例析高考数学运用导数证明不等式问题的策略-国际应用数学进展

【摘要】导数背景下的不等式证明问题在高考命题中占据重要地位，常常以选择题和解答题的形式出生的数学思维和推理能力。在实际教学中，我们发现部分学生面对导数背景下不等式的证明问题时束手无类问题的常用策略，以此来帮助学生更好地分析并掌握解决该类题型的方法和技【关键词】不等式证明；导数；高考；解题策略提出新【Abstract】Theproblemofprovinginequalitiesunderthecontextofderivativesisofgreatimportanceinthecollegeentranceexamination,oftenappearingintheformofmultiple-choicequestionsandsolutionprotheimplementationofthenewcollegeentranceexaminationpolicy,theproportionofusuallywithtwotothreesumathematicalideas.Theynotonlyteststudents'understandingofmathematicalthinkingandrewiththeproblemofprovinginequalitiesunderthecontextofderivativesandchoosetogiveregrettable.Thisarticletakesrecentcollegeentranceexaminatcommonderivativeinequalityproblemsincollegeentranceexaminationmathematicsandproviskillsforsolvingthistypeofproblem,therebyimprovingtheirproblem-solvingefficiency.【Keywords】Inequalityproof;Derivative;CollegeEntranceExamination;Problemsolvingstrat是高考命题的热点，需要学生具备较强的数学例析高考数学运用导数证明不等式问题的策略考查了证明含参不等式恒成立，22（2）考查了函数导数的单调性与不等式以及处取得极值，函数值点偏移问题的本质是函数的不对称性。用数学语言表达即是：若函数f(x)在处取得极值，函数则称函数f(x)的极值点发生偏移。按照极值点的偏移来分，可分为两类：（1）函数图象左陡右缓，极值点向左偏移。此时，若f(x)=f(x2)，则2x,。f(x)=f(x)，则2x,。常见的极值点偏移题型如：已知f(x)=f(x2)或X1,x2为f(x)的两个零点，为f(x)的极值点，证（4）构造对称“差函数”：构造差函数F(x)=f(x)-f(2xo-x)或者F(x)=-。（1）若f(x)之0，求a的取值范围；（2）证明：若f(x)有两个零点则。令f'(x)=0，得x=1，故f(x)，f'(x)的变化情况如下表：10f(x)↘↗所以当x=1，f(x)⃞,=e十l-a，因为f(x)≥0，所以e+1-a≥0，所以a≤e+1。设t=x-lnx，则y=el+t-a，y'=et+1。例析高考数学运用导数证明不等式问题的策略因为y'=e"+1>0，所以y=e*+t-a为增函数，所以x1-lnx1=x2-lnx2。10↘1↗F(x)=f(x)F(x)=f(x)则设(0,1)(0,1)0<x<10<x<1p'(x)>0p(x)(0,1)p(x)<p(1)=0F'(X)>0F(X)(0,1)F(X)<F(1)=0F'(X)>0F(X)(0,1)F(X)<F(1)=0,所以，即。f(x)(1,,所以，即。f(x)(1,+co)f(x)=x(1-lnx)例2（2021新高考全国Ⅰ卷数学22f(x)=x(1-lnx)f(x)f(x),证明：,证明：abblnu-,令abblnu-,令f(x)(0,f(x)(0,+o)f'(x)=-lnxf'(x)>00<x<1f'(x)<0x>1f(x)(0,1)(1,+o)（2）证明：由blna-alnb=a-b得f(x)=k,且，故。f(x)→0+X心十,且，故。f(x)→0+X心十f(x)→-0of(1)=lKE(0,1)x1E(0,1)x,E(1,e)2-e-x1>lf(x2)=f(x)<f(2-x)h(x)=f(x)-f(2-x),XE(0,1)h'(x)x1E(0,1)x,E(1,e)2-e-x1>lf(x2)=f(x)<f(2-x)h(x)=f(x)-f(2-x),XE(0,1)h'(x)=f'(x)+f'(2-x)=-Inx-In(2-x)=-In[x(2-x)]XE(0,1)x(2-x)E(0,1)h'(x)>0h(x)h(x)<h(1)=0f(x)<f(2-x)f(x2)=f(x)>f(e-x)p(x)=f(x)-f(e-x)xe(0,1)w'(x)=-In[x(e-x)]f(x)<f(2-x)f(x2)=f(x)>f(e-x)p(x)=f(x)-f(e-x)xe(0,1)w'(x)=-In[x(e-x)]。。,所以p'(x)→+0o,所以p'(x)→+0op'(1)=-ln(e-1)<0p'(x)(0,1)例析高考数学运用导数证明不等式问题的策略到在(0,1)上必存在唯一的点，使vp''((x))=0。且当xe(0,x0)时，p'(x)>0，p(x)单调递增；当xe(x,,I)时，p'(x)<0，p(x)单调递减。又因为当x→0+时，f(x)→0+，且f(e)=0，故当x→0+时，p(1)=f(1)-f(e-1)>0，故p(x)>0（2）转化不等式，要证x+x2>2xo，即证；（3）说明与在同一单调区间比较f(x)、f(x2)与的大小；（4）设g(x)=f(x)-f(2x0-)讨论其单调性，进而得证不等式。“切线放缩”是处理不等式问题的一种重要技巧，如：y=e在点(0,1)处的切线为y=x+l，通过图象易知除切点(0,1)外，y=e图象上其余所有的点均在y=x+l的上方，故有ex≥1+x，该结论可构造函数f(x)=e*-x-l并求其最小值来证明。显然，选择的切点不同，所得的不等式也不同。（1）ex≥1+x，当且仅当x=0时取等号；），（6）当时，当且仅当时取等号。例3（2023年新高考全国Ⅰ卷数学19）已知函数f(x)=a(e*+a)-x。（1）讨论f(x)的单调性。（1）先求导，再对a分类讨论，从而判断a的不同取值范围下f(x)的单调性。（2）解法一切线放缩）f(x)=a(ex+a)-x=ex+ln+a2-x≥x+lna+1+a2-x=a+lnq+1。令i-故g(a)在上单调递减，在上单调递增。所以g(a)。例析高考数学运用导数证明不等式问题的策略g'(a)0+g(a)↘↗解法二同构+切线放缩）又ex≥x+1，故ex+ln(-(x+lna+1)≥0。又因为lnx≤x-1，故。化为利用导数研究函数的单调性或求最值，从而证得不等式。构造函数证明不等式有六种常见方法：移项例4（2022新高考II卷数学，22）已知函数f(x)=xe(⃞-e*。（1）当a=1时，讨论f(x)的单调性；（2）当x>0时，f(x)<-l，求a的取值范围。（1）当a=1时，f(x)=xe(⃞-e*，则f'(x)=xe*，当XE(-co,0)时，f'(x)<0，f(x)单调递减；当XE(0,+o)时，f'(x)>0，f(x)单调递增。（2）当x>0时，有f(x)<-l，所以xe+ex<-1在(0,+o)上恒成立。令F(x)=xe(-e*+1(x>o)，则在(0,+o)上F(x)<0恒成立，易得F(0)=0，F'(x)=e'+axe'-ex，=0。例析高考数学运用导数证明不等式问题的策略若F"(0)>0，则F'(X)也必存在一个单调递增区间(0,x'0)，即有F(X)>F((0))=0在(0,x'0)上恒成立，F(x)≤-e"tl在(0,+o)上成立。因为ex>x+1在(0,+o)上成立，故在(0,+o)上成立，因为G'(x)<0，故G(x)在(0,+o)上单调递减，所以G(x)<G(0)=0。所以在(0,+o)上成立。故当时，xe(x-ex<-1在(0,+o)上成立，所以故h'(x)>0，所以h(x)在(1,+o)上单调递增，所以h(x)>h(1)=0，即，