专题08全等三角形证明方法一线三等角模型-2022-2023学年七年级数学下学期期中期末考点大串讲（北师大版）（原卷版）

专题08全等三角形证明方法——一线三等角模型基本模型：（1）条件：如图，是经过顶点C的一条直线，，E、F分别是直线上的两点，且，，，结论：.（2）条件：如图，直线经过的外部，，E、F分别是直线上的两点，且，，结论：①；②.（3）条件：如图，，，，结论：①；②.

（4）条件：如图，，，，结论：①；②.（5）条件：如图，，，，，结论：.例题精讲：例1．【一线三等角模型】如图1：点A、B、C在一条直线上，，当时，有．理由：∵，∴，，∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣请将全等证明过程补充完整．【模型运用】如图2：，，，求的面积；【能力提升】如图3：在等边中，A，C分别为、边上的动点，，连接，以为边在内作等边，连接，当点A从点E向点D运动（不与点D重合）时，的度数变化吗？如不变请求出它的度数，如变化，请说明它是怎样变化的？

例2．在中，，，直线经过点C，且于D，于E．（1）当直线绕点C旋转到图（1）的位置时，求证：①；②；（2）当直线绕点C旋转到图（2）的位置时，求证：；（3）当直线绕点C旋转到图（3）的位置时，请直接写出，，之间的等量关系．例3．如图，在中，，，点D在线段上运动（点D不与点B和点C重合），连接，作，交线段于点E．（1）在点D的运动过程中，的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请求出的度数；若不可以，请说明理由；（2）若，求证：．例4．已知和，，．连接、，过点A作于点H，反向延长线段交于点F．（1）如图1，当时①请直接写出与的数量关系：（填“＞”、“＜”、“＝”）②求证：（2）如图2，当时，上述①②结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．

例5．直线l经过点A，在直线l上方，．（1）如图1，，过点B，C作直线l的垂线，垂足分别为D、E．求证：；（2）如图2，D，A，E三点在直线l上，若（为任意锐角或钝角），猜想线段、、有何数量关系？并给出证明；（3）如图3，过点B作直线l上的垂线，垂足为F，点D是延长线上的一个动点，连结，作，使得，连结，．直线l与交于点G．求证：G是的中点．

专练过关：1．如图所示，工人赵师傅用10块高度都是1.5m的相同长方体新型建筑材料，垒了两堵与地面垂直的墙和，点P在上，已知，．（1）求证：；（2）求的长．2．如图，在中，，D、A、E三点都在直线m上，并且有，若，，求的长．3．如图，为等边三角形，点D为边上一点，先将三角板角的顶点与D点重合，平放三角板，再绕点D转动三角板，三角板角的两边分别与边、交于点E、点F，当时，如图（2）所示．求证：．4．如图，把一块直角三角尺的直角顶点C放置在水平直线上，在中，，，试回答下列问题：（1）若把三角尺绕着点C按顺时针方向旋转，当时，度；（2）在三角尺绕着点C按顺时针方向旋转过程中，分别作于M，于N，若，，求．（3）三角尺绕着点C按顺时针方向继续旋转到图3的位置，其他条件不变，则、与之间有什么关系？请说明理由．

5．已知：在中，，直线l过点A．（1）如图1，，分别过点B，C作直线l的垂线段，，垂足分别为D，E．①依题意补全图1；②用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明．（2）如图2，当时，设，作，点D，E在直线l上，直接用等式表示线段，，之间的数量关系为．6．已知，在中，，D，A，E三点都在直线m上，且，（1）如图①，若，则与的数量关系为，与的数量关系为；（2）如图②，判断并说明线段，与的数量关系；（3）如图③，若只保持，，点A在线段上以2cm/s的速度由点D向点E运动，同时，点C在线段上以xcm/s的速度由点E向点F运动，它们运动的时间为t（s）．是否存在x，使得与全等？若存在，求出相应的t的值；若不存在，请说明理由．7．在直线m上依次取互不重合的三个点D，A，E，在直线m上方有，且满足．（1）如图1，当时，猜想线段，，之间的数量关系是；（2）如图2，当时，问题（1）中结论是否仍然成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由；（3）拓展与应用：如图3，当时，点F为平分线上的一点，且，分别连接，，，，试判断的形状，并说明理由．

8．如图所示，在中，，点D是线段延长线上一点，且．点F是线段上一点，连接，以为斜边作等腰．连接，且．（1）