安徽省合肥市长丰中学2025届高二数学第一学期期末调研试题含解析_第1页
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文档简介

安徽省合肥市长丰中学2025届高二数学第一学期期末调研试题注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区域内。2.答题时请按要求用笔。3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试卷上答题无效。4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5.保持卡面清洁,不要折暴、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.下列四个命题中为真命题的是()A.设p:1<x<2,q:2x>1,则p是q的必要不充分条件B.命题“”的否定是“”C.函数的最小值是4D.与的图象关于直线y=x对称2.太极图被称为“中华第一图”,闪烁着中华文明进程的光辉,它是由黑白两个鱼形纹组成的图案,俗称阴阳鱼,太极图展现了一种相互转化,相对统一的和谐美.定义:能够将圆O的周长和面积同时等分成两个部分的函数称为圆O的一个“太极函数”,设圆O:,则下列说法中正确的是()①函数是圆O的一个太极函数②圆O的所有非常数函数的太极函数都不能为偶函数③函数是圆O的一个太极函数④函数的图象关于原点对称是为圆O的太极函数的充要条件A.①② B.①③C.②③ D.③④3.与向量平行,且经过点的直线方程为()A. B.C. D.4.已知奇函数,则的解集为()A. B.C. D.5.若双曲线的离心率为3,则的最小值为()A. B.1C. D.26.如图,在棱长为1的正方体中,P、Q、R分别是棱AB、BC、的中点,以PQR为底面作一个直三棱柱,使其另一个底面的三个顶点也都在正方体的表面上,则这个直三棱柱的体积为()A. B.C. D.7.直线的倾斜角为()A.30° B.60°C.90° D.120°8.已知:,直线l:,M为直线l上的动点,过点M作的切线MA,MB,切点为A,B,则四边形MACB面积的最小值为()A.1 B.2C. D.49.已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是边长为2的正方形,侧棱与底面垂直,若点C到平面AB1D1的距离为,则直线与平面所成角的余弦值为()A. B.C. D.10.已知空间四边形中,,,,点在上,且,为中点,则等于()A. B.C. D.11.已知抛物线的准线方程为,则此抛物线的标准方程为()A. B.C. D.12.若,则复数在复平面内对应的点在()A.曲线上 B.曲线上C.直线上 D.直线上二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知数列满足:,,,则______14.某工厂年前加紧手套生产,设该工厂连续5天生产的手套数依次为,,,,(单位:万只),若这组数据,,,,的方差为4,且,,,,的平均数为8,则该工厂这5天平均每天生产手套______万只15.若正四棱柱的底面边长为5,侧棱长为4,则此正四棱柱的体积为______16.已知数列的前项和为,,则___________,___________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)如图,在正方体中,为的中点,点在棱上(1)若,证明:与平面不垂直;(2)若平面,求平面与平面的夹角的余弦值18.(12分)若函数与的图象有一条与直线平行的公共切线,求实数a的值19.(12分)已知函数.(1)当时,求的极值;(2)当时,,求a的取值范围.20.(12分)已知圆:与直线:.(1)证明:直线过定点,并求出其坐标;(2)当时,直线l与圆C交于A,B两点,求弦的长度.21.(12分)某校从高一年级学生中随机抽取40名中学生,将他们的期中考试数学成绩(满分100分,成绩均为不低于40分的整数)分成六段:,,…,所得到如图所示的频率分布直图(1)求图中实数的值;(2)若该校高一年级共有640人,试估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于60分的人数;(3)若从数学成绩在[40,50)与[90,100]两个分数段内的学生中随机选取两名学生,求这2名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率.22.(10分)在平面直角坐标系中,已知点,轴于点,是线段上的动点,轴于点,于点,与相交于点.(1)判断点是否在抛物线上,并说明理由;(2)过点作抛物线的切线交轴于点,过抛物线上的点作抛物线的切线交轴于点,……,以此类推,得到数列,求,及数列的通项公式.

参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】根据推出关系和集合的包含关系判断A,根据全称命题的否定形式可判断B,根据对钩函数性质即三角函数的性质可判断C,根据反函数的图像性质可判断D.【详解】解:对于选项A:是的真子集,所以命题p是q的充分不必要条件,故A错误;对于选项B:命题“”的否定是“”,故B错误;对于选项C:函数,当时,,函数单调递减,当时取最小值,故C错误;对于选项D:与互为反函数,故图象关于直线y=x对称,故D正确.2、B【解析】①③可以通过分析奇偶性和结合图象证明出符合要求,②④可以举出反例.【详解】是奇函数,且与圆O的两交点坐标为,能够将圆O的周长和面积同时等分为两个部分,故符合题意,①正确;同理函数是圆O的一个太极函数,③正确;例如,是偶函数,也能将将圆O的周长和面积同时等分为两个部分,故②错误;函数的图象关于原点对称不是为圆O的太极函数的充要条件,例如为奇函数,但不满足将圆O的周长和面积同时等分为两个部分,所以④错误;故选:B3、A【解析】利用点斜式求得直线方程.【详解】依题意可知,所求直线的斜率为,所以所求直线方程为,即.故选:A4、A【解析】先由求出的值,进而可得的解析式,对求导,利用基本不等式可判断恒成立,可判断的单调性,根据单调性脱掉,再解不等式即可.【详解】的定义域为,因为是奇函数,所以,可得:,所以,经检验是奇函数,符合题意,所以,因为,所以,当且仅当即时等号成立,所以在上单调递增,由可得,即,解得:或,所以的解集为,故选:A.5、D【解析】由双曲线的离心率为3和,求得,化简,结合基本不等式,即可求解.【详解】由题意,双曲线的离心率为3,即,即,又由,可得,所以,当且仅当,即时,“”成立.故选:D【点睛】使用基本不等式解答问题的策略:1、利用基本不等式求最值时,要注意三点:一是各项为正;二是寻求定值;三是考虑等号成立的条件;2、若多次使用基本不等式时,容易忽视等号的条件的一致性,导致错解;3、巧用“拆”“拼”“凑”:在使用基本不等式时,要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧,使其满足基本不等式中的“正、定、等”的条件.6、C【解析】分别取的中点,连接,利用棱柱的定义证明几何体是三棱柱,再证明平面PQR,得到三棱柱是直三棱柱求解.【详解】如图所示:连接,分别取其中点,连接,则,且,所以几何体是三棱柱,又,且,所以平面,所以,同理,又,所以平面PQR,所以三棱柱是直三棱柱,因为正方体的棱长为1,所以,所以直三棱柱的体积为,故选:C7、B【解析】根据给定方程求出直线斜率,再利用斜率的定义列式计算得解.【详解】直线的斜率,设其倾斜角为,显然,则有,解得,直线的倾斜角为.故选:B8、B【解析】易知四边形MACB的面积为,然后由最小,根据与直线l:垂直求解.【详解】:化为标准方程为:,由切线长得:,四边形MACB的面积为,若四边形MACB的面积最小,则最小,此时与直线l:垂直,所以,所以四边形MACB面积的最小值,故选:B9、A【解析】先由等面积法求得的长,再以为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,运用线面角的向量求解方法可得答案【详解】如图,连接交于点,过点作于,则平面,则,设,则,则根据三角形面积得,代入解得以为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系则,,设平面的法向量为,,,则,即,令,得,所以直线与平面所成的角的余弦值为,故选:10、B【解析】利用空间向量运算求得正确答案.【详解】.故选:B11、D【解析】由已知设抛物线方程为,由题意可得,求出,从而可得抛物线的方程【详解】因为抛物线的准线方程为,所以设抛物线方程为,则,得,所以抛物线方程为,故选:D,12、B【解析】根据复数的除法运算,先化简,进而求出,再由复数的几何意义,即可得出结果.【详解】因为,所以,因此复数在复平面内对应的点为,可知其在曲线上.故选:B二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、.【解析】运用累和法,结合等差数列前项和公式进行求解即可.【详解】因为,,所以当时,有,因此有:,即,当时,适合上式,所以,故答案为:.14、2【解析】结合方差、平均数的公式列方程,化简求得正确答案.【详解】依题意设,则,.故答案为:15、100【解析】根据棱柱体积公式直接可得.【详解】故答案为:10016、①.②.【解析】第一空:由,代入已知条件,即可解得结果;第二空:由与关系可推导出之间的关系,再由递推公式即可求出通项公式.【详解】,可得由,可知时,故时即可化为又故数列是首项为公比为2的等比数列,故数列的通项公式故答案为:①;②三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)证明见解析(2)【解析】(1)设正方体的棱长为,以点为坐标原点,、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系,计算出,即可证得结论成立;(2)利用空间向量法可求得平面与平面的夹角的余弦值.【小问1详解】证明:以点为坐标原点,、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系,设正方体的棱长为,则、、、,由得点的坐标为,,,因为,所以与不垂直,所以与平面不垂直【小问2详解】解:设,则,,因为平面,所以,所以,得,且,即,所以,,设平面的法向量为,由,取,可得,因为平面,所以平面的一个法向量为,所以,所以平面与平面所成夹角的余弦值为18、或3【解析】设出切点,先求和平行且和函数相切的切线,再将切线和联立,求出的值.【详解】设公共切线曲线上的切点坐标为,根据题意,得公共切线的斜率,所以,所以与函数的图像相切的切点坐标为,故可求出公共切线方程为由直线和函数的图像也相切,得方程,即关于x的方程有两个相等的实数根,所以,解得或319、(1)极大值,没有极小值(2)【解析】(1)把代入,然后对函数求导,结合导数可求函数单调区间,即可得解;(2)构造函数,将不等式的恒成立转化为函数的最值问题,结合导数与单调性及函数的性质对进行分类讨论,其中当和时易判断函数的单调性以及最小值,而当时,的最小值与0进一步判断【小问1详解】当时,的定义域为,.当时,,当时,,所以在上为增函数,在上为减函数.故有极大值,没有极小值.【小问2详解】当时,恒成立等价于对于任意恒成立.令,则.若,则,所以在上单调递减,所以,符合题意.若,所以在上单调递减,,符合题意.若,当时,,当时,,所以在上单调递减,在上单调递增,所以,不合题意.综上可知,a的取值范围为.【点睛】关键点点睛:本题考查了不等式恒成立问题,其关键是构造函数,通过讨论参数在不同取值范围时函数的单调性,求出函数的最值,解出参数的范围.必要时二次求导.20、(1)证明见解析,(2)【解析】(1)将直线方程化为,解方程得出定点;(2)求出圆心到直线的距离,再由几何法得出弦长.【小问1详解】证明:因为直线,所以.令,解得,所以不论取何值,直线必过定点【小问2详解】当时,直线为,圆心圆心到直线的距离,则21、(1)a=0.03;(2)544人;(3).【解析】(1)根据图中所有小矩形的面积之和等于1求解.

(2)根据频率分布直方图,得到成绩不低于60分的频率,再根据该校高一年级共有学生640人求解.

(3)由频率分布直方图得到成绩在[40,50)和[90,100]分数段内的人数,先列举出从数学成绩在[40,50)与[90,100]两个分数段内的学生中随机选取两名学生的基本事件总数,再得到两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10”的基本事件数,代入古典概型概率求解.【详解】(1)∵图中所有小矩形的面积之和等于1,∴10×(0.005+0.01+0.02+a+0.025+0.01)=1,解得a=0.03.

(2)根据频率分布直方图,成绩不低于60分的频率为1−10×(0.005+0.01)=0.85,

∵该校高一年级共有学生640人,

∴由样本估计总体的思想,可估计该校高一年级数学成绩不低于60分的人数约为640×0.85=544人.

(3)成绩在[40,50)分数段内的人数为40×0.05=2人,分别记为A,B,

成绩在[90,100]分数段内的人数为40×0.1=4人,分别记为C,D,E,F.

若从数学成绩在[40,50)与[90,100]两个分数段内的学生中随机选取两名学生,

则所有的基本事件有:(A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(A,F),(B,C),(B,D),(B,E),(B,F),(C,D),(C,E),

(C,F),(D,E),(D,F),(E,F)共15种.

如果两名学生的数学成绩都在[40,50)分数段内或都在[90,100]分数段内,

那么这两名学生的数学成绩之差的绝对值一定不大于10.

如果一个成绩

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