4.1.2认识三角形（备作业）2021-2022学年七年级数学下册(北师大版)

4.1.2认识三角形一、单选题1．下面四个图形中，线段BE能表示三角形ABC的高的是（

）A．B．C． D．【答案】B【分析】根据三角形的高的定义（从三角形一个顶点向它的对边作一条垂线，三角形顶点和它对边垂足之间的线段称为三角形这条边上的高）即可得．【解析】解：由三角形的高的定义可知，只有选项B中的线段能表示三角形的高，故选：B．【点睛】本题考查了三角形的高，熟记定义是解题关键．2．下列说法中正确的是（

）A．三角形的三条中线必交于一点 B．直角三角形只有一条高C．三角形的中线可能在三角形的外部 D．三角形的高线都在三角形的内部【答案】A【分析】根据三角形中线及高线的定义逐一判断即可得答案．【解析】A.三角形的三条中线必交于一点，故该选项正确，B.直角三角形有三条高，故该选项错误，C.三角形的中线不可能在三角形的外部，故该选项错误，D.三角形的高线不一定都在三角形的内部，故该选项错误，故选：A．【点睛】本题考查三角形的中线及高线，熟练掌握定义是解题关键．3．如图，在中，AB＝2020，AC＝2018，AD为中线，则与的周长之差为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】由AD为的中线，可得：，再利用，即可得到答案．【解析】解：AD为的中线，，，故选【点睛】本题考查的是三角形的中线的概念，掌握三角形的中线的含义是解题的关键．4．用直角三角板作△ABC的边AB上的高，下列直角三角板位置摆放正确的是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高，根据高线的定义即可得出结论．【解析】解：A、作出的是△ABC中BC边上的高线，故本选项错误；B、作出的是△ABC中AC边上的高线，故本选项正确；C、不能作出△ABC中BC边上的高线，故本选项错误；D、作出的是△ABC中AB边上的高线，故本选项错误；故选D．【点睛】本题考查的是作图基本作图，熟知三角形高线的定义是解答此题的关键．5．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC且与BC相交于点D，∠B=40°，∠BAD=30°，则∠C的度数是（）A．70°B．80°C．100°D．110°【答案】B【分析】利用三角形角平分线的性质和内角和是180度的性质可知．【解析】解：AD平分∠BAC，∠BAD=30°，∴∠BAC=60°，∴∠C=180°﹣60°﹣40°=80°．故选B．6．如图，中，，G为AD的中点，延长BG交AC于点E，F为AB上一点，且于点H，下列判断中，正确的个数是（

）①BG是的边AD上的中线；②AD既是的角平分线，也是的角平分线；③CH既是的边AD上的高，也是的边AH上的高．A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】根据三角形中线的定义、三角形角平分线的定义和三角形高的定义逐一判断即可．【解析】解：因为G为AD的中点，所以BG是的边AD上的中线，故①正确；因为，所以AD是的角平分线，AG是的角平分线，故②错误；因为于点H，所以CH既是的边AD边上的高，也是的边AH上的高，故③正确，综上正确的有2个故选C．【点睛】此题考查的是三角形中线、角平分线和高的识别，掌握三角形中线的定义、三角形角平分线的定义和三角形高的定义是解决此题的关键．7．如图所示，在△ABC中，∠B＝67°，∠C＝33°，AD是△ABC的角平分线，则∠CAD的度数为（

）A．40° B．45° C．50° D．55°【答案】A【分析】首先利用三角形内角和定理求得∠BAC的度数，然后利用角平分线的性质求得∠CAD的度数即可．【解析】解：∵∠B=67°，∠C=33°，∴∠BAC=180°∠B∠C=180°67°33°=80°∵AD是△ABC的角平分线，∴∠CAD=∠BAC=×80°=40°故选：A．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，掌握三角形内角和等于180°是解题的关键．8．如图，在中，若，点E是BC边上一点，且不与点B，C，D重合，则以AD为高的三角形的个数为（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】C【分析】根据三角形高的定义即可求解．【解析】解：∵在中，，点E是BC边上一点，且不与点B，C，D重合，∴AD是，的高，共6个，故选C．【点睛】此题主要考查三角形的高，解题的关键是熟知三角形高的定义．9．如图，D，E分别是的边AC，BC的中点，则下列说法错误的是（

）A．DE是的中线 B．BD是的中线C． D．BD是的角平分线【答案】D【分析】根据三角形的中线、线段中点的定义、三角形的角平分线判断即可得．【解析】点D，E分别是的边AC，BC的中点，，是的边AC上的中线，DE是的边BC上的中线，则选项A、B、C正确，因为BD不一定平分，所以选项D错误，故选：D．【点睛】本题考查了三角形的中线、线段中点的定义、三角形的角平分线，掌握理解三角形中线的定义是解题关键．10．如图，在中，已知点、分别为、的中点，，且的面积12，则的面积为（

）A．5 B． C．4 D．【答案】C【分析】由点D是BC的中点，可得△ABD的面积=△ACD的面积=S△ABC，由E是AD的中点，得出△ABE的面积=△DBE的面积=△ABC的面积，进而得出△BCE的面积=△ABC的面积，再利用EF=2FC，求出△BEF的面积．【解析】解：∵点D是BC的中点，△ABC的面积12，∴△ABD的面积=△ACD的面积=S△ABC=6，∵E是AD的中点，∴△ABE的面积=△DBE的面积=△ABC的面积=3，△ACE的面积=△DCE的面积=△ABC的面积=3，∴△BCE的面积=△ABC的面积=6，∵EF=2FC，∴△BEF的面积=×6=4，故选：C．【点睛】本题主要考查了三角形的面积，解题的关键是根据中点找出三角形的面积与原三角形面积的关系．二、填空题11．三角形一个角的________与这个角的对边相交，以这个角的________和________为端点的线段叫做三角形的角平分线．一个角的平分线与三角形的角平分线的区别是（请写出两条）：（1）_________；（2）_________．【答案】

平分线

顶点

交点

角的平分线有且只有一条，三角形的角平分线有三条

角的平分线是射线，三角形的角平分线是线段【分析】根据三角形角平分线的定义填空即可．【解析】解：∵三角形一个角的平分线与这个角的对边相交，以这个角的顶点和交为端点的线段叫做三角形的角平分线．三角形有三条角平分线，角的平分线只有一条．故答案为：平分线，顶点，交点，角的平分线有且只有一条，三角形的角平分线有三条，角的平分线是射线，三角形的角平分线是线段．【点睛】本题考查了角平分线的定义，三角形一个角的平分线与这个角的对边相交，以这个角的顶点和交为端点的线段叫做三角形的角平分线．解题关键是熟记三角形角平分线的定义．12．若∠AOB=4∠α,OC为∠AOB的角平分线，则∠AOC=_____∠α.【答案】2【分析】根据角平分线的定义求解即可.【解析】解：∠AOC=∠AOB=×4∠α=2∠α.【点睛】本题考查了角平分线的性质：从角的顶点引一条射线，把这个角分成相等的两部分，那么这条射线叫这个角的平分线．13．在△ABC中，AD、AE分别是中线和高，∠BAC=90°，AB=12cm，AC=5cm，BC=13cm，则线段AE的长为__________，△ABD的面积为_________．【答案】

【分析】根据三角形面积公式可得AB⋅AC=BC⋅AE，依此可求AE的长；根据三角形面积公式计算出S△ABC=30cm2，然后利用AD是边BC的中线得到S△ABD=S△ABC．【解析】解：∵∠BAC=90°，AE是边BC上的高，∴AB⋅AC=BC⋅AE，∴AE==5×12÷13=(cm)，即AE的长度为cm；如图，∵△ABC是直角三角形，∠BAC=90°，AC=5cm，AB=12cm，∴S△ABC=AB⋅AC=×12×5＝30(cm2)．又∵AD是边BC的中线，∴S△ABD=S△ACD=S△ABC=15(cm2)．∴△ABN的面积是15cm2；故答案为：cm；15cm2．【点睛】本题考查了三角形的面积：三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S△=×底×高．三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．14．如图，在△ABC中，AD是BC上的中线，DE=3AE，若S△ABC=48，则S△ABE=_________．【答案】6【分析】据AD是△ABC的边BC上的中线得出S△ABD=S△ABC=24，再由△ABD与△ABE是同高的两个三角形即可求出S△ABE．【解析】解：∵AD是△ABC的边BC上的中线，S△ABC=48，∴S△ABD=24，∵DE=3AE，∴S△ABE=S△ABD=6；故答案为：6．【点睛】本题考查了三角形的面积．中线能把三角形的面积平分，利用这个结论就可以求出三角形△ABE的面积．15．在直角三角形中，，，，是边的中线，则边上的高为__，的面积__．【答案】

4

3【分析】根据三角形的高线的定义知BC是边AC上的高线．由三角形中线的定义知AD＝BD，则△ACD与△BCD的等底同高的两个三角形，它们的面积相等．【解析】如图，，，是边上的高，即边上的高为，又是边的中线，，．故答案是：4；3．【点睛】本题考查了三角形的面积，三角形的角平分线、中线和高．此题利用了“等底同高”的两个三角形的面积相等来求△BCD的面积的．16．已知如图所示AD、AE分别是△ABC的中线、高，且AB=5cm，AC=3cm，,则△ABD与△ACD的周长之差为_________，△ABD与△ACD的面积关系为_________.【答案】

2cm

相等【分析】根据△ABD与△ACD的周长的差=ABAC，三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形，由此即可解答．【解析】解：△ABD的周长=AB+AD+BD，△ACD的周长=AC+AD+CD，∵AD是BC的中线，∴BD=CD，∵AB=5cm，AC=3cm，∴△ABD的周长△ACD的周长=AB+AD+BDACADCD=ABAC=2（cm），∵△ABD与△ACD的底相等，高都是AE，∴它们的面积相等．故答案为2cm；相等．【点睛】本题考查了三角形的中线概念和性质，熟知三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分是解题的关键．17．如图，某地有三个车站A，B，C，顺次连接AB，BC，CA，构成三角形，一辆公共汽车从B站前往C站．（1）当汽车行驶到点D时，刚好有，连接AD，AD这条线段是中BC边上的____________，在中，这样的线段有____________条，此时____________（填“有”或“没有”）面积相等的三角形；（2）汽车继续向前行驶，当行驶到点E时，发现，那么AE这条线段是中的____________，在中，这样的线段有____________条；（3）汽车继续向前行驶，当行驶到点F时，发现，那么AF是中BC边上的____________，在中，这样的线段有____________条．【答案】（1）中线，3，有；（2）角平分线，3；（3）高，3【分析】（1）由于BD=CD，则点D是BC中点，AD是中线，一个三角形有三条中线，三角形的中线把三角形成面积相等的两个三角形；（2）由于，得到AE是三角形的角平分线，一个三角形有三条角平分线；（3）由于，得到AF是三角形高，一个三角形有三条高．【解析】解：（1）AD是中BC边上的中线，在中，这样的线段有3条，此时△ABD与△ACD面积相等；（2）AE这条线段是中的角平分线，在中，这样的线段有3条；（3）AF是中BC边上的高，在中，这样的线段有3条．故答案为：（1）中线，3，有；（2）角平分线，3；（3）高，3．【点睛】本题考查了三角形的高线、角平分线、中线的概念，理解好相关概念是解题关键．18．如图，点D在线段BC上，AC⊥BC，AB＝8cm，AD＝6cm，AC＝4cm，则在△ABD中，BD边上的高是__cm．【答案】4cm【分析】从三角形的一个顶点向它对边所作的垂线段（顶点至对边垂足间的线段）,叫做三角形的高．这条边叫做底．【解析】因为AC⊥BC，所以三角形ABD中，BD边上的高是：AC=4cm故答案为：4cm【点睛】考核知识点：三角形的高．理解三角形的高的定义是关键．19．如图，在中，是边上的高，平分，若，，则__________．【答案】50°【分析】由角平分线的定义和已知可求出∠BAC，由是边上的高和已知条件可以求出∠C，然后运用三角形内角和定理，即可完成解答.【解析】解：∵平分，若∴=2；又∵是边上的高，∴=90°又∵+∠B+∠C=180°∴∠B=180°60°70°=50°故答案为50°.【点睛】本题考查了角平分线、高的定义以及三角形内角和的知识，考查知识点较多，灵活运用所学知识是解答本题的关键.20．如图，在△ABC中，已知点D、E、F分别为边BC、AD、CE的中点，若△ABC的面积为16，则图中阴影部分的面积为_____．【答案】4.【分析】因为点F是CE的中点，所以△BEF的底是△BEC的底的一半，△BEF高等于△BEC的高；同理，D、E、分别是BC、AD的中点，可得△EBC的面积是△ABC面积的一半；利用三角形的等积变换可解答．【解析】解：解：如图，点F是CE的中点，∴△BEF的底是EF，△BEC的底是EC，即EF=EC，而高相等，∴S△BEF=S△BEC，∵E是AD的中点，∴S△BDE=S△ABD，S△CDE=S△ACD，∴S△EBC=S△ABC，∴S△BEF=S△ABC，且S△ABC=16，∴S△BEF=4，即阴影部分的面积为4cm2．故答案为4．【点睛】本题主要考查了三角形面积及三角形面积的等积变换，三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．三、解答题21．如图，在中，分别是边上的中线和高，．求和的长．【答案】【分析】根据的面积和高即可求得，再根据三角形的中线从而求得和．【解析】解：在中，是边上的高，，，，，∵是边上的中线，∴，∴，∴的长为3cm，的长为1.5cm．【点睛】本题考查了三角形面积的有关计算以及三角形的中线的应用，本题中正确的计算是解题的关键．22．如图，在中（），，边上的中线把的周长分成和两部分，求和的长．【答案】，【分析】由题意可得，，由中线的性质得，故可求得，即可求得．【解析】由题意知，，∵，D为BC中点∴∴即则BC=24，CD=BD=12则且28＞24符合题意．【点睛】本题考查了中线的性质，中线是三角形中从某边的中点连向对角的顶点的线段．23．如图，已知，AD、AE分别为△ABC的中线和高，AB=13，AC=5．（1）△ABD和△ACD的周长相差多少？（2）△ABD和△ACD的面积有什么关系，请说明理由．【答案】（1）△ABD和△ACD的周长相差是8；（2）△ABD和△ACD的面积相等．理由见解析．【分析】（1）分别表示出△ABD与△ACD的周长，由AD是BC的中线，可得它们的差＝AB−AC；（2）三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形，据此答题即可．【解析】（1）△ABD的周长是AB、BD、AD三边的和△ACD的周长是AC、CD、AD三边的和因为AD为△ABC的中线∴BD=DC所以△ABD和△ACD的周长差就是AB与AC的差故△ABD和△ACD的周长相差是8；（2）因为AD为△ABC的中线∴BD=DC所以△ABD和△ACD是等底同高的三角形故△ABD和△ACD的面积相等．【点睛】本题主要考查了三角形的中线，高的概念和性质，三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分是解答此题的关键．24．（1）如图1，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，画出△ABC的中线AT；（2）如图2，在△FGH中，画出边GH的高FM，边GF的高HN和边FH的高GP．【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）连接,交于点，连接并延长与交于,即为△ABC的中线；（2）用直角三角板的一条直角边与所画的高线的边重合，另一条直角边过另一个顶点，即可作出相应边的高．【解析】解：（1）△ABC的中线AT如图所示：；（2）边GH的高FM，边GF的高HN和边FH的高GP，如图所示：．【点睛】本题考查了三角形的中线以及三角形的高，能够根据三角形中线和高的定义画出图形是解题的关键．25．如图，AD是△ABC的中线，E是AD的中点，连接EB，EC，CF⊥BE于点F．若BE＝9，CF＝8，求△ACE的面积．【答案】18【分析】根据三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分的知识进行解答即可．【解析】解：∵CF⊥BE于点F．BE＝9，CF＝8，∴S△BCE＝＝＝36，∵AD是△ABC的中线，∴BD＝CD，∴S△EBD＝S△ECD＝S△EBC＝18，∵点E是AD的中点，∴S△ACE＝S△ECD＝18，答：△ACE的面积18．【点睛】本题主要考查了三角形面积及三角形中线的性质，解题关键是明确三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．26．如图，AD是△ABC的边BC上的中线，已知AB=5，AC=3．（1）边BC的取值范围是；（2）△ABD与△ACD的周长之差为；（3）在△ABC中，若AB边上的高为2，求AC边上的高．【答案】（1）；（2）；（3）．【分析】（1）直接根据三角形三边关系进行解答即可；（2