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文档简介

上海市嘉定区封浜高级中学2025届数学高二上期末统考模拟试题考生须知:1.全卷分选择题和非选择题两部分,全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂;非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知空间直角坐标系中的点,,,则点P到直线AB的距离为()A. B.C. D.2.过抛物线焦点的直线与抛物线交于两点,,抛物线的准线与轴交于点,则的面积为()A. B.C. D.3.一盒子里有黑色、红色、绿色的球各一个,现从中选出一个球.事件选出的球是红色,事件选出的球是绿色.则事件与事件()A.是互斥事件,不是对立事件 B.是对立事件,不是互斥事件C.既是互斥事件,也是对立事件 D.既不是互斥事件也不是对立事件4.甲、乙、丙、丁四位同学一起去找老师询问成语竞赛的成绩.老师说:你们四人中有位优秀,位良好,我现在给甲看乙、丙的成绩,给乙看丙的成绩,给丁看甲的成绩.看后甲对大家说:我还是不知道我的成绩.根据以上信息,则()A.乙、丁可以知道自己的成绩 B.乙、丁可以知道对方的成绩C.乙可以知道四人的成绩 D.丁可以知道四人的成绩5.《张邱建算经》记载:今有女子不善织布,逐日织布同数递减,初日织五尺,末一日织一尺,计织三十日,问第11日到第20日这10日共织布()A.30尺 B.40尺C.6尺 D.60尺6.椭圆的短轴长为()A.8 B.2C.4 D.7.对于两个平面、,“内有三个点到的距离相等”是“”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件8.定义在上的函数的导函数为,若对任意实数,有,且为奇函数,则不等式解集是A. B.C. D.9.已知在等比数列中,,,则()A.9或 B.9C.27或 D.2710.与空间向量共线的一个向量的坐标是()A. B.C. D.11.已知双曲线的焦点在y轴上,且实半轴长为4,虚半轴长为5,则双曲线的标准方程为()A.=1 B.=1C.=1 D.=112.设命题,则为A. B.C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知椭圆方程为,左、右焦点分别为、,P为椭圆上的动点,若的最大值为,则椭圆的离心率为___________.14.若复数满足,则_____15.某企业有4个分厂,新培训了一批6名技术人员,将这6名技术人员分配到各分厂,要求每个分厂至少1人,则不同的分配方案种数为________.16.根据如下样本数据34567402.5-0.50.5-2得到的回归方程为若,则的值为___________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知椭圆的离心率,左、右焦点分别为、,点在椭圆上,过的直线交椭圆于、两点.(1)求椭圆的标准方程;(2)求的面积的最大值.18.(12分)已知数列满足,.(1)求证数列是等差数列,并求通项公式;(2)已知数列的前项和为,求.19.(12分)已知点F为抛物线的焦点,点在抛物线上,且.(1)求该抛物线的方程;(2)若点A在第一象限,且抛物线在点A处的切线交y轴于点M,求的面积.20.(12分)已知函数(1)求函数的图象在点处的切线方程;(2)求函数的极值21.(12分)如图在直三棱柱中,为的中点,为的中点,是中点,是与的交点,是与的交点.(1)求证:;(2)求证:平面;(3)求直线与平面的距离.22.(10分)奋发学习小组共有3名学生,在某次探究活动中,他们每人上交了1份作业,现各自从这3份作业中随机地取出了一份作业.(1)每个学生恰好取到自己作业的概率是多少?(2)每个学生不都取到自己作业的概率是多少?(3)每个学生取到的都不是自己作业的概率是多少?

参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】由向量在向量上的投影及勾股定理即可求.【详解】,0,,,1,,,,,,在上的投影为,则点到直线的距离为.故选:D2、B【解析】画出图形,利用已知条件结合抛物线的定义求解边长CF,BK,然后求解三角形的面积即可【详解】如图,设拋物线的准线为,过作于,过作于,过作于,设,则根据抛物线的定义可得,,,的面积为,故选:.3、A【解析】根据事件的关系进行判断即可.【详解】由题意可知,事件与为互斥事件,但事件不是必然事件,所以,事件与事件是互斥事件,不是对立事件.故选:A.【点睛】本题考查事件关系的判断,考查互斥事件和对立事件概率的理解,属于基础题.4、A【解析】分析可知乙、丙的成绩中必有位优秀、位良好,结合题意进行推导,可得出结论.【详解】由于个人中的成绩中有位优秀,位良好,甲知道乙、丙的成绩,还是不知道自己的成绩,则乙、丙的成绩必有位优秀、位良好,甲、丁的成绩中必有位优秀、位良好,因为给乙看丙的成绩,则乙必然知道自己的成绩,丁知道甲的成绩后,必然知道自己的成绩.故选:A.5、A【解析】由题意可知,每日的织布数构成等差数列,由等差数列的求和公式得解.【详解】由题女子织布数成等差数列,设第日织布为,有,所以,故选:A.6、C【解析】根据椭圆的标准方程求出,进而得出短轴长.【详解】由,可得,所以短轴长为.故选:C.7、B【解析】根据平面的性质分别判断充分性和必要性.【详解】充分性:若内有三个点到的距离相等,当这三个点不在一条直线上时,可得;当这三个点在一条直线上时,则、平行或相交,故充分性不成立;必要性:若,则内每个点到的距离相等,故必要性成立,所以“内有三个点到的距离相等”是“”的必要不充分条件.故选:B.8、B【解析】设.由,得,故函数在上单调递减.由为奇函数,所以.不等式等价于,即,结合函数的单调性可得,从而不等式的解集为,故答案为B.考点:利用导数研究函数的单调性.【方法点晴】本题考查了导数的综合应用及函数的性质的应用,构造函数的思想,阅读分析问题的能力,属于中档题.常见的构造思想是使含有导数的不等式一边变为,即得,当是形如时构造;当是时构造,在本题中令,(),从而求导,从而可判断单调递减,从而可得到不等式的解集9、B【解析】根据等比数列的性质可求.【详解】因为为等比数列,设公比为,则,解得,又,所以.故选:B.10、C【解析】根据空间向量共线的坐标表示即可得出结果.【详解】.故选:C.11、D【解析】根据双曲线的性质求解即可.【详解】双曲线的焦点在y轴上,且实半轴长为4,虚半轴长为5,可得a=4,b=5,所以双曲线方程为:=1.故选:D.12、C【解析】特称命题的否定为全称命题,所以命题的否命题应该为,即本题的正确选项为C.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】利用椭圆的定义结合余弦定理可求得,再利用公式可求得该椭圆的离心率的值.【详解】由椭圆的定义可得,由余弦定理可得,因为的最大值为,则,可得,因此,该椭圆的离心率为.故答案为:.14、【解析】设,则,利用复数相等,求出,的值,结合复数的模长公式进行计算即可【详解】设,则,则由得,即,则,得,则,故答案为【点睛】本题主要考查复数模长的计算,利用待定系数法,结合复数相等求出复数是解决本题的关键15、1560【解析】先把6名技术人员分成4组,每组至少一人,有两种情况:(1)4个组的人数按3,1,1,1分配,(2)4个组的人数为2,2,1,1,求出所有的分组方法,然后再把4个组的人分给4个分厂,从而可求得答案【详解】先把6名技术人员分成4组,每组至少一人.(1)若4个组的人数按3,1,1,1分配,则不同的分配方案有(种).(2)若4个组的人数为2,2,1,1,则不同的分配方案有(种).故所有分组方法共有20+45=65(种).再把4个组的人分给4个分厂,不同的方法有(种).故答案为:156016、-1.4##【解析】分别求出的值,即得到样本中心点,根据样本中心点一定在回归直线上,可求得答案.【详解】,则得到样本中心点为,因为样本中心点一定在回归直线上,故,解得,故答案为:三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)(2)【解析】(1)利用椭圆的离心率、点在椭圆上以及得到的方程组,进而得到椭圆的标准方程;(2)设出直线方程,联立直线和椭圆方程,得到关于的一元二次方程,利用根与系数的关系和三角形的面积公式得到三角形的面积,再利用基本不等式求其最值.【小问1详解】解:由题可得,且,将点代入椭圆方程,得,解得,,即椭圆方程为;【小问2详解】解:由(1)可得,,设:,联立,消去,得,设,,则,则所以,当且仅当,即时取等号,故的面积的最大值为.18、(1)证明见详解,(2)【解析】(1)由题意将原式化简变形得到,可证明数列是等差数列,由等差数列的通项公式则可得,进而得到的通项公式;(2)由(1)把的通项公式代入,得到,利用乘公比错位相减法求和即可.【小问1详解】若,则,这与矛盾,,由已知得,,故数列是以为首项,2为公差的等差数列,,即.【小问2详解】设,则由(1)知,所以,,两式相减,则,所以.19、(1);(2)10.【解析】(1)由根据抛物线的定义求出可得抛物线方程;(2)求出抛物线过点A的切线,得出点M的坐标即可求三角形面积.【小问1详解】由抛物线的定义可知,即,抛物线的方程为.【小问2详解】,且A在第一象限,,即A(4,4),显然切线的斜率存在,故可设其方程为,由,消去得,即,令,解得,切线方程为.令x=0,得,即,又,,.20、(1)(2)极大值为12,极小值-15【解析】(1)利用导数的几何意义求解即可.(2)利用导数求解极值即可.【小问1详解】,,切点为,故切线方程为,即;【小问2详解】令,得或列表:-12+0-0+单调递增12单调递减-15单调递增函数的极大值为,函数的极小值为.21、(1)证明见解析(2)证明见解析(3)【解析】(1)法一:通过建立空间直角坐标系,运用向量数量积证明,法二:通过线面垂直证明,法三:根据三垂线证明;(2)法一:通过建立空间直角坐标系,运用向量数量积证明,法二:通过面面平行证明线面平行;(3)法一:通过建立空间直角坐标系,运用向量方法求解,法二:运用等体积法求解.【小问1详解】证明:法一:在直三棱柱中,因为,以点为坐标原点,方向分别为轴正方向建立如图所示空间直角坐标系.因为,所以,所以所以,所以.法二:连接,在直三棱柱中,有面,面,所以,又,则,因为,所以面因为面,所以因为,所以四边形为正方形,所以因为,所以面因为面,所以.法三:用三垂线定理证明:连接,在直三棱柱中,有面因为面,所以,又,则,因为,所以面所以在平面内的射影为,因为四边形为正方形,所以,因此根据三垂线定理可知【小问2详解】证明:法一:因为为的中点,为的中点,为中点,是与的交点,所以、,依题意可知为重心,则,可得所以,,设为平面的法向量,则即取得则平面的一个法向量为.所以,则,因为平面,所以平面.法二:连接.在正方形中,为的中点,所以且,所以四边形是平行四边形,所以又为中点,所以四边形是矩形,所以且因为且,所以,所以四边形为平行四边形,所以.因为,平面平面平面平面,所以平面平面,平面,所以平面【小问3详解】法一:由(2)知平面的一个法向量,且平面,所以到平面的距离与到平面的距离相等,,所以,所以点到平面的距离所以到平面的距离为法二:因为分别为和中点,所以为的重心,所以,所以到平面的距离是到平面距离的.取中点则,又平面平面,所以平面,所以到平面的距离与到平面的距离相等.设点到平面的距离为,由得,又,所以,所以到平面的距离是,所以到平面的距离为.22、(1)(2)(3)【解析】(

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