课标专用5年高考3年模拟A版2024高考数学专题九平面解析几何2直线圆的位置关系试题文

PAGEPAGE14直线、圆的位置关系探考情悟真题【考情探究】考点内容解读5年考情预料热度考题示例考向关联考点点与直线、直线与直线的位置关系①能依据两条直线的斜率推断两直线的位置关系;②能用解方程组的方法求两相交直线的交点坐标;③驾驭两点间的距离公式、点到直线的距离公式,会求两平行直线间的距离2024课标全国Ⅱ,6,5分点到直线的距离圆的方程★☆☆2024课标全国Ⅱ,7,5分两点间的距离圆的方程直线、圆的位置关系①能依据给定直线、圆的方程推断直线与圆的位置关系;能依据给定两个圆的方程推断两圆的位置关系;②能用直线和圆的方程解决一些简洁的问题;③初步了解用代数方法处理几何问题的思想2024课标全国Ⅲ,8,5分与圆有关的最值问题点到直线的距离公式,三角形的面积★★★2024课标全国Ⅰ,15,5分圆的弦长;直线与圆的位置关系—2024课标全国Ⅲ,15,5分直线与圆的位置关系点到直线的距离公式,解三角形分析解读从近几年的高考试题来看,直线与圆以及圆与圆的位置关系始终是高考考查的重点和热点问题,题型以选择题和填空题为主,分值大约为5分.主要考查:①方程中含有参数的直线与圆的位置关系的判定;②利用相切或相交的条件求参数的值或取值范围;③利用相切或相交的条件求圆的切线长或弦长;④由两圆的位置关系判定两圆的公切线条数.同时考查学生的逻辑思维实力和运算求解实力,考查化归与转化思想、分类探讨思想、方程思想以及数形结合思想的应用.破考点练考向【考点集训】考点一点与直线、直线与直线的位置关系1.经过两点C(3,1),D(-2,0)的直线l1与经过点M(1,-4)且斜率为15的直线l2A.平行 B.垂直C.重合 D.无法确定答案A2.(2024宁夏一中月考,6)已知A(-1,2),B(1,3),C(0,-2),AD⊥BC,AB∥CD,则点D的坐标为()A.-97,47 B.答案D3.(2025届豫北六校10月联考,13)直线l1:(k-3)x+(4-k)y+1=0与直线l2:2(k-3)x-2y+3=0平行,则k=.

答案3或5考点二直线、圆的位置关系1.(2024山东枣庄其次次检测,5)两圆(x-2)2+(y-1)2=4与(x+1)2+(y-2)2=1的公切线有()A.1条 B.2条 C.3条 D.4条答案D2.(2024湖南五市十校高三联考,6)两圆x2+y2+4x-4y=0和x2+y2+2x-8=0相交于两点M,N,则线段MN的长为()A.355 B.4 C.6答案D3.(2025届皖南八校其次次联考,9)已知直线l:(2-a)x-y+1-a=0a>52,圆C:x2A.相离 B.相切C.相交 D.以上均有可能答案C4.已知圆C:x2+y2-8y+12=0,直线l:ax+y+2a=0.(1)当a为何值时,直线l与圆C相切?(2)当直线l与圆C相交于A,B两点,且|AB|=22时,求直线l的方程.答案将圆的方程x2+y2-8y+12=0化成标准方程为x2+(y-4)2=4,则圆心为(0,4),半径为2.(1)若直线l与圆C相切,则有|4+2a|(2)过圆心C作CD⊥AB,连接AC,则依据题意和圆的性质,得|CD故所求直线方程为7x-y+14=0或x-y+2=0.炼技法提实力【方法集训】方法1直线与圆、圆与圆位置关系的推断方法1.(2024山东,7,5分)已知圆M:x2+y2-2ay=0(a>0)截直线x+y=0所得线段的长度是22.则圆M与圆N:(x-1)2+(y-1)2=1的位置关系是()A.内切 B.相交C.外切 D.相离答案B2.(2024广东深圳二模,7)已知点P(1,m)在椭圆x24+y2=1的外部,则直线y=2mx+3与圆x2+yA.相离 B.相交C.相切 D.相交或相切答案B3.(2024河南郑州外国语中学调研,9)已知圆C1:(x+2a)2+y2=4和圆C2:x2+(y-b)2=1只有一条公切线,若a,b∈R且ab≠0,则1a2+A.2 B.4 C.8 D.9答案D方法2求解与圆有关的切线和弦长问题的方法1.(2024豫南九校联考,9)已知直线l:x+ay-1=0(a∈R)是圆C:x2+y2-4x-2y+1=0的对称轴,过点A(-4,a)作圆C的一条切线,切点为B,则|AB|=()A.2 B.42 C.6 D.210答案C2.(2025届湖南长沙一中11月周考,20)已知圆C:(x-3)2+(y-4)2=4,直线l1过定点A(1,0).(1)若l1与圆C相切,求l1的方程;(2)若l1与圆C相交于P,Q两点,求三角形CPQ面积的最大值,并求此时直线l1的方程.答案(1)①若直线l1的斜率不存在,则直线l1:x=1,符合题意.②若直线l1的斜率存在,设直线l1的方程为y=k(x-1),即kx-y-k=0.由题意知,圆心(3,4)到直线l1的距离等于半径2,即|3k-4-k|(2)直线l1与圆C相交,斜率必定存在,且不为0,设直线l1的方程为kx-y-k=0,则圆心C到直线l1的距离d=|2又∵△CPQ的面积S=12d×24-d2=d4-∴当d=2时,S取得最大值2.∴d=|2k-故直线l1的方程为x-y-1=0或7x-y-7=0.方法3解决对称问题的方法1.(2025届云南玉溪一中10月月考,14)已知点P在直线l:3x-y-1=0上,A(4,1),B(0,4),则||PA|-|PB||的值最大时点P的坐标为.

答案(2,5)2.(2025届豫南、豫北精英对抗赛,14)已知△ABC的一个顶点A(2,-4),且∠B,∠C的平分线所在直线的方程分别为x+y-2=0,x-3y-6=0,则BC边所在的直线方程为.

答案x+7y-6=03.一条光线经过点P(2,3)射在直线l:x+y+1=0上,反射后经过点Q(1,1),求:(1)入射光线所在直线的方程;(2)这条光线从P到Q所经路途的长度.答案(1)设点Q'(x',y')为Q关于直线l的对称点,QQ'交l于M点,∵kl=-1,∴kQQ'=1,∴QQ'所在直线的方程为y-1=1·(x-1),即x-y=0.由x+y∴交点M-1∴1+解得x'设入射光线与l交于点N,则P,N,Q'三点共线,又P(2,3),Q'(-2,-2),故入射光线所在直线的方程为y-(-2)即5x-4y+2=0.(2)|PN|+|NQ|=|PN|+|NQ'|=|PQ'|=[2-(-2故这条光线从P到Q所经路途的长度为41.【五年高考】A组统一命题·课标卷题组考点一点与直线、直线与直线的位置关系1.(2024课标全国Ⅱ,6,5分)圆x2+y2-2x-8y+13=0的圆心到直线ax+y-1=0的距离为1,则a=()A.-43 B.-34 C.答案A2.(2024课标Ⅱ,7,5分)过三点A(1,3),B(4,2),C(1,-7)的圆交y轴于M,N两点,则|MN|=()A.26 B.8 C.46 D.10答案C考点二直线、圆的位置关系1.(2024课标全国Ⅲ,8,5分)直线x+y+2=0分别与x轴,y轴交于A,B两点,点P在圆(x-2)2+y2=2上,则△ABP面积的取值范围是()A.[2,6] B.[4,8] C.[2,32] D.[22,32]答案A2.(2024课标全国Ⅰ,15,5分)直线y=x+1与圆x2+y2+2y-3=0交于A,B两点,则|AB|=.

答案223.(2024课标全国Ⅲ,15,5分)已知直线l:x-3y+6=0与圆x2+y2=12交于A,B两点,过A,B分别作l的垂线与x轴交于C,D两点.则|CD|=.

答案44.(2024课标全国Ⅲ,20,12分)在直角坐标系xOy中,曲线y=x2+mx-2与x轴交于A,B两点,点C的坐标为(0,1).当m改变时,解答下列问题:(1)能否出现AC⊥BC的状况?说明理由;(2)证明过A,B,C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值.答案(1)不能出现AC⊥BC的状况,理由如下:设A(x1,0),B(x2,0),则x1,x2满意x2+mx-2=0,所以x1x2=-2.又C的坐标为(0,1),故AC的斜率与BC的斜率之积为-1x1·-1x(2)证明:BC的中点坐标为x22,12,可得BC的中垂线方程为y-由(1)可得x1+x2=-m,所以AB的中垂线方程为x=-m2联立x又x22+mx2所以过A,B,C三点的圆的圆心坐标为-m半径r=m2故圆在y轴上截得的弦长为2r2B组自主命题·省(区、市)卷题组1.(2024湖南,13,5分)若直线3x-4y+5=0与圆x2+y2=r2(r>0)相交于A,B两点,且∠AOB=120°(O为坐标原点),则r=.

答案22.(2024江苏,12,5分)在平面直角坐标系xOy中,A为直线l:y=2x上在第一象限内的点,B(5,0),以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D.若AB·CD=0,则点A的横坐标为.

答案3C组老师专用题组1.(2024安徽,8,5分)直线3x+4y=b与圆x2+y2-2x-2y+1=0相切,则b的值是()A.-2或12 B.2或-12 C.-2或-12 D.2或12答案D2.(2024北京,7,5分)已知圆C:(x-3)2+(y-4)2=1和两点A(-m,0),B(m,0)(m>0).若圆C上存在点P,使得∠APB=90°,则m的最大值为()A.7 B.6 C.5 D.4答案B3.(2024浙江,5,5分)已知圆x2+y2+2x-2y+a=0截直线x+y+2=0所得弦的长度为4,则实数a的值是()A.-2 B.-4 C.-6 D.-8答案B4.(2024课标Ⅱ,12,5分)设点M(x0,1),若在圆O:x2+y2=1上存在点N,使得∠OMN=45°,则x0的取值范围是()A.[-1,1] B.-12,12 C.[-2答案A5.(2024课标全国Ⅰ,15,5分)设直线y=x+2a与圆C:x2+y2-2ay-2=0相交于A,B两点,若|AB|=23,则圆C的面积为.

答案4π6.(2024山东,13,5分)过点P(1,3)作圆x2+y2=1的两条切线,切点分别为A,B,则PA·PB=.

答案37.(2024重庆,12,5分)若点P(1,2)在以坐标原点为圆心的圆上,则该圆在点P处的切线方程为.

答案x+2y-5=08.(2024重庆,14,5分)已知直线x-y+a=0与圆心为C的圆x2+y2+2x-4y-4=0相交于A,B两点,且AC⊥BC,则实数a的值为.

答案0或69.(2024江苏,13,5分)在平面直角坐标系xOy中,A(-12,0),B(0,6),点P在圆O:x2+y2=50上.若PA·PB≤20,则点P的横坐标的取值范围是.

答案[-52,1]10.(2024课标Ⅰ,20,12分)已知点P(2,2),圆C:x2+y2-8y=0,过点P的动直线l与圆C交于A,B两点,线段AB的中点为M,O为坐标原点.(1)求M的轨迹方程;(2)当|OP|=|OM|时,求l的方程及△POM的面积.答案(1)圆C的方程可化为x2+(y-4)2=16,所以圆心为C(0,4),半径为4.设M(x,y),则CM=(x,y-4),MP=(2-x,2-y).由题设知CM·MP=0,故x(2-x)+(y-4)(2-y)=0,即(x-1)2+(y-3)2=2.由于点P在圆C的内部,所以M的轨迹方程是(x-1)2+(y-3)2=2.(2)由(1)可知M的轨迹是以点N(1,3)为圆心,2为半径的圆.由于|OP|=|OM|,故O在线段PM的垂直平分线上,又P在圆N上,从而ON⊥PM.因为ON的斜率为3,所以l的斜率为-13,故l的方程为y=-13x+又|OM|=|OP|=22,O到l的距离为4105,|PM|=41011.(2011课标,20,12分)在平面直角坐标系xOy中,曲线y=x2-6x+1与坐标轴的交点都在圆C上.(1)求圆C的方程;(2)若圆C与直线x-y+a=0交于A,B两点,且OA⊥OB,求a的值.答案(1)曲线y=x2-6x+1与y轴的交点为(0,1),与x轴的交点为(3+22,0),(3-22,0).故可设C的圆心为(3,t),则有32+(t-1)2=(22)2+t2,解得t=1.则圆C的半径为32所以圆C的方程为(x-3)2+(y-1)2=9.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),其坐标满意方程组:x消去y,得到方程2x2+(2a-8)x+a2-2a+1=0.由已知可得,判别式Δ=56-16a-4a2>0.因此x1,2=(8-2a)±56-16a-由于OA⊥OB,可得x1x2+y1y2=0.又y1=x1+a,y2=x2+a,所以2x1x2+a(x1+x2)+a2=0.②由①,②得a=-1,满意Δ>0,故a=-1.12.(2024课标Ⅰ,20,12分)已知过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆C:(x-2)2+(y-3)2=1交于M,N两点.(1)求k的取值范围;(2)若OM·ON=12,其中O为坐标原点,求|MN|.答案(1)由题设,可知直线l的方程为y=kx+1.因为l与C交于两点,所以|2解得4-73所以k的取值范围为4-(2)设M(x1,y1),N(x2,y2).将y=kx+1代入方程(x-2)2+(y-3)2=1,整理得(1+k2)x2-4(1+k)x+7=0.所以x1+x2=4(1+k)1+k2OM·ON=x1x2+y1y2=(1+k2)x1x2+k(x1+x2)+1=4k由题设可得4k所以l的方程为y=x+1.故圆心C在l上,所以|MN|=2.(12分)13.(2024江苏,18,16分)如图,一个湖的边界是圆心为O的圆,湖的一侧有一条直线型马路l,湖上有桥AB(AB是圆O的直径).规划在马路l上选两个点P,Q,并修建两段直线型道路PB,QA,规划要求:线段PB,QA上的全部点到点O的距离均不小于···(1)若道路PB与桥AB垂直,求道路PB的长;(2)在规划要求下,P和Q中能否有一个点选在D处?并说明理由;(3)在规划要求下,若道路PB和QA的长度均为d(单位:百米),求当d最小时,P,Q两点间的距离.答案本题主要考查三角函数的应用、解方程、直线与圆等基础学问,考查直观想象和数学建模及运用数学学问分析和解决实际问题的实力.解法一:(1)过A作AE⊥BD,垂足为E.由已知条件得,四边形ACDE为矩形,DE=BE=AC=6,AE=CD=8.因为PB⊥AB,所以cos∠PBD=sin∠ABE=810=4所以PB=BDcos∠PBD=因此道路PB的长为15(百米).(2)不能,理由如下:①若P在D处,由(1)可得E在圆上,则线段BE上的点(除B,E)到点O的距离均小于圆O的半径,所以P选在D处不满意规划要求.②若Q在D处,连接AD,由(1)知AD=AE从而cos∠BAD=AD2+A所以线段AD上存在点到点O的距离小于圆O的半径.因此Q选在D处也不满意规划要求.综上,P和Q均不能选在D处.(3)先探讨点P的位置.当∠OBP<90°时,线段PB上存在点到点O的距离小于圆O的半径,点P不符合规划要求;当∠OBP≥90°时,对线段PB上随意一点F,OF≥OB,即线段PB上全部点到点O的距离均不小于圆O的半径,点P符合规划要求.设P1为l上一点,且P1B⊥AB,由(1)知,P1B=15,此时P1D=P1Bsin∠P1BD=P1Bcos∠EBA=15×35当∠OBP>90°时,在△PP1B中,PB>P1B=15.由上可知,d≥15.再探讨点Q的位置.由(2)知,要使得QA≥15,点Q只有位于点C的右侧,才能符合规划要求.当QA=15时,CQ=QA2-AC2=综上,当PB⊥AB,点Q位于点C右侧,且CQ=321时,d最小,此时P,Q两点间的距离PQ=PD+CD+CQ=17+321.因此,d最小时,P,Q两点间的距离为(17+321)百米.解法二:(1)如图,过O作OH⊥l,垂足为H.以O为坐标原点,直线OH为y轴,建立平面直角坐标系.因为BD=12,AC=6,所以OH=9,直线l的方程为y=9,点A,B的纵坐标分别为3,-3.因为AB为圆O的直径,AB=10,所以圆O的方程为x2+y2=25.从而A(4,3),B(-4,-3),直线AB的斜率为34因为PB⊥AB,所以直线PB的斜率为-43直线PB的方程为y=-43x-25所以P(-13,9),PB=(-13+4因此道路PB的长为15(百米).(2)①若P在D处,取线段BD上一点E(-4,0),则EO=4<5,所以P选在D处不满意规划要求.②若Q在D处,连接AD,由(1)知D(-4,9),又A(4,3),所以线段AD:y=-34在线段AD上取点M3,因为OM=32+15所以线段AD上存在点到点O的距离小于圆O的半径.因此Q选在D处也不满意规划要求.综上,P和Q均不能选在D处.(3)先探讨点P的位置.当∠OBP<90°时,线段PB上存在点到点O的距离小于圆O的半径,点P不符合规划要求;当∠OBP≥90°时,对线段PB上随意一点F,OF≥OB,即线段PB上全部点到点O的距离均不小于圆O的半径,点P符合规划要求.设P1为l上一点,且P1B⊥AB,由(1)知,P1B=15,此时P1(-13,9);当∠OBP>90°时,在△PP1B中,PB>P1B=15.由上可知,d≥15.再探讨点Q的位置.由(2)知,要使得QA≥15,点Q只有位于点C的右侧,才能符合规划要求.当QA=15时,设Q(a,9),由AQ=(a得a=4+321,所以Q(4+321,9).此时,线段QA上全部点到点O的距离均不小于圆O的半径.综上,当P(-13,9),Q(4+321,9)时,d最小,此时P,Q两点间的距离PQ=4+321-(-13)=17+321.因此,d最小时,P,Q两点间的距离为(17+321)百米.【三年模拟】时间:60分钟分值:65分一、选择题(每小题5分,共45分)1.(2025届贵州遵义一中、凯里中学等六校10月联考,7)已知直线l过点P(-2,0),当直线l与圆x2+y2=2x有两个交点时,其斜率k的取值范围为()A.(-22,22) B.-C.(-2,2) D.-答案B2.(2025届甘肃兰州、张掖9月联考,9)若直线x-my+m=0与圆(x-1)2+y2=1相交,且两个交点位于坐标平面上不同的象限,则m的取值范围是()A.(0,1) B.(0,2) C.(-1,0) D.(-2,0)答案D3.(2024山西临汾模拟,8)设直线l1:x-2y+1=0与直线l2:mx+y+3=0的交点为A,P,Q分别为l1,l2上的点,点M为PQ的中点,若|AM|=12A.2 B.-2 C.3 D.-3答案A4.(2025届安徽合肥调研,5)过三点A(1,3),B(4,2),C(1,-7)的圆截直线x+ay+2=0所得弦长的最小值等于()A.23 B.43 C.13 D.213答案B5.(2024广东天河一模,10)已知圆C的方程为x2-2x+y2=0,直线l:kx-y+2-2k=0与圆C交于A,B两点,则当△ABC面积最大时,直线l的斜率k为()A.1 B.6 C.1或7 D.2或6答案C6.(2025届江西南昌三校10月联考,7)若直线y=k(x-2)+4与曲线y=4-A.[1,+∞) B.-C.34答案C7.(2024广西柳州模拟,10)已知点M是抛物线y2=2x上的动点,以点M为圆心的圆被y轴截得的弦长为8,则该圆被x轴截得的弦长的最小值为()A.10 B.43C.8 D.215答案D8.(2025届豫北六校第三次联考,8)已知直线y=x+m和圆x2+y2=1交于A,B两点,O为坐标原点,若AO·AB=32A.±1 B.±32 C.±22答案C9.(2024河南天一大联考诊断卷A,11)过点A(0,a)作倾斜角为锐角