2024-2025学年新教材高中数学模块综合测评训练含解析北师大版选择性必修第一册

PAGEPAGE1模块综合测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2024江西景德镇期末)直线kx-y-1=0与直线x+2y-2=0的交点在第四象限,则实数k的取值范围为()A.-12,12 B.-12C.12,+∞ D.-∞,-12答案A解析由题意可得kx-y-1=0,x+2∴41+2k>0且∴-12<k<2.(2024浙江湖州期末)在空间直角坐标系中,若直线l的方向向量为a=(1,-2,1),平面α的法向量为n=(2,3,4),则()A.l∥α B.l⊥αC.l⊂α或l∥α D.l与α相交但不垂直答案C解析由a·n=2×1+(-2)×3+1×4=0,可知a⊥n.∴l∥α或l⊂α.3.已知圆C1:x2+(y+m)2=2与圆C2:(x-m)2+y2=8恰有两条公切线,则实数m的取值范围是()A.(1,3) B.(-1,1)C.(3,+∞) D.(-3,-1)∪(1,3)答案D解析∵圆C1:x2+(y+m)2=2与圆C2:(x-m)2+y2=8恰有两条公切线,∴两圆相交.由圆心C1(0,-m),半径R=2,圆心C2(m,0),半径r=22,则|C1C2|=2|m|,若两圆相交,则满足r-R<|C1C2|<R+r,即2<2|m|<3所以1<|m|<3,解得-3<m<-1或1<m<3.4.2位男生和3位女生共5位同学站成一排,若3位女生中有且只有2位女生相邻,则不同排法的种数是()A.36 B.24 C.72 D.144答案C解析依据题意,分3步进行分析:①把3位女生分为2组,有C32=3种②将2位男生全排列,有A22=2种③2位男生全排列后形成的3个空位,在其中任选2个,支配2个女生组,须要考虑2个女生组内两人之间的依次,有A32A22故有3×2×12=72种不同排法,故选C.5.椭圆x2m2+1+y2m2=1(m>0)的焦点为F1,F2,上顶点为A,若∠F1AFA.1 B.2 C.3 D答案C解析设原点为O,由题意可得c=m2+1-m又因为∠F1AF2=π3,可得∠F1AO=π可得tan∠F1AO=1m=336.过双曲线C:x2a2-y2b2=1的右顶点作x轴的垂线与C的一条渐近线相交于A,若以双曲线C的右焦点F为圆心、半径为2的圆经过A,O两点(OA.3 B.2 C.5 D答案B解析因为双曲线的渐近线方程y=±bax所以A(a,b)或A(a,-b),因此|AF|=c=2,即(2-a)2+b2=2,整理可得因为a2+b2=c2=4,解得a=1,所以双曲线的离心率为e=ca=27.(2024江苏如皋期末)埃及金字塔之谜是人类史上最大的谜,它的奇妙远远超过了人类的想象.在埃及金字塔内有一组奇妙的数字142857,因为142857×2=285714,142857×3=428571,142857×4=571428,…,所以这组数字又叫“走马灯数”.该组数字还有如下发觉:142+857=999,428+571=999,285+714=999,…,从这组奇妙数字中任选3个数字构成一个三位数x,剩下的三个数字构成另一个三位数y,若x+y=999,则全部可能的有序实数组(x,y)的个数为()A.48 B.60 C.96 D.120答案A解析依据题意,数字142857中,两个数字之和为9的组合有1+8=9,2+7=9,4+5=9,共3组,若x+y=999,对于x,其百位数字可以为6个数字中随意1个,假设为1,则y的百位数字必需为8,则x,y的百位数字有C61种选法,x的十位数字可以为剩下4个数字中随意1个,假设为2,则y的十位数字必需为7,则x,y的十位数字有C41种选法,x的个位数字可以为剩下2个数字中随意1个,y的个位数字为最终1个,则x,y的个位数字有C21种选法,则全部可能的有序实数组(x,y)的个数为8.某市为弘扬我国优秀的传统文化,组织全市10万中小学生参与网络古诗词学问答题竞赛,总分100分,经过分析竞赛成果,发觉成果X听从正态分布N(82,16),请估计竞赛成果不小于90分的学生人数约为()参考数据:P(μ-σ<X≤μ+σ)≈0.6826,P(μ-2σ<X≤μ+2σ)≈0.9544,P(μ-3σ<X≤μ+3σ)≈0.9974A.2280 B.3170 C.3415 D.460答案A解析由正态分布N(82,16),可得μ=82,σ=4,则P(74<X<90)=P(82-2×4<X<82+2×4)≈0.9544.∴P(X≥90)≈12×(1-0.9544)=0估计竞赛成果不小于90分的学生人数约为100000×0.0228=2280.二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分.9.已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点,假如AB=(2,-1,-4),AD=(4,2,0),AP=(-1,2,-1).下列结论正确的有()A.AP⊥ABB.AP⊥ADC.AP是平面ABCDD.答案ABC解析对于A,AB·AP=2×(-1)+(-1)×2+(-4)×(-1)=0,∴AP⊥AB,即AP对于B,AP·AD=(-1)×4+2×2+(-1)×0=0,∴AP⊥AD,即AP对于C,由AP⊥AB,且AP⊥AD,得出AP是平面ABCD对于D,由AP是平面ABCD的法向量,得出AP⊥BD,则D10.(2024山东烟台模拟)已知ax2+1xn(a>0)的绽开式中第5项与第7项的二项式系数相等,且绽开式的各项系数之和为1024,则下列说法正确的是()A.绽开式中奇数项的二项式系数和为256B.绽开式中第6项的系数最大C.绽开式中存在常数项D.绽开式中含x15项的系数为45答案BCD解析∵ax2+1xn(a>0)的绽开式中第5项与第7项的二项式系数相等,∴Cn4=C∵绽开式的各项系数之和为1024,∴(a+1)10=1024.∵a>0,∴a=1.原二项式为x2+1x10,其绽开式的通项公式为Tr+1=C10r·(x2)10-r·1xr=C绽开式中奇数项的二项式系数和为12×1024=512,故A因为本题中二项式系数和项的系数一样,且绽开式有11项,故绽开式中第6项的系数最大,B对;令20-52r=0⇒r=8,即绽开式中存在常数项,C对令20-52r=15⇒r=2,C102=11.在一个袋中装有质地大小一样的6个黑球,4个白球,现从中任取4个小球,设取出的4个小球中白球的个数为X,则下列结论正确的是()A.P(X=2)=3B.随机变量X听从二项分布C.随机变量X听从超几何分布D.E(X)=8答案ACD解析由题意知随机变量X听从超几何分布,故B错误,C正确;随机变量X的全部可能为0,1,2,3,4,P(X=0)=C6P(X=1)=C4P(X=2)=C4P(X=3)=C4P(X=4)=C4故E(X)=0×114+1×821+2×37+3×435+4×12.(2024江苏海安检测)双纽线像数字“8”,不仅体现了数学的对称、和谐、简洁、统一的美,同时也具有特别的有价值的艺术美,是形成其他一些常见的美丽图案的基石,也是很多设计者设计作品的重要几何元素.曲线C:(x2+y2)2=4(x2-y2)是双纽线,如图,则下列结论正确的是()A.曲线C经过5个整点(横、纵坐标均为整数的点)B.曲线C上随意一点到坐标原点O的距离都不超过2C.曲线C关于直线y=x对称的曲线方程为(x2+y2)2=4(y2-x2)D.若直线y=kx与曲线C只有一个交点,则实数k的取值范围为(-∞,-1]∪[1,+∞)答案BCD解析y=0时,x4=4x2,x=0或2或-2,三个整点(0,0),(2,0),(-2,0),结合图象可知,-2≤x≤2,令x=±1,得y2=23-3<1,此时无整点解.∴曲线C经过横、纵坐标均为整数的点,共有3个整点,A错误;x2+y2=4(x2-y2)x2+y2≤4,曲线C曲线C上任取一点M关于y=x的对称点为N,设N(x,y),则M(y,x),M在曲线C上,∴(x2+y2)2=4(y2-x2),C正确.y=kx与曲线C肯定有公共点(0,0),∵y=kx与曲线C只有一个公共点,则x4(1+k2)2=4x2(1-k2),∴1-k2≤0,∴k≥1或k≤-1,D正确.三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.某校一次高三数学成果统计中,经过抽样分析,成果X近似听从正态分布N(110,σ2),且P(90≤X≤110)=0.3,该校有1000人参与此次统考,估计该校数学成果不低于130分的人数为.

答案200解析因为X近似听从正态分布N(110,σ2),且P(90≤X≤110)=0.3,所以P(90≤X<130)=2P(90≤X≤110)=0.6,所以P(X≥130)=12[1-P(90≤X<130)]=12×(1-0.6)=1000×0.2=200(人),所以估计该校数学成果不低于130分的人数为200.14.(2024浙江杭州月考)某种型号的机器运用总时间X(单位:年)(其中X≥4,X∈N+)与所需支出的修理总费用Y(单位:万元)的统计数据如表:X681012Y2356依据表中数据可得Y与X之间的线性回来方程为Y=0.7X+a^,若该设备修理总费用超过12万元就报废,据此模型预料该设备最多可运用年(填整数).答案20解析x=14×(6+8+10+12)=9,y=14×(2+3+5+6)=4,样本中心为(9,4),代入线性回来方程求得a^=-2.3,故线性回来方程为Y=0.7X-2.3,当Y=0.7X-2.3≤1215.(2024浙江丽水期末)四棱锥S-ABCD的底面是平行四边形,SE=2EC,若BE=xAB+yAD+zAS,则x+y+z=.

答案2解析因为SE=2EC,所以CE=13CS,因为四棱锥S-ABCD的底面是平行四边形,则AD+AB=AC,所以BE=BC+CE=AD+13CS=AD+13(AS-AC)=16.已知抛物线的顶点为坐标原点,焦点为F(1,0),过抛物线上的一点A(顶点除外)作切线l,且切线l与x轴交于点B,则抛物线的标准方程为;若|FA||FB|=k,答案y2=4x1解析抛物线的顶点为坐标原点,焦点为F(1,0),可得p=2,所以抛物线的方程为y2=4x,因为抛物线关于x轴对称,所以只探讨y=2x的状况,设A(m,2m),易知过点A的切线方程为y-2m=1m(x-m),所以B(-m,0),由两点间距离公式可知|FA|=(m-1)2+(2m)2=1+m,四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)(2024安徽黄山期末)圆心为C的圆经过点A(-4,1),B(-3,2),且圆心C在直线l:x-y-2=0上.(1)求圆C的标准方程;(2)过点P(3,-1)作直线m交圆C于点M,N且|MN|=8,求直线m的方程.解(1)由已知得kAB=1,线段AB的中点坐标为-72,3∴AB的垂直平分线方程为x+y+2=0.则由x+y+2=0,x-y因此半径r=|AC|=5,所以圆C的标准方程为x2+(y+2)2=25.(2)由|MN|=8可得圆心C到直线m的距离d=52-∴当直线m斜率不存在时,其方程为x=3,当直线m斜率存在时,设其方程为y+1=k(x-3),则d=|-3k+1|k2+1=3,解得k=-43,此时m的方程为4x+3y-9=0,所以直线m的方程为x=3或18.(12分)(2024湖北宜昌期末)某校实行高一年级组织“学问竞答”活动.每位参赛者第一关需回答三个问题,第一个问题回答正确得10分,回答错误得0分;其次个问题回答正确得20分,回答错误得-10分;第三个问题回答正确得30分,回答错误得-20分.规定,每位参赛者回答这三个问题的总得分不低于30分就算闯关胜利.若某位参赛者回答前两个问题正确的概率都是23,回答第三个问题正确的概率是12,(1)求这位参赛者仅回答正确两个问题的概率;(2)求这位参赛者回答这三个问题的总得分ξ的分布列和期望;(3)求这位参赛者闯关胜利的概率.解(1)设事务Ai表示“参赛者回答对第i个问题”,i=1,2,3,则P(A1A2A3)+P(A1A2A3)+P(A1A2A3(2)ξ=-30,-20,0,10,20,30,50,60,P(ξ=-30)=P(A1A2AP(ξ=-20)=P(A1A2A3)P(ξ=0)=P(A1A2A3)=P(ξ=10)=P(A1A2A3)=2P(ξ=20)=P(A1A2A3)P(ξ=30)=P(A1A2A3)=1P(ξ=50)=P(A1A2A3)=1P(ξ=60)=P(A1A2A3)=29∴ξ的分布列为:ξ-30-2001020305060P11121112Eξ=-30×118-20×19+0×19+10×29+20×1(3)由(2)得这位参赛者闯关胜利的概率为P(ξ=30)+P(ξ=50)+P(ξ=60)=419.(12分)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AD=AA1=1,AB=2,点E在棱AB上移动.(1)证明:D1E⊥A1D;(2)当E为AB的中点时,求异面直线AC与D1E所成角的余弦值;(3)AE等于何值时,二面角D1-EC-D的大小为π解以D为坐标原点,直线DA,DC,DD1分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,设AE=x,则A1(1,0,1),D1(0,0,1),E(1,x,0),A(1,0,0),C(0,2,0),D(0,0,0).(1)∵DA1=(1,0,1),D1E=∴DA1·D1E=1+0-1=0,∴D(2)∵E为AB中点,则E(1,1,0),从而D1E=(1,1,-1),AC=(设AC与D1E所成的角为θ,则cosθ=|(3)设平面D1EC的法向量为n=(a,b,c),平面DEC的一个法向量为D∵CE=(1,x-2,0),D1C=(0,2,-1),由n令b=1,从而c=2,a=2-x,∴n=(2-x,1,2),由题意,cosπ∴x=2+3(不合题意,舍去),或x=2-3∴当AE=2-3时,二面角D1-EC-D的大小为π20.(12分)(2024四川泸州期末)某品牌手机厂商推出新款旗舰机型,并在某地区跟踪调查得到这款手机上市时间(X个月)市场占有率(Y%)的几组相关数据:X12345Y25111418依据表中的数据完成下列问题:(1)用最小二乘法求出Y关于X的线性回来方程;(2)用变量间的相关关系分析该款旗舰机型手机市场占有率的改变趋势,并预料自上市起经过多少个月,该款旗舰机型手机市场占有率能超过49%(精确到月).附:最小二乘法估计分别为b^=∑i=1nxiyi-nxy∑i=1nxi解(1)∵x=3,y=故∑i=15(xi-x)(yi-y)=-2×(-8)+(-1)×(-5)+0×1+1×4+2×已知∑i=15(xi-x)2=10,∴b^a^=y-b^x=10-4.∴Y关于X的线性回来方程为Y=4.1X-2.3;(2)由上面的线性回来方程可知,上市时间与市场占有率正相关,即上市时间每增加1个月,市场占有率都增加4.1个百分点,由Y=4.1X-2.3>49,解得X≥12.5≈13,预料自上市起经过13个月,该款旗舰机型手机市场占有率能超过49%.21.(12分)(2024湖南湘潭月考)某相关部门推出了环境执法力度的评价与环境质量的评价系统,每项评价只有满足和不满足两个选项,市民可以随意进行评价,某工作人员利用随机抽样的方法抽取了200位市民的信息,发觉对环境质量满足的占60%,对执法力度满足的占75%,其中对环境质量与执法力度都满足的有80人.(1)是否有99%的把握推断环境质量与执法力度有关?(2)为了改进工作作风,针对抽取的200位市民,对执法力度不满足的人抽