑶通项公式：nmi

222Cab2bccosA,

2222accosB,cbaaq(p>q是常数).pn或n

2222abeosC.abc

n项和公式：⑷前222Cba,cosAaannn12bc

ni222cabSnadin22,cosB

2aC⑸常用性质：222abc

mnpqm,n,p,qN,则①若

aaaa；用途：⑴已知三角形两边及其夹角，求其它元素；

qpnm

⑵已知三角形三边，求其它元素。a,a,a5,仍组成②下标为

等差数列的项k2mkkm

做题中两个定理经常结合使用.等差数列；、三角

形面积公式：3lS11a,bb为常数）仍为等差数列；（③数列

acsinBabsinCbesinAnABC222{}{b}是等

差数列，则、④若、a{ka}{kapb}、三角形

内角和定理：4nnnnn

*AB）BCC（A中，有在△ABC）Np{a}（p,qk、，？也成

等、是非零常数）（、pnqBCA差数列。

B）2C2（A2.222

da⑤单调性：，