专题2.11一元二次方程应用-几何动点问题（专项训练）-2022-2023学年八年级数学下册《考点解读专题训练》（浙教版）

专题2.11一元二次方程应用几何动点问题（专项训练）1．（2022秋•拜泉县校级期中）如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝16cm，BC＝8cm，一动点P从点C出发沿着CB方向以2cm/s的速度运动，另一动点Q从A出发沿着AC边以4cm/s的速度运动，P、Q两点同时出发，运动时间为t（s）．（1）若△PCQ的面积是△ABC面积的，求t的值？（2）△PCQ的面积能否与四边形ABPQ面积相等？若能，求出t的值；若不能，说明理由．【解答】解：（1）当运动时间为ts时，CP＝2t，CQ＝（16﹣4t）cm，根据题意得：×2t（16﹣4t）＝××8×16，整理得：t2﹣4t+4＝0，解得：t1＝t2＝2．答：t的值为2．（2）△PCQ的面积不能与四边形ABPQ面积相等，理由如下：当运动时间为ts时，CP＝2t，CQ＝（16﹣4t）cm，根据题意得：×2t（16﹣4t）＝××8×16，整理得：t2﹣4t+8＝0，∵Δ＝（﹣4）2﹣4×1×8＝﹣16＜0，∴该方程没有实数根．∴△PCQ的面积不能与四边形ABPQ的面积相等．2．（2022秋•临澧县期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，点P从点A出发沿AB边向点B以1cm/s的速度运动，同时，点Q从点B出发沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，且当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动．问点P运动开始后第几秒时，△PBQ的面积等于8cm2？【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝90°，设点P运动开始后第t秒时，△PBQ的面积等于8cm2，由题意得：（6﹣t）•2t＝8，解得：t＝2或t＝4，答：点P运动开始后第2秒或4秒时，△PBQ的面积等于8cm2．3．（2022秋•市校级月考）如图，在矩形ABCD中，AB＝6m，BC＝8m，动点P以2m/s的速度从点B出发，B→A→C向终点B运动，同时动点Q以1ms的速度从点C出发，沿C→B向终点B移动，当一个点停止运动时，另一个点也停止运动，设运动时间为t．（1）当点P在AB上运动时，当t为何值时，S△PCQ＝4；（2）当PC＝CQ时，求t的值；（3）当点P运动到AC的中点时，求△PCQ的面积．【解答】解：（1）当点P在AB上运动时，设运动时间为t．∴PB＝2tm，CQ＝tm，∵S，∴，解得t＝2或t＝﹣2（不合题意，舍去），∴当点P在AB上运动时，当t＝2s时，S△PCQ＝4；（2）∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝90°，∵AB＝6m，BC＝8m，∴AC＝＝＝10（m），由题意得，当Q停止时需要8秒，∵2×8＝16，AB+AC＝16m，∴P点运动到C点停止，∴PC＝（16﹣2t）m，CQ＝tm，当PC＝CQ时，16﹣2t＝t，解得t＝，即当PC＝CQ时，求t的值为s；（3）如图，当点P运动到AC的中点时，作PE⊥BC于点E，∴PC＝5m，即16﹣2t＝5，解得t＝（m），∴CQ＝t＝m，∵PE⊥BC，∠B＝90°，∴PE∥AB，∵点P是AC的中点，∴点E是BC的中点，∴PE＝AB＝3（m），∴△PCQ的面积为：＝m2．4．（2022秋•市北区校级月考）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝20cm，BC＝15cm．现有动点P从点A出发，沿AC向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段CB向点B方向运动．如果点P的速度是4cm/s，点Q的速度是2cm/s，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动的时间为ts，（0≤t≤5）求：（1）当t为多少秒时，P、Q两点之间的距离是10cm？（2）用含t的代数式表示Rt△CPQ的面积S；（3）当t为多少秒时，？【解答】解：（1）若运动的时间为ts，则CP＝（20﹣4t）cm，CQ＝2tcm，∵∠C＝90°，PQ＝10cm，∴PC2+CQ2＝PQ2，即（20﹣4t）2+（2t）2＝102，解得t1＝3，t2＝5，答：当t为3秒或5秒时，P、Q两点之间的距离是10cm；（2）若运动的时间为ts，则CP＝（20﹣4t）cm，CQ＝2tcm，∴S＝CP•CQ＝（20﹣4t）×2t＝20t﹣4t2，∴Rt△CPQ的面积S＝20t﹣4t2（0≤t≤5）；（3）根据题意得：20t﹣4t2＝××20×15，解得t1＝2，t2＝3，答：当t为2秒或3秒时，．5．（2022秋•商州区校级月考）如图，A、B、C、D为矩形的4个顶点，AB＝16cm，BC＝6cm，动点P、Q分别以3cm/s、2cm/s的速度从点A、C同时出发，点Q从点C向点D移动．（1）若点P从点A移动到点B停止，点P、Q分别从点A、C同时出发，问经过2s时P、Q两点之间的距离是多少cm？（2）若点P从点A移动到点C停止，点Q随点P的停止而停止移动，点P、Q分别从点A、C同时出发，问经过多长时间△PBQ的面积为12cm2？【解答】解：（1）过点P作PE⊥CD于E，如图：根据题意得EQ＝16﹣2×3﹣2×2＝6（cm），PE＝AD＝6cm，在Rt△PEQ中，PE2+EQ2＝PQ2，∴36+36＝PQ2，∴PQ＝6cm；∴经过2s时P、Q两点之间的距离是6cm；（2）连接BQ，设经过ys后△PBQ的面积为12cm2，①当P在AB上，即0≤y≤时，则PB＝16﹣3y，∴PB•BC＝12，即×（16﹣3y）×6＝12，解得y＝4；②当P在BC上，即＜y≤时，BP＝3y﹣AB＝3y﹣16，QC＝2y，∴BP•CQ＝（3y﹣16）×2y＝12，解得y1＝6，y2＝﹣（舍去）；综上所述，经过4s或6s，△PBQ的面积为12cm2．6．（2021秋•天山区校级期末）如图，在长方形ABCD中，AB＝6cm，BC＝7cm，点P从点A开始沿边AB向点B以1cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向点C以2cm/s的速度移动，当点Q运动到点C时，两点停止运动，设运动时间为ts，多少秒后三角形BPQ的面积等于5cm2？【解答】解：由题意得：AP＝tcm，BQ＝2tcm，则PB＝（6﹣t）cm，∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝90°，∵三角形PBQ的面积等于5cm2，∴•2t•（6﹣t）＝5，解得：t1＝1，t2＝5，当t＝5s时，BQ＝2t＝10cm＞7cm，∴t＝5不符合题意，舍去，答：1秒后三角形BPQ的面积等于5cm2．7．（2022秋•涟水县期中）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，动点P，Q分别从点A，B同时开始移动（移动方向如图所示），点P的速度为1cm/s，点Q的速度为2cm/s，点Q移动到C点后停止，点P也随之停止运动，当△PBQ的面积为15cm²时，则点P运动的时间是多少秒？【解答】解：当运动时间为t秒时，AP＝tcm，BQ＝2tcm，∴BP＝AB﹣AP＝（8﹣t）cm．依题意得：BQ•BP＝15，即×2t（8﹣t）＝15，整理得：t2﹣8t+15＝0，解得：t1＝3，t2＝5．当t＝3时，BQ＝2t＝2×3＝6，符合题意；当t＝5时，BQ＝2t＝2×5＝10＞6，不符合题意，舍去．答：当△PBQ的面积为15cm2时，点P运动的时间是3秒．8．（2022春•福山区期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，点P从点A出发沿AB以1cm/s的速度向点B运动，同时，点Q从点B出发沿BC以2cm/s的速度向点C运动．设运动时间为xs．（1）若PQ＝4cm，求x的值．（2）若△DPQ的面积为31cm2，求x的值．【解答】解：（1）由题意可得：BP＝AB﹣AP＝（6﹣x）cm，BQ＝2xcm，根据勾股定理得：BP2+BQ2＝PQ2，即：（6﹣x）2+（2x）2＝（4）2，解得：x＝或x＝2，答：PQ＝4cm，x的值为或2；（2）由题意可得：S△DPQ＝S矩形ABCD﹣S△ADP﹣S△CDQ﹣S△BPQ＝AB•BC﹣AD•AP﹣CD•CQ﹣BP•BQ＝6×12﹣×12x﹣×6（12﹣2x）﹣（6﹣x）•2x＝x2﹣6x+36＝31，解得：x1＝1，x2＝5，当△DPQ的面积为31cm2，则x的值为1或5．9．（2022秋•兴城市期中）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm．点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动（到达点B即停止运动），点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动（到达点C即停止运动）．（1）如果点P，Q分别从A，B两点同时出发，经过几秒钟，△PBQ的面积等于△ABC面积的三分之一？（2）如果P，Q两点分别从A，B两点同时出发，几秒钟后，点P，Q相距6cm？【解答】解：（1）设经过xs后，△PBQ的面积等于△ABC面积的三分之一，依题意得：×2x（6﹣x）＝××6×8，解得：x1＝2，x2＝4．答：经过2s或4s后，△PBQ的面积等于△ABC面积的三分之一．（2）设ys后，点P，Q相距6cm，依题意得：（6﹣y）2+（2y）2＝62，解得：y1＝0，y2＝．答：s后，点P，Q相距6cm．10．（2022秋•江都区期中）如图所示，A、B、C、D是矩形的四个顶点，AB＝16cm，AD＝6cm，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到达点B为止，点Q以2cm/s的速度向点D移动（1）P，Q两点从出发开始到几秒时，四边形PBCQ的面积为33cm2？（2）P，Q两点从出发开始到几秒时，点P和点Q的距离第一次是10cm？【解答】解：当运动时间为t秒时，PB＝（16﹣3t）cm，CQ＝2tcm．（1）依题意，得：×（16﹣3t+2t）×6＝33，解得：t＝5．答：P，Q两点从出发开始到5秒时，四边形PBCQ的面积为33cm2．（2）过点Q作QM⊥AB于点M，如图所示．∵PM＝PB﹣CQ＝|16﹣5t|cm，QM＝6cm，∴PQ2＝PM2+QM2，即102＝（16﹣5t）2+62，解得：t1＝，t2＝（不合题意，舍去）．答：P，Q两点从出发开始到秒时，点P和点Q的距离第一次是10cm．11．（2022秋•港北区期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，BC＝8cm，点P从点A开始沿射线AC向点C以2cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点C开始沿边CB向点B以1cm/s的速度移动．如果P、Q分别从A、C同时出发，运动的时间为ts，当点Q运动到点B时，两点停止运动．（1）当点P在线段AC上运动时，P、C两点之间的距离（6﹣2t）cm．（用含t的代数式表示）（2）在运动的过程中，是否存在某一时刻，使得△PQC的面积是△ABC面积的．若存在，求t的值；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）∵△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，BC＝8cm，∴Rt△ABC中，AC＝6cm，又∵点P从点A开始沿射线AC向点C以2cm/s的速度移动，∴AP＝2t，∴当点P在线段AC上运动时，P、C两点之间的距离（6﹣2t）cm；故答案为：（6﹣2t）；（2）△ABC的面积为S△ABC＝×6×8＝24，①当0＜t＜3时，PC＝6﹣2t，QC＝t，∴S△PCQ＝PC×QC＝t（6﹣2t），∴t（6﹣2t）＝4，即t2﹣3t+4＝0，∵Δ＝b2﹣4ac＝﹣7＜0，∴该一元二次方程无实数根，∴该范围下不存在；②当3＜t≤8时，PC＝2t﹣6，QC＝t，∴S△PCQ＝PC×QC＝t（2t﹣6），∴t（2t﹣6）＝4，即t2﹣3t﹣4＝0，解得t＝4或﹣1（舍去），综上所述，存在，当t＝4时，△PQC的面积是△ABC面积的．12.（2022•台儿庄区一模）如图，在△ABC中，AB＝6cm，BC＝7cm，∠ABC＝30°，点P从A点出发，以1cm/s的速度向B点移动，点Q从B点出发，以2cm/s的速度向C点移动，当一个点到达终点时，另一个点也随即停止运动．如果P、Q两点同时出发，经过几秒后△PBQ的面积等于4cm2？【解答】解：如图，过点Q作QE⊥PB于E，则∠QEB＝90°．∵∠ABC＝30°，∴2QE＝QB．∴S△PQB＝•PB•QE．设经过t秒后△PBQ的面积等于4cm2，则PB＝（6﹣t）cm，QB＝2t（cm），QE＝t（cm）．根据题意，•（6﹣t）•t＝4．t2﹣6t+8＝0．t1＝2，t2＝4．当t＝4时，2t＝8，8＞7，不合题意舍去，取t＝2．答：经过2秒后△PBQ的面积等于4cm2．13．（2022•盂县一模）如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝4cm，一动点P从C出发沿着CB边以1cm/s的速度运动，另一动点Q从A出发沿着AC边以2cm/s的速度运动，P，