专题28.1锐角三角函数-2020-2021学年九年级数学下册尖子生培优题典

20202021学年九年级数学下册尖子生同步培优题典【人教版】专题28.1锐角三角函数姓名：__________________班级：______________得分：_________________注意事项：本试卷满分100分，试题共24题，其中选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2020•河池）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AC＝12，则sinB的值是（）A．512 B．125 C．513 【分析】直接利用勾股定理得出AB的长，再利用锐角三角函数得出答案．【解析】如图所示：∵∠C＝90°，BC＝5，AC＝12，∴AB=52∴sinB=AC故选：D．2．（2019秋•玉环市期末）Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝4，cosA=45，则A．125 B．165 C．203 【分析】直接利用锐角三角函数关系得出答案．【解析】如图所示：∵∠C＝90°，AB＝4，cosA=4∴cosA=AC故AC=16故选：B．3．（2020•普陀区一模）已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA=1A．cosB=13 B．cotA=13 C．tanA=22【分析】利用同角三角函数的关系解答．【解析】在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA=13，则cosA、cosB＝sinA=1B、cotA=cosAsinA=C、tanA=sinAD、cotB＝tanA=2故选：A．4．（2018秋•枞阳县期末）在△ABC中，∠C＝90°，若cosA=13，则sinA．13 B．23 C．33 【分析】根据互余两角的三角函数的关系就可以求解．【解析】在△ABC中，∠C＝90°，∠A+∠B＝90°，则sinB＝cosA=1故选：A．5．（2018秋•市中区校级期中）已知α为锐角，且tanα=13，则sinA．23 B．105 C．31010【分析】根据tanα=13，设出关于两边的代数表达式，再根据勾股定理求出第三边长的表达式，即可推出sin【解析】设在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝α，则sinα=ac，tanα=ab，a2+b2∵tanα=1∴可设a＝x，则b＝3x，∴c=a2∴sinα=a故选：D．6．（2020•岳麓区模拟）如图，在6×6的正方形网格中，△ABC的顶点都在小正方形的顶点上，则tan∠BAC的值是（）A．45 B．43 C．34 【分析】过点B作BD⊥AC，交AC延长线于点D，利用正切函数的定义求解可得．【解析】如图，过点B作BD⊥AC，交AC延长线于点D，则tan∠BAC=BD故选：C．7．（2019秋•港南区期末）在Rt△ABC中，AC＝8，BC＝6，则cosA的值等于（）A．35 B．74 C．45或74 D【分析】因为原题没有说明哪个角是直角，所以要分情况讨论：①AB为斜边，②AC为斜边，根据勾股定理求得AB的值，然后根据余弦的定义即可求解．【解析】当△ABC为直角三角形时，存在两种情况：①当AB为斜边，∠C＝90°，∵AC＝8，BC＝6，∴AB=AC∴cosA=AC②当AC为斜边，∠B＝90°，由勾股定理得：AB=AC2∴cosA=AB综上所述，cosA的值等于45或7故选：C．8．（2019•崇川区二模）如图，在Rt△ABC中，斜边AB的长为m，∠A＝35°，则直角边BC的长是（）A．msin35° B．mcos35° C．msin35° D．【分析】根据正弦定义：把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦可得答案．【解析】sin∠A=BC∵AB＝m，∠A＝35°，∴BC＝msin35°，故选：A．9．（2017•费县模拟）如图，已知直线l1∥l2∥l3∥l4，相邻两条平行直线间的距离都是1，如果正方形ABCD的四个顶点分别在四条直线上，则sinα＝（）A．12 B．55 C．52 【分析】过D作EF⊥l1，交l1于E，交l4于F，易证△ADE≌△DCF，可得∠α＝∠CDF，DE＝CF．在Rt△DCF中，利用勾股定理可求CD，从而得出sin∠CDF，即可求sinα．【解析】过D作EF⊥l1，交l1于E，交l4于F，∵EF⊥l1，l1∥l2∥l3∥l4，∴EF和l2，l3，l4的夹角都是90°，即EF与l2，l3，l4都垂直，∴DE＝1，DF＝2．∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADC＝90°，AD＝CD，∴∠ADE+∠CDF＝90°，又∵∠α+∠ADE＝90°，∴∠α＝∠CDF，∵AD＝CD，∠AED＝∠DFC＝90°，∴△ADE≌△DCF，∴DE＝CF＝1，∴在Rt△CDF中，CD=CF∴sinα＝sin∠CDF=CF故选：B．10．（2009•黑河）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，若⊙O的半径为32，AC＝2，则sinBA．23 B．32 C．34 【分析】求角的三角函数值，可以转化为求直角三角形边的比，连接DC．根据同弧所对的圆周角相等，就可以转化为：求直角三角形的锐角的三角函数值的问题．【解析】连接DC．根据直径所对的圆周角是直角，得∠ACD＝90°．根据同弧所对的圆周角相等，得∠B＝∠D．∴sinB＝sinD=AC故选：A．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上11．（2019•杭州模拟）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝4，sinA=35，则斜边AB边上的高CD的长为【分析】作CD⊥AB于D，如图，在Rt△ACB中利用正弦的定义可计算出BC=125，再利用勾股定理计算出AC=16【解析】作CD⊥AB于D，如图，在Rt△ACB中，∵sinA=BC∴BC=35×∴AC=A∵12CD•AB=12AC∴CD=16即斜边上的高为4825故答案为：482512．（2018•闵行区一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，如果∠A＝α，AC＝4，那么BD＝4sinαtanα．（用锐角α的三角比表示）【分析】首先由已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，得出∠BCD＝∠A＝α，由直角△ACD求得CD，再由直角△BCD求出BD．【解析】在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，∴∠BCD＝∠A＝α，∴CD＝AC•sinα＝4sinα，∴BD＝CDtanα＝4sinαtanα．故答案为：4sinαtanα．13．（2020•铁东区三模）如图，将∠BAC放置在5×5的正方形网格中，如果顶点A、B、C均在格点上，那么∠BAC的正切值为1．【分析】连接BC，先利用勾股定理逆定理证△ABC是等腰直角三角形，再根据正切函数的定义可得．【解析】如图所示，连接BC，则AB＝BC=12+32=∴AB2+BC2＝10+10＝20＝AC2，∴△ABC是等腰直角三角形，且∠ABC＝90°，∴∠BAC＝45°，则tan∠BAC＝1，故答案为：1．14．（2017秋•蓝田县期末）如图，在Rt△ABC，∠C＝90°，sinB=45，AB＝15，则AC的值是12【分析】由sinB=ACAB得AC＝ABsin【解析】在Rt△ABC中，∵sinB=AC∴AC＝ABsinB＝15×45=故答案为：12．15．（2019•武侯区模拟）在Rt△ABC中，若∠C＝90°，sinA=23，则sinB＝5【分析】根据勾股定理及三角函数的定义进行解答即可．【解析】Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA=23，即设CB＝2x，则AB＝3x，根据勾股定理可得：AC=5x∴sinB=AC故答案为：5316．（2019•咸宁模拟）如图，P（12，a）在反比例函数y=60x图象上，PH⊥x轴于H，则tan∠POH的值为5【分析】利用锐角三角函数的定义求解，tan∠POH为∠POH的对边比邻边，求出即可．【解析】∵P（12，a）在反比例函数y=60∴a=6012∵PH⊥x轴于H，∴PH＝5，OH＝12，∴tan∠POH=5故答案为：51217．（2018•云梦县一模）如图，在Rt△ABD中，∠A＝90°，点C在AD上，∠ACB＝45°，tan∠D=23，则CDCA=【分析】由tan∠D=ABAD=23可设AB＝2x、AD＝3x，根据∠ACB＝45°知AC＝AB＝2x【解析】在Rt△ABD中，∵tan∠D=AB∴设AB＝2x，AD＝3x，∵∠ACB＝45°，∴AC＝AB＝2x，则CD＝AD﹣AC＝3x﹣2x＝x，∴CDCA故答案为：1218．（2018•即墨区自主招生）已知三角函数的变换公式：（a）cos（x+y）＝cosxcosy﹣sinxsiny，（b）sin（﹣x）＝﹣sinx，（c）cos（﹣x）＝cosx，则下列说法正确的序号是②③④．①cos（﹣30°）=-3②cos75°=6③cos（x﹣y）＝cosxcosy+sinxsiny；④cos2x＝cos2x﹣sin2x．【分析】根据已知中的定义以及特殊角的三角函数值即可判断．【解析】①cos（﹣30°）＝cos30°=3②cos75°＝cos（30°+45°）＝cos30°•cos45°﹣sin30°•sin45°=3③cos（x﹣y）＝cosxcos（﹣y）﹣sinxsin（﹣y）＝cosxcosy+sinxsiny，命题正确；④cos2x＝cosx•cosx﹣sinx•sinx＝cos2x﹣sin2x，命题正确；故答案为：②③④．三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（2019秋•昌平区期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA=13，BC＝2，求【分析】根据直角三角形的边角关系，求出AC，再根据勾股定理求出AB．【解析】∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∴tanA=BC∵BC＝2，∴2AC=13，∵AB2＝AC2+BC2＝40，∴AB=21020．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC，BC＝1，AC=5（1）求sinA的值．（2）你能通过sinA的值求sin∠CBD的值吗？若能，请求出sin∠CBD的值，若不能，请说明理由．【分析】（1）利用正弦的定义求解；（2）利用等角的余角相等证明∠A＝∠CBD，从而得到sin∠CBD＝sinA．【解析】（1）在Rt△ABC中，sinA=BC（2）能．∵BD⊥AC，∴∠BDC＝90°，∵∠CBD+∠C＝90°，∠A+∠C＝90°，∴∠A＝∠CBD，∴sin∠CBD＝sinA=521．（2018秋•无锡月考）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝15，sin∠A=35，求BC的长和tan∠【分析】利用锐角三角函数的定义可得BCAB=35，再代入AB的值可得【解析】∵sin∠A=3∴BCAB∵AB＝15，∴BC＝9；∴AC=AB∴tan∠B=AC22．（2017秋•宝山区期中）如图，△ABC中，AC＝13，BC＝21，tanC=125，求：边AB的长和∠【分析】过B作BF⊥AC于F，则∠AFB＝∠BFC＝90°，解直角三角形求出BF和CF，求出AF，根据勾股定理求出AB，再解直角三角形求出sinA即可．【解析】过B作BF⊥AC于F，则∠AFB＝∠BFC＝90°，在△BFC中，tanC=BF设BF＝12k，CF＝5k，由勾股定理得：（12k）2+（5k）2＝212，解得：k=21即BF=25213，CF∵AC＝13，∴AF＝13-105在△AFB中，由勾股定理得：AB=(252在△AFB中，sinA=BF23．（2020秋•浦东新区期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为点D，BC＝18，AD＝6．（1）求sinB的值；（2）点E在AB上，且BE＝2AE，过E作EF⊥BC，垂足为点F，求DE的长．【分析】（1）先利用等腰三角形三线合一的性质求出BD，然后在Rt△ABD中，利用勾股定理求出AB，再根据sinB=AD（2）由EF∥AD，BE＝2AE，可得BEAB=EFAD=【解析】（1）∵AB＝AC，AD⊥BC，BC＝18，∴BD＝DC=12BC＝∴AB=AD2∴sinB=AD（2）∵AD⊥BC，EF⊥BC，∴EF∥AD，∴BEAB∴EF=23AD=23×6＝4，BF=2∴DF＝BD﹣BF＝9﹣6＝3，在Rt△DEF中，DE=EF24．（2020•福州模拟）已知△ABC，AB＝AC，∠BAC＝90°，D是AB边上一点，连接CD，E是CD上一点，且∠AED＝45°．（1）如图1，若AE＝DE，①求证：CD平分∠ACB；②求ADDB（2）如图2，连接BE，若AE⊥BE，求tan∠ABE的值．【分析】（1）①想办法证明∠ACD＝∠CAE＝22.5°即可解决问题．②如图1中，过点D作DT⊥BC于T．证明DA＝DT，BD=2DT（2）如图2中，连接BE，过点C作CT⊥AT交AE的延长线于T．证明△ABE≌△CAT（AAS）可得结论．【解答】（1）①证明：∵AE＝DE，∴∠ADE＝∠DAE，∵∠CAD＝90°，∴∠ADC+∠ACD＝90°，∠DAE+∠CAE＝90°，∴∠CAE＝∠ACD，∴EA＝EC，∵∠AED＝45°＝∠CAE+∠ACD，∴∠ACD＝22.5°，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠ACB＝45°，∴∠BCD＝∠ACD＝2