重难点01有理数相关概念的应用

重难点01有理数相关概念的应用目录题型一：数轴题型二：绝对值题型三：非负数的性质绝对值题型四：有理数乘方的应用题型五：算“24点”技巧方法技巧方法一、数轴（1）数轴的概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴．数轴的三要素：原点，单位长度，正方向．（2）数轴上的点：所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不都表示有理数．（一般取右方向为正方向，数轴上的点对应任意实数，包括无理数．）（3）用数轴比较大小：一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大．二．绝对值（1）概念：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值．①互为相反数的两个数绝对值相等；②绝对值等于一个正数的数有两个，绝对值等于0的数有一个，没有绝对值等于负数的数．③有理数的绝对值都是非负数．（2）如果用字母a表示有理数，则数a绝对值要由字母a本身的取值来确定：①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a；③当a是零时，a的绝对值是零．即|a|＝{a（a＞0）0（a＝0）﹣a（a＜0）三．非负数的性质：绝对值在实数范围内，任意一个数的绝对值都是非负数，当几个数或式的绝对值相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0．根据上述的性质可列出方程求出未知数的值．四．有理数的乘方（1）有理数乘方的定义：求n个相同因数积的运算，叫做乘方．乘方的结果叫做幂，在an中，a叫做底数，n叫做指数．an读作a的n次方．（将an看作是a的n次方的结果时，也可以读作a的n次幂．）（2）乘方的法则：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0的任何正整数次幂都是0．（3）方法指引：①有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先要确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值；②由于乘方运算比乘除运算又高一级，所以有加减乘除和乘方运算，应先算乘方，再做乘除，最后做加减．能力拓展能力拓展题型一：数轴一．填空题（共1小题）1．（2021春•青浦区期末）在数轴上，到原点的距离等于3的点所表示的有理数是±3．【分析】在数轴上，+3和﹣3到原点0的距离都等于3，据此进行填空即可．【解答】解：在数轴上，到原点的距离等于3的点所表示的有理数是±3．故答案为：±3．【点评】主要考查了数轴，要注意数轴上距离某个点是一个定值的点有两个，左右各一个，不要漏掉一种情况．把数和点对应起来，也就是把“数”和“形”结合起来，二者互相补充，相辅相成，把很多复杂的问题转化为简单的问题，在学习中要注意培养数形结合的数学思想．二．解答题（共8小题）2．（2021春•浦东新区月考）如图，已知a、b、c在数轴上的位置．（1）a+b＜0，abc＜0，＜0．填（“＞”或“＜”）（2）如果a、c互为相反数，求＝﹣1．（3）化简：|b+c|﹣2|a﹣b|﹣|b﹣c|．【分析】（1）根据a、b、c在数轴上的位置即可求解；（2）根据相反数的定义即可求解；（3）结合数轴，根据绝对值性质去绝对值符号，再合并即可求解．【解答】解：由数轴可知，a＜0＜b＜c，|a|＞|b|，则（1）a+b＜0，abc＜0，＜0．故答案为：＜，＜，＜；（2）∵a、c互为相反数，∴＝﹣1．故答案为：﹣1；（3）|b+c|﹣2|a﹣b|﹣|b﹣c|＝b+c+2（a﹣b）+（b﹣c）＝b+c+2a﹣2b+b﹣c＝2a．【点评】本题主要考查数轴、绝对值的性质、整式的加减，根据数轴和题目条件判断出a、b、c的大小关系和是解题的关键．3．（2020春•宝山区期中）用数轴上的点分别表示3，﹣3.5，，2，0和它们的相反数．【分析】依据相反数的概念确定各数的相反数后在数轴上表示即可．【解答】解：∵3，﹣3.5，，2，0，∴它们的相反数分别为：﹣3.3.5．﹣，﹣，0．将它们在数轴上表示如下：．【点评】本题主要考查了数轴，相反数的应用，求出各数的相反数是解题的关键．4．（2020春•宝山区期中）一出租车某天8：00～10：00以钟楼为出发点在东西方向营运，向东走为正，向西走为负，行车里程（单位：km）依先后次序记录如下：﹣4、+3、﹣6、+12、+5，试回答下列问题：（1）将最后一名乘客送到目的地后，出租车离出发点钟楼有多远？出租车在钟楼的什么方向？（2）若每千米的价格为2.4元，司机该天8：00～10：00的营业额是多少？【分析】（1）求出所有数据的代数和，结合结果的符号可得结论；（2）求出所有数据的绝对值，再乘以2.4可得结论．【解答】解：（1）﹣4+3﹣6+12+5＝20﹣10＝10（千米）．答：将最后一名乘客送到目的地后，出租车离出发点钟楼10千米，出租车在钟楼的东边．（2）出租车共行驶：|﹣4|+|+3|+|﹣6|+|+12|+|+5|＝30（千米）．他的营业额是30×2.4＝72（元）．答：他的营业额是30×2.4＝72元．【点评】本题主要考查了数轴，正数和负数的应用，对数据进行正确处理是解题的关键．5．（2020春•金山区期中）补完整下面的直线，使它成为一条数轴，并把下列各数在数轴上表示出来．点A是﹣2，点B是|3.5|，点C是的相反数．【分析】分别算出点A，B，C所表示的数，然后在数轴上表示出来．【解答】解：点A表示的数为﹣2.5，点B表示的数为3.5，点C表示的数为﹣0.25．点A，B，C标在图中所示位置【点评】本题考查数轴的相关知识，解题关键是掌握画数轴的方法6．（2020春•闵行区期中）（1）用数轴上的点表示下列各数：点A表示﹣的倒数，点B表示﹣2的相反数，点C表示|﹣|；点D表示绝对值最小的数．（2）已知点E与B的距离为线段AB长的一半，则点E表示的数是﹣或．【分析】（1）依据点A表示﹣的倒数，点B表示﹣2的相反数，点C表示|﹣|；点D表示绝对值最小的数，即可得出各点的位置；（2）依据点E与B的距离为线段AB长的一半，即可得到EB＝AB＝，再分两种情况进行讨论，即可得到点E表示的数．【解答】解：（1）如图所示：（2）∵点E与B的距离为线段AB长的一半，∴EB＝AB＝，若点E在点B的左侧，则点E表示的数为2﹣＝﹣；若点E在点B的右侧，则点E表示的数为2+＝，故答案为：﹣或．【点评】本题主要考查了实数与数轴，所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不都表示有理数．7．（2022秋•青浦区校级期末）定义：对于数轴上的三点，若其中一个点与其他两个点的距离恰好满足2倍的数量关系．如下图，数轴上点A，B，C所表示的数分别为1，3，4，此时点B就是点A，C的一个“关联点”．（1）写出点A，C的其他三个“关联点”所表示的数：﹣2、2、7．（2）若点M表示数﹣2，点N表示数4，数﹣8，﹣6，0，2，10所对应的点分别是C1，C2，C3，C4，C5，其中不是点M，N的“关联点”是点C2．（3）若点M表示的数是﹣3，点N表示的数是10，点P为数轴上的一个动点．①若点P在点N左侧，且点P是点M，N的“关联点”，求此时点P表示的数．②若点P在点N右侧，且点P，M，N中，有一个点恰好是另外两个点的“关联点”，求此时点P表示的数．【分析】（1）根据“关联点”的概念即可解得．（2）根据“关联点”的概念逐个点计算即可解得（3）①根据“关联点”的概念表示出距离，根据2倍的数量关系列式即可解得．②根据“关联点”的概念表示出距离，分四种情况进行解答．【解答】解：（1）2﹣1＝1，4﹣2＝2，2是A，C的一个“关联点”，设x是A，C的一个“关联点”，x﹣1＝2（x﹣4）解得x＝7，设y是A，C的一个“关联点”，2（1﹣y）＝4﹣y解得y＝﹣2，A，C的其他三个“关联点”所表示的数为：﹣2、2、7，故答案为：﹣2、2、7，（2）∵﹣2﹣（﹣8）＝6，4﹣（﹣8）＝12，∴C1是关联点，∵﹣2﹣（﹣6）＝4，4﹣（﹣6）＝10，∴C2不是关联点，∵0﹣（﹣2）＝2，4﹣0＝4，∴C3是关联点，∵2﹣（﹣2）＝4，4﹣2＝2，∴C4是关联点，∵10﹣（﹣2）＝12，10﹣4＝6，∴C5是关联点，故答案为：C2．（3）①若点P在点N左侧且在M的右侧，设点P表示的数为x，当2（x+3）＝10﹣x解得，当x+3＝2（10﹣x）解得，若点P在M点左侧，设点P表示的数为x，∴2（﹣3﹣x）＝10﹣x解得x＝﹣16，综上所述：P表示的数为：；②若点P在点N右侧，设点P表示的数为x，当PN＝2MN时，则2×13＝x﹣10解得x＝36，当MN＝2PN时，则13＝2×（x﹣10）解得，当MP＝2MN时，则x+3＝2×13解得x＝23，当MP＝2PN时，则x+3＝2×（x﹣10）解得x＝23，综上所述：P表示的数为：，23.36．【点评】此题考查了数轴上两点间的距离，一元一次方程的应用，解题的关键是理解“关联点”的概念，读懂题意并根据题意列出方程．8．（2022春•普陀区校级期中）如图，点A、B在数轴上表示的数分别为﹣12和8，两只蚂蚁M、N分别从A、B两点同时出发，相向而行．M的速度为2个单位长度/秒，N的速度为3个单位长度/秒．（1）运动4秒钟时，两只蚂蚁相遇在点P；点P在数轴上表示的数是﹣4；（2）若运动t秒钟时，两只蚂蚁的距离为10，求出t的值（写出解题过程）．【分析】（1）利用两蚂蚁的速度表示出行驶的路程，进而得出等式求出即可；（2）分别利用在相遇之前距离为10和在相遇之后距离为10，求出即可．【解答】解：（1）设运动x秒时，两只蚂蚁相遇在点P，根据题意可得：2x+3x＝8﹣（﹣12），解得：x＝4，﹣12+2×4＝﹣4．答：运动4秒钟时，两只蚂蚁相遇在点P；点P在数轴上表示的数为：﹣4；（2）运动t秒钟，蚂蚁M向右移动了2t，蚂蚁N向左移动了3t，若在相遇之前距离为10，则有2t+3t+10＝20，解得：t＝2．若在相遇之后距离为10，则有2t+3t﹣10＝20，解得：t＝6．综上所述：t的值为2或6．故答案为：4；﹣4．【点评】此题主要考查了一元一次方程的应用以及数轴的应用，利用分类讨论得出是解题关键．9．（2022春•奉贤区校级月考）根据下面给出的数轴，解答下面的问题：（1）请你根据图中A，B两点的位置，分别写出它们所表示的有理数．（2）请问A，B两点之间的距离是多少？（3）在数轴上画出与点A的距离为2的点（用不同于A，B的其它字母表示），并写出这些点表示的数．【分析】（1）读出数轴上的点表示的数值即可；（2）两点的距离，即两点表示的数的绝对值之和；（3）与点A的距离为2的点有两个，一个向左，一个向右．【解答】解：（1）根据所给图形可知A：1，B：﹣2.5；（2）依题意得：AB之间的距离为：1+2.5＝3.5；（3）设这两点为C、D，则这两点为C：1﹣2＝﹣1，D：1+2＝3．【点评】本题主要考查了学生对数轴的掌握情况，要会画出数轴，会读准数轴．题型二：绝对值一．填空题（共1小题）1．（2021春•徐汇区期中）绝对值小于2.5的整数有±2；±1；0．【分析】根据绝对值的意义得到整数±2；±1；0的绝对值都小于2.5．【解答】解：绝对值小于2.5整数±2；±1；0，故答案为±2；±1；0．【点评】本题考查了绝对值：若a＞0，则|a|＝a；若a＝0，则|a|＝0；若a＜0，则|a|＝﹣a．二．解答题（共3小题）2．（2021春•普陀区校级月考）若a＞0，＝1；若a＜0，＝﹣1；①若，则＝1；②若abc＜0，则＝1或﹣3．【分析】根据实数绝对值的性质|a|＝，根据a的符号确定它的绝对值是它本身还是绝对值即可．【解答】解：∵a＞0，∴|a|＝a，∴＝＝1；∵a＜0，∴|a|＝﹣a，∴＝＝﹣1，故答案为：1，﹣1；①∵，∴ab＜0，∴|ab|＝﹣ab，∴＝＝1，故答案为：1；②∵abc＜0，∴a、b、c中有一个负数、两个正数和三个负数两种情况，当a、b、c中有一个负数、两个正数时，＝﹣1+1+1＝1，当a、b、c中有三个负数时，＝﹣1﹣1﹣1＝﹣3，故答案为：1或﹣3．【点评】此题考查了分类讨论解决含字母参数绝对值的问题，关键是能确定含字母参数绝对值是它本身还是它的相反数．3．（2021春•杨浦区校级期中）已知非零实数a，b，c，|a|+a＝0，|ab|＝ab，|c|﹣c＝0，化简|b|﹣|a+b|﹣|c﹣b|+|a﹣c|．【分析】根据已知三等式判断出a，b及c的正负，进而确定出绝对值里边式子的正负，利用绝对值的代数意义化简，去括号合并即可得到结果．【解答】解：∵|a|+a＝0，|ab|＝ab，|c|﹣c＝0，∴a＜0，b＜0，c＞0，∴a+b＜0，c﹣b＞0，a﹣c＜0，∴原式＝﹣b+a+b﹣c+b﹣a+c＝b．【点评】此题考查了整式的加减，以及绝对值，涉及的知识有：去括号法则，以及合并同类项法则，熟练掌握运算法则是解本题的关键．同时注意根据有理数的运算法则正确判断含有字母的式子的符号．4．（2022春•宝山区校级月考）若x＞0，y＜0，求|x﹣y+2|﹣|y﹣x﹣3|的值．【分析】直接利用x，y的符号进而去绝对值，再合并求出答案．【解答】解：∵x＞0，y＜0，∴x﹣y+2＞0，y﹣x﹣3＜0，∵|x﹣y+2|﹣|y﹣x﹣3|＝x﹣y+2+（y﹣x﹣3）＝﹣1．【点评】此题主要考查了绝对值，正确得出各式的符号是解题关键．题型三：非负数的性质：绝对值一．填空题（共2小题）1．（2021春•浦东新区月考）已知|x﹣4|+|5+y|＝0，则（x+y）的值为﹣．【分析】根据非负数的性质列式求出x、y的值，然后代入代数式进行计算即可得解．【解答】解：根据题意得，x﹣4＝0，5+y＝0，解得x＝4，y＝﹣5，所以，（x+y）＝×（4﹣5）＝﹣．故答案为：﹣．【点评】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．2．（2021春•杨浦区校级期末）|2x﹣4|+|x+2y﹣8|＝0，则（x﹣y）2021＝﹣1．【分析】根据非负数的性质列出二元一次方程组，求解得到x、y的值，再代入代数式进行计算即可得解．【解答】解：根据题意得，，由①得，x＝2，把x＝2代入②得，2+2y﹣8＝0，解得y＝3，∴（x﹣y）2021＝（2﹣3）2021＝﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题考查了解二元一次方程组，利用非负数的性质．解题的关键是掌握解二元一次方程组的方法，能够正确利用非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0求出x、y的值．二．解答题（共1小题）3．（2021春•上海期中）已知：△ABC中，BC＝a，AC＝b，AB＝c，a是最小的合数，b、c满足等式：|b﹣5|+（c﹣6）2＝0，点P是△ABC的边上一动点，点P从点B开始沿着△ABC的边按BA→AC→CB顺序顺时针移动一周，回到点B后停止，移动的路程为S，如图1所示．（1）试求出△ABC的周长；（2）当点P移动到AC边上时，化简：|S﹣4|+|3S﹣6|+|4S﹣45|．【分析】（1）根据a是最小的合数，b、c满足等式：|b﹣5|+（c﹣6）2＝0，找到a、b、c的值即可计算△ABC的周长；（2）当点P移动到AC边上时，6≤S≤11，再去绝对值化简即可求值．【解答】解：（1）∵a是最小的合数，∴a＝4，又∵|b﹣5|+（c﹣6）2＝0，∴b＝5，c＝6，∴C△ABC＝4+5+6＝15，（2）由题意得当点P移动到AC边上时，6≤S≤11，原式＝S﹣4+3S﹣6+45﹣4S＝35．【点评】本题考查偶次方的非负性以及绝对值的非负性，本题讨论出S的取值范围化简绝对值是解题关键．题型四：有理数乘方的应用一．填空题（共5小题）1．（2022春•明水县期末）地球表面的总面积是（五亿一千零八万三千零四十二）平方千米，括号里的数写作510083042km2；省略亿后面的尾数约是5亿平方千米．【分析】按照整数的写法和四舍五入求近似值法进行求解．【解答】解：∵五亿一千零八万三千零四十二记作510083042，省略亿后面的尾数约是5亿平方千米，故答案为：510083042，5．【点评】此题考查了整数的写法和求近似值等问题的解决能力，关键是能准确理解并运用相关知识．2．（2022春•徐汇区校级期中）如图为一正方形网，若在第一个点上放1枚棋子，在第二个点上放2枚棋子，在第三个点上放4枚棋子，在第四个点上放8枚棋子，以次类推，则在最后一个点上应放224枚棋子．（结果用幂的形式表示）【分析】第1个点放1枚，即20枚；第2个点放2枚，即21枚；第3个点放4枚，即22枚；第4个点放8枚，即23枚；……此正方形网格格点共5×5＝25个格点，所以，第25个点放224．【解答】解：第1个点放1枚，即20枚；第2个点放2枚，即21枚；第3个点放4枚，即22枚；第4个点放8枚，即23枚；……第n个点放2n﹣1枚．此正方形网格格点共5×5＝25个点，所以，第25个点放225﹣1＝224．故答案为：224．【点评】本题考查的是数字规律题，关键是根据前几个条件，找到规律是：第n个点放2n﹣1枚．3．（2021春•宝山区期末）如果有理数a满足a61＜0，在数轴上点A所表示的数是a622，点B所表示的数是a2021；那么在数轴上点A在点B（填点A和点B中哪个点在哪个点）的右边．【分析】利用a61＜0可知a＜0，于是可得a622＞0，a2021＜0，根据原点左边的数为负数，原点右边的数为正数可得结论．【解答】解：∵a61＜0，∴a＜0．∴a622＞0，a2021＜0，∴点A在点B的右边．故答案为：点A在点B．【点评】本题主要考查了有理数的乘方，数轴．利用负数的偶次方是正数，负数的奇数次方是负数的法则是解题的关键．4．（2021春•杨浦区校级期中）阅读理解：①根据幂的意义，an表示n个a相乘；则am+n＝am•an；②an＝m，知道a和n可以求m，我们不妨思考；如果知道a，m，能否求n呢？对于an＝m，规定[a，m]＝n，例如：62＝36，所以[6，36]＝2．记[5，x]＝4m，[5，y﹣3]＝4m+2；y与x之间的关系式为y＝25x+3．【分析】由题意得：x＝54m，y﹣3＝54m+2，然后根据同底数幂的逆用得问题的答案．【解答】解：由题意得：x＝54m，y﹣3＝54m+2，∴y﹣3＝54m×52＝25x，即y＝25x+3．故答案为：y＝25x+3．【点评】本题考查了有理数的乘方、同底数幂乘法的逆用，正确理解新规定是解题的关键．5．（2020春•松江区期末）将一张纸对折一次可裁2张，对折两次可裁4张，对折四次可裁16张．【分析】根据已知找到规律，即可列式求出答案．【解答】解：根据题意得：将一张纸对折四次可裁24＝16（张），故答案为：16．【点评】本题考查有理数的乘方运算，解题的关键是掌握有理数乘方的意义和运算法则．二．解答题（共2小题）6．（2019春•普陀区期中）某数的2倍减去﹣4的差等于﹣6的平方，求这个数．【分析】设这个数是x，一个数的2倍是2x，2x减去﹣4的差等于﹣6的平方，列出方程进行解答即可．【解答】解：设这个数是x，根据题意，得2x﹣（﹣4）＝（﹣6）2，2x+4＝36，2x＝32，x＝16．答：这个数是16．【点评】本题考查了有理数的运算．解题的关键是能够根据题意，先弄清运算顺序，然后再列式计算．7．（2021春•浦东新区月考）请认真阅读下面材料，并解答下列问题如果a（a＞0，a≠1）的b次幂等于N，即指数式ab＝N，那么数b叫做以a为底N的对数，对数式记作：logaN＝b．例如：①因为指数式22＝4，所以以2为底4的对数是2，对数式记作：log24＝2；②因为指数式42＝16，所以以4为底16的对数是2，对数式记作：log416＝2．（1）填空：指数式62＝36对应的对数式是log＝2；对数式log327＝3对应的指数式是33＝27．（2）计算：log232+log5625．【分析】（1）直接利用对数式的定义分析得出答案；（2）直接利用对数式的定义得出各数求出答案．【解答】解：（1）指数式62＝36对应的对数式是：log＝2，对数式log327＝3对应的指数式是：33＝27；故答案为：log＝2，33＝27；（2）log232+log5625＝5+4＝9．【点评】此题主要考查了有理数的乘方，正确理解对数式定义是解题关键．题型五：算“24点”一、填空题1．（2022秋·广东河源·七年级校考期末）“点的规则是四个数用且只用一次进行加、减、乘、除四则运算，使结果等”．现在有四个有理数，，，，运用上述规则列出算式_____．【答案】【分析】由“24点”游戏规则，根据，，，，列出算式，利用有理数的混合运算法则计算，其结果为24，可得出此算式满足题意．【详解】解：，按上述规则写出的算式为：．故答案为：．【点睛】本题考查了有理数的混合运算的应用，有理数的混合运算首先弄清运算顺序，先乘方，再乘除，最后算加减，有括号先算括号里边，同级运算从左到右依次进行计算，然后利用各种运算法则计算．2．（2022秋·四川绵阳·七年级统考期中）有一种叫做“24点”的游戏，其游戏规则是这样的：将4个绝对值为1至13之间的数进行加、减、乘、除四则运算（每个数只能用一次，可以加括号），使其结果为24．例如，1，2，3，4可做运算．现有4个有理数3，4，，10，运用上述规则，写出一个的算式______，使其结果为24．【答案】（答案不唯一）【分析】根据题意写出符合题意的算式，本题答案不唯一；【详解】解：；；；；故答案为：或或或．【点睛】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的法则和运算顺序．3．（2023秋·广东河源·七年级校考期末）做数学“24点”游戏时，抽到的数是：，3，4，；你列出算式是：______（四个数都必须用上，而且每个数只能用一次．可以用加、减、乘、除、乘方运算，也可以加括号，列一个综合算式，使它的结果为24或）．【答案】【分析】利用加、减、乘、除、乘方运算得出即可．【详解】解：抽到的数是：，3，4，，列出的算式是．故答案为：．【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数混合运算法则．4．（2021秋·福建宁德·七年级校考阶段练习）你玩过24点游戏吧，请你运用加、减、乘、除运算和括号，写出数5、5、5、1得到24的算式__________（每个数只能用一次）．【答案】5×（51÷5）=24【分析】根据，列出正确算式即可．【详解】解：5×（51÷5）=24，故答案为：5×（51÷5）=24．【点睛】本题考查了有理数的混合运用，解题关键是恰当的运用运算符号和括号列出准确算式．二、解答题5．（2023秋·重庆·七年级统考期末）有一种“24点”游戏的规则是这样的：任取4个1至13之间的自然数，将这4个数（每个数用且只用一次）进行有理数的混合运算，使其结果等于24．(1)现有4个有理数3，4，，10，运用上述规则写出三种不同方法的运算式子，使其结果等于24；(2)对于4个数3，，7，，你能行吗？(3)如果在2，，4，，6这几个数中任意挑选4个，试试看，你能运用上述规则写出运算式子，使其结果等于24吗？【答案】(1)，，(2)(3)【分析】（1）按照要求的规则，写出算式，并计算验证满足条件即可；（2）按照要求的规则，写出算式，并计算验证满足条件即可；（3）按照要求的规则，写出算式，并计算验证满足条件即可．【详解】（1）解：∵，，,∴，，三种不同方法的运算式子满足要求；（2）∵，∴满足要求；（3）∵，∴满足要求．【点睛】此题考查了有理数的混合运算，读懂规则，找到正确的算式是解题的关键．6．（2022秋·河北保定·七年级统考期中）有个填写运算符号的游戏：在“1□2□6□9”中的每个□内，填入+，，×，÷中的某一个（可重复使用），然后计算结果．(1)计算：；(2)若□，请推算□内的符号；(3)将1，2，6，9这4个数字进行+，，×，÷混合运算，每个数字只能用一次，使结果为24，写出一个运算式子．【答案】(1)(2)(3)（答案不唯一）【分析】（1）根据有理数的加减法可以解答；（2）根据题目中式子的结果，可以得到□内的符号；（3）根据有理数运算法则列式计算即可．【详解】（1）解：；（2）解：□，□，□，□内的符号是“”；（3）解：(答案不唯一)【点睛】本题考查有理数的混合运算，解答本题得关键是明确有理数混合运算法则．7．（2022秋·湖北孝感·七年级统考期末）小明有5张写着不同数字的卡片，请你按要求选择卡片，完成下列各问题：(1)从中选择两张卡片，使这两张卡片上数字的乘积最大．这两张卡片上的数字分别是________，积为________；(2)从中选择两张卡片，使这两张卡片上数字相除的商最小．这两张卡片上的数字分别是________，商为________；(3)从中选择4张卡片，每张卡片上的数字只能用一次，选择加、减、乘、除中的适当方法（可加括号），使其运算结果为24，写出运算式子及运算过程．（写出一种即可）【答案】(1)5和3，15(2)5和+3，；(3)(答案不唯一)【分析】（1）依题意，积为正数才有最大值，也就是必须选择同号的两个数相乘，然后取积最大的两个卡片即可．（2）依题意，商为负数才最小值，也就是必须选择异号的两个数相除且被除数的绝对值要大于除数的绝对值，然后选择商最小的两个卡片即可．（3）把分解因数，可得到，，，然后找到合适的卡片能够通过运算得到的因数即可．【详解】（1）依题意，积为正数才有最大值，选择同号的两个数相乘则有，积最大为，选择卡片和卡片；故答案为：5和3，15；（2）依题意，商为负数才最小值，选择异号的两个数相除且被除数的绝对值要大于除数的绝对值．则有，，商最小为，所选择卡片和卡片，故答案为：5和+3，；（3）【点睛】本题考查了有理数的混合运算，掌握有理数的运算法则是解题的关键．8．（2023秋·辽宁鞍山·七年级统考期末）小明和同学们玩扑克牌游戏．游戏规则是：从一副扑克牌（去掉“大王”“小王”）中任意抽取四张，根据牌面上的数字进行混合运算，其中J代表11、Q代表12、K代表13，若每张牌上的数字只能用一次，并使得运算结果等于24．(1)小明抽到的牌如图所示，请帮小明列出一个结果等于24的算式；(2)请你抽取任意数字不相同的4张扑克牌，并列出一个结果等于24的算式．【答案】(1)，答案不唯一(2)见解析【分析】（1）根据题意将其进行有理数的混合运算得到24即可；（2）假设一组数字，再进行计算即可．【详解】（1）由题意得：；（2）由题意得，假设抽取的卡牌上的数字为：2、3、4、6，则．（答案不唯一）【点睛】本题考查了有理数的混合运算的应用，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键．9．（2023秋·河北石家庄·七年级统考期末）小刚与小明在玩数字游戏，现有5张写着不同数字的卡片（如图），小刚请小明按要求抽出卡片，完成下列问题：(1)从中抽取2张卡片，使这2张卡片上数字的乘积最大，如何抽取?最大值是多少？(2)从中抽取2张卡片，使这2张卡片上数字相除的商最小，如何抽取?最小值是多少？(3)从中抽取4张卡片，用学过的运算方法，使结果为24，如何抽取?写出运算式子．（一种即可）【答案】(1)抽取5和4，20；(2)抽取和5，；(3)见解析．【分析】（1）根据题意和给出的五张卡片可以解答本题；（2）根据题意和给出的五张卡片可以解答本题；（3）根据题意可以写出相应的算式即可．【详解】（1）解：由题意可得，从中抽取2张卡片，使这2张卡片上数字的乘积最大，抽取5和4，最大值是，即抽取5和4，最大值是20．（2）解：由题意可得，从中抽取2张卡片，使这两张卡片数相除的商最小，抽取和5，最小值是，即抽取和5，最小值是．（3）由题意可得，解：（答案不唯一），即抽取0、、4、即可满足．【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算、有理数大小的比较等知识点，掌握有理数的混合运算法则是解答本题的关键．10．（2022秋·湖北宜昌·七年级校考期中）现有5张卡片写着不同的数字，利用所学过的加、减、乘、除、乘方运算按要求解答下列问题（每张卡片上的数字只能用一次）．(1)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字的和最小，则和的最小值为_________．(2)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字的差最大，则差的最大值为________．(3)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字相除的商最大，则商的最大值为_________．(4)从中取出3张卡片，使这3张卡片上数字的乘积最大，乘积的最大值为__________．(5)从中取出4张卡片，使这4张卡片上的数字运算结果为24．写出两个不同的等式，分别为，．【答案】(1)9(2)11(3)6(4)90(5)，【详解】（1）解：这五个数中，最小的两个数是3和6，所以要使这2张卡片上数字的和最小，则和的最小值为．故答案为：9；（2）解：这五个数中，最小的两个数是6，最大的数是5，所以要使这2张卡片上数字的差最大，则差的最大值为．故答案为：11；（3）解：取出6和1，相除得．所以商的最大值为6；故答案为：6（4）解：取出6，3,5，则乘积的最大值为．故答案为：90；（5）解：，．故答案为：，．【点睛】本题考查了有理数的加减乘除以及混合运算，熟知有理数的运算法则是解题关键．11．（2022秋·陕西延安·七年级校考阶段练习）乐乐有5张写着以下数字的卡片．请你按要求抽出卡片，解决下列问题．(1)从中取出2张卡片，使这2张卡片上的数字相乘的积最大，求出最大值；(2)从中取出2张卡片，使这2张卡片上的数字相除的商最小，求出最小值；(3)从中取出4张卡片．用学过的运算方法，使计算结果为24，请写出一种符合要求的运算式子．（注：每个数字只能用一次）【答案】(1)15(2)(3)见解析【分析】（1）找出两张卡片，使其积最大即可；（2）找出两张卡片，使其商最小即可；（3）找出四张卡片，利用24点游戏规律列出算式即可．【详解】（1）解：抽取的2张卡片是、，乘积的最大值为15．（2）抽取的2张卡片是、1，商的最小值．（3）抽取的4张卡片是、1、3、4，算式为或（答案不唯一）．【点睛】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．12．（2022秋·浙江·七年级专题练习）点游戏是一种扑克牌类的益智类游戏，游戏规则是：从一副扑克牌（去掉大小王）中任意抽取张牌，根据牌面上的数字进行混合运算（每张牌必须用且只能用一次，可以加括号），使得运算结果为或．例如：抽到的数字为“，，，”，则