2024-2025学年天津市和平区益中学校九年级（上）第一次月考数学试卷

第1页（共1页）2024-2025学年天津市和平区益中学校九年级（上）第一次月考数学试卷一.选择题（共12小题）1．（3分）下列y关于x的函数中，属于二次函数的是（）A．y＝（x+1）2﹣x2 B．y＝ax2+bx+c C．y＝x（2x﹣3） D．y＝2x+52．（3分）将方程x2﹣6x+1＝0配方后，原方程可变形为（）A．（x﹣3）2＝8 B．（x﹣3）2＝﹣10 C．（x+3）2＝﹣10 D．（x+3）2＝83．（3分）已知抛物线y＝（x﹣3）2+2，下列结论正确的是（）A．抛物线开口向上 B．对称轴是直线x＝﹣3 C．顶点坐标为（3，﹣2） D．当x＞3时，y随x的增大而减小4．（3分）将抛物线平移后得到抛物线，下列平移方法正确的是（）A．先向左平移1个单位，再向上平移1个单位 B．先向左平移1个单位，再向下平移1个单位 C．先向右平移1个单位，再向上平移1个单位 D．先向右平移1个单位，再向下平移1个单位5．（3分）设一元二次方程x2﹣3x+2＝0的两根为x1，x2，则x1+x2﹣x1x2的值为（）A．1 B．﹣1 C．0 D．36．（3分）已知点（﹣2，y1），（﹣1，y2），（5，y3）都在函数y＝（x﹣3）2+1的图象上，则（）A．y3＜y1＜y2 B．y2＜y3＜y1 C．y1＜y2＜y3 D．y3＜y2＜y17．（3分）如图，二次函数y＝（x+a）2与一次函数y＝ax﹣a的图象可能是（）A． B． C． D．8．（3分）参加一次商品交易会的每两家公司之间都签订了一份合同，所有公司共签订了45份合同．设共有x家公司参加商品交易会，则x满足的关系式为（）A．x（x+1）＝45 B．x（x﹣1）＝45 C．x（x+1）＝45 D．x（x﹣1）＝459．（3分）若关于x的方程（k﹣1）x2+4x+1＝0有两不相等实数根，则k的取值范围是（）A．k≤5 B．k＜5 C．k≤5且k≠1 D．k＜5且k≠110．（3分）等腰三角形的一边长为3，另两边的长是关于x的一元二次方程x2﹣12x+k＝0的两个根，则k的值是（）A．9 B．27 C．36 D．27或3611．（3分）已知二次函数y＝a（x﹣1）2﹣a（a≠0），当﹣1≤x≤4时，y的最小值为﹣4（）A．或4 B．4或 C．或4 D．或12．（3分）将二次函数y＝x2﹣2mx+m2+m+1配成顶点式后，发现其顶点的纵坐标比横坐标大1．如图，在矩形ABCD中（﹣1，1），点D（2，1），则二次函数y＝x2﹣2mx+m2+m+1与矩形ABCD有交点时m的取值范围是（）A．﹣2≤m≤0 B．≤m≤0 C．﹣2≤m≤2 D．≤m≤2二.填空题（共6小题）13．（3分）已知抛物线y＝（1﹣a）x2+3开口向下，那么a的取值范围是．14．（3分）已知是关于x的一元二次方程，则m的值为．15．（3分）方程a（x+m）2+b＝0的解是x1＝﹣2，x2＝1，则方程a（x+m+2）2+b＝0的解是．16．（3分）若抛物线y＝x2﹣（m﹣2）x﹣2m的顶点在x轴上，则m＝．17．（3分）已知抛物线y＝ax2﹣2ax+b（a＞0）经过A（2n+3，y1），B（n﹣1，y2）两点，若A，B分别位于抛物线对称轴的两侧1＜y2，则n的取值范围是．18．（3分）如图，抛物线与交于点B（1，﹣2），E．过点B作x轴的平行线，交两条抛物线于点A，C①无论x取何值，y2总是负数；②l2可由l1向右平移3个单位，再向下平移3个单位得到；③随着x的增大，y1﹣y2的值先增大后减小；④四边形AECD为正方形．其中正确的是．（填序号）三.解答题（共7小题）19．解方程：（1）x（x﹣6）＝5（6﹣x）；（2）2x2﹣4x﹣3＝0．20．已知关于x的方程x2+3x+k﹣2＝0有两个不相等的实数根．（1）求k的取值范围；（2）设方程的两个根分别为x1，x2（x1＞x2），若（x1﹣1）（x2﹣1）＝﹣1，求k的值及方程的根．21．已知抛物线y＝x2+bx+c的图象经过点（﹣1，0），点（3，0）．（1）求抛物线函数解析式；（2）求函数的顶点坐标．22．抛物线y＝ax2+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如表：x…﹣2﹣10123…y…50﹣3﹣4﹣30…（1）根据如表画出函数图象，并填空：①对称轴是直线，当时，y随x增大而增大；②抛物线经过点（4，）；③当﹣2＜x＜2时，y的取值范围是．（2）求抛物线y＝ax2+bx+c的解析式．（3）若抛物线与x轴的交点记为A，B，该图象在x轴上方存在点C，且△ABC的面积为24．23．如图，要设计一个等腰梯形的花坛，花坛上底长120米，上下底相距80米，在两腰中点连线（虚线），上下底之间有两条纵向甬道，各甬道的宽度相等．设甬道的宽为x米．（1）用含x的式子表示横向甬道的面积；（2）根据设计的要求，甬道的宽不能超过6米．如果修建甬道的总费用（万元）与甬道的宽度成正比例关系，花坛其余部分的绿化费用为每平方米0.02万元，那么当甬道的宽度为多少米时花坛的总费用为239万元？24．“户太八号”葡萄是西安市葡萄研究所通过奥林匹亚芽变选育而成，近年来被广泛种植，某葡萄种植基地2020年种植了64亩（1）求该基地这两年“户太八号”种植面积的平均增长率；（2）某超市调查发现，当“户太八号”的售价为8元/千克时，每周能售出400千克，每周销售量减少20千克．已知该超市“户太八号”的进价为6元/千克，为了维护消费者利益，该水果售价不能超过15元/千克．若使销售“户太八号”每周获利2240元，则售价应上涨多少元？25．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣6交x轴于A（﹣2，0），B（6，0）两点，交y轴于点C（1）求抛物线的解析式；（2）求QA+QO的最小值；（3）过点Q作QP∥AC交抛物线的第四象限部分于点P，连接PA，PB1，S2，设S＝S1+S2，当S最大时，求点P的坐标，并求S的最大值．

2024-2025学年天津市和平区益中学校九年级（上）第一次月考数学试卷参考答案与试题解析一.选择题（共12小题）1．（3分）下列y关于x的函数中，属于二次函数的是（）A．y＝（x+1）2﹣x2 B．y＝ax2+bx+c C．y＝x（2x﹣3） D．y＝2x+5【解答】解：A、该函数整理后是一次函数；B、a＝0时，故本选项不符合题意；C、该函数是二次函数；D、该函数是一次函数．故选：C．2．（3分）将方程x2﹣6x+1＝0配方后，原方程可变形为（）A．（x﹣3）2＝8 B．（x﹣3）2＝﹣10 C．（x+3）2＝﹣10 D．（x+3）2＝8【解答】解：∵x2﹣6x+7＝0，∴x2﹣3x＝﹣1，则x2﹣3x+9＝﹣1+2，即（x﹣3）2＝6，故选：A．3．（3分）已知抛物线y＝（x﹣3）2+2，下列结论正确的是（）A．抛物线开口向上 B．对称轴是直线x＝﹣3 C．顶点坐标为（3，﹣2） D．当x＞3时，y随x的增大而减小【解答】解：A、抛物线y＝（x﹣3）2+7，开口向上，符合题意；B、抛物线y＝（x﹣3）2+6，对称轴是直线x＝3，不符合题意；C、抛物线y＝（x﹣3）6+2，顶点坐标（3，故选项错误；D、当x＞5时，故选项错误；故选：A．4．（3分）将抛物线平移后得到抛物线，下列平移方法正确的是（）A．先向左平移1个单位，再向上平移1个单位 B．先向左平移1个单位，再向下平移1个单位 C．先向右平移1个单位，再向上平移1个单位 D．先向右平移1个单位，再向下平移1个单位【解答】解：抛物线先向左平移1个单位得：，抛物线再向下平移1个单位得：，故选：B．5．（3分）设一元二次方程x2﹣3x+2＝0的两根为x1，x2，则x1+x2﹣x1x2的值为（）A．1 B．﹣1 C．0 D．3【解答】解：根据根与系数的关系得x1+x2＝3，x1x2＝6，∴x1+x2﹣x2x2＝3﹣7＝1．故选：A．6．（3分）已知点（﹣2，y1），（﹣1，y2），（5，y3）都在函数y＝（x﹣3）2+1的图象上，则（）A．y3＜y1＜y2 B．y2＜y3＜y1 C．y1＜y2＜y3 D．y3＜y2＜y1【解答】解：抛物线的对称轴为直线x＝3，而抛物线开口向上，对应的函数值越大，而点（﹣2，y4），（﹣1，y2），（6，y3）和对称轴的间隔分别为：5、6、2，故y3＜y5＜y1，故选：D．7．（3分）如图，二次函数y＝（x+a）2与一次函数y＝ax﹣a的图象可能是（）A． B． C． D．【解答】解：A、由抛物线可知，由直线可知，﹣a＜0；B、由抛物线可知，由直线可知，故本选项错误；C、由抛物线可知，由直线可知，﹣a＞0；D、由抛物线可知，由直线可知，﹣a＜8．故选：D．8．（3分）参加一次商品交易会的每两家公司之间都签订了一份合同，所有公司共签订了45份合同．设共有x家公司参加商品交易会，则x满足的关系式为（）A．x（x+1）＝45 B．x（x﹣1）＝45 C．x（x+1）＝45 D．x（x﹣1）＝45【解答】解：设有x家公司参加，依题意，得x（x﹣5）＝45，故选：B．9．（3分）若关于x的方程（k﹣1）x2+4x+1＝0有两不相等实数根，则k的取值范围是（）A．k≤5 B．k＜5 C．k≤5且k≠1 D．k＜5且k≠1【解答】解：∵关于x的方程（k﹣1）x2+5x+1＝0有两个不相等的实数根，∴，解得：k＜5且k≠1．故选：D．10．（3分）等腰三角形的一边长为3，另两边的长是关于x的一元二次方程x2﹣12x+k＝0的两个根，则k的值是（）A．9 B．27 C．36 D．27或36【解答】解：若3是等腰三角形的腰长，∴方程x2﹣12x+k＝2的一个根为3，∴37﹣12×3+k＝0，解得：k＝27，∴x4﹣12x+27＝0，∴（x﹣3）（x﹣8）＝0，解得x1＝3，x2＝9，∵5+3＝6＜8，∴此时围不成三角形，不符合题意；若3是等腰三角形的底边长，∴方程x2﹣12x+k＝3的两个根相等，∴Δ＝（﹣12）2﹣4k＝3，解得：k＝36；综上所述，k的值为36．故选：C．11．（3分）已知二次函数y＝a（x﹣1）2﹣a（a≠0），当﹣1≤x≤4时，y的最小值为﹣4（）A．或4 B．4或 C．或4 D．或【解答】解：y＝a（x﹣1）2﹣a的对称轴为直线x＝8，顶点坐标为（1，﹣a），当a＞0时，在﹣4≤x≤4，∵y的最小值为﹣4，∴﹣a＝﹣2，∴a＝4；当a＜0时，在﹣3≤x≤4，函数有最小值，∴9a﹣a＝﹣5，解得a＝﹣；综上所述：a的值为6或﹣，故选：B．12．（3分）将二次函数y＝x2﹣2mx+m2+m+1配成顶点式后，发现其顶点的纵坐标比横坐标大1．如图，在矩形ABCD中（﹣1，1），点D（2，1），则二次函数y＝x2﹣2mx+m2+m+1与矩形ABCD有交点时m的取值范围是（）A．﹣2≤m≤0 B．≤m≤0 C．﹣2≤m≤2 D．≤m≤2【解答】解：∵y＝x2﹣2mx+m7+m+1＝（x﹣m）2+m+7，∴抛物线顶点坐标为（m，m+1），∴抛物线顶点在直线y＝x+1上，如图，当抛物线顶点在AD上时，m+4＝1，∴m＝0，如图，当抛物线经过点A（﹣5，1＝1+6m+m2+m+1，解得m＝（舍）或m＝，∴≤m≤6，故选：B．二.填空题（共6小题）13．（3分）已知抛物线y＝（1﹣a）x2+3开口向下，那么a的取值范围是a＞1．【解答】解：∵抛物线y＝（1﹣a）x2+5的开口向下，∴1﹣a＜0，解得．故答案为：a＞4．14．（3分）已知是关于x的一元二次方程，则m的值为﹣1．【解答】解：由题知，m2+1＝4，且m﹣1≠0，解得m＝﹣2．故答案为：﹣1．15．（3分）方程a（x+m）2+b＝0的解是x1＝﹣2，x2＝1，则方程a（x+m+2）2+b＝0的解是x3＝﹣4，x4＝﹣1．【解答】解：∵方程a（x+m）2+b＝0的解是x3＝﹣2，x2＝5，∴方程a（x+m+2）2+b＝2的两个解是x3＝﹣2﹣2＝﹣4，x4＝7﹣2＝﹣1，故答案为：x5＝﹣4，x4＝﹣2．16．（3分）若抛物线y＝x2﹣（m﹣2）x﹣2m的顶点在x轴上，则m＝﹣2．【解答】解：∵抛物线y＝x2﹣（m﹣2）x﹣8m的顶点在x轴上，∴[﹣（m﹣2）]2﹣8×1•（﹣2m）＝8，m2﹣4m+7+8m＝0，m3+4m+4＝5，（m+2）2＝7，m1＝m2＝﹣5，故答案为：﹣2．17．（3分）已知抛物线y＝ax2﹣2ax+b（a＞0）经过A（2n+3，y1），B（n﹣1，y2）两点，若A，B分别位于抛物线对称轴的两侧1＜y2，则n的取值范围是﹣1＜n＜0．【解答】解：抛物线的对称轴为：x＝﹣＝1，∵a＞6，∴抛物线开口向上，∵y1＜y2，∴若点A在对称轴x＝4的左侧，点B在对称轴x＝1的右侧，由题意可得：，不等式组无解；若点B在对称轴x＝5的左侧，点A在对称轴x＝1的右侧，由题意可得：，解得：﹣6＜n＜0，∴n的取值范围为：﹣1＜n＜2．故答案为：﹣1＜n＜0．18．（3分）如图，抛物线与交于点B（1，﹣2），E．过点B作x轴的平行线，交两条抛物线于点A，C①无论x取何值，y2总是负数；②l2可由l1向右平移3个单位，再向下平移3个单位得到；③随着x的增大，y1﹣y2的值先增大后减小；④四边形AECD为正方形．其中正确的是①②④．（填序号）【解答】解：∵（x﹣2）2≥4，∴﹣（x﹣2）2≤8．∴y2＝﹣（x﹣2）8﹣1≤﹣1＜6．∴无论x取何值，y2总是负数．∴①正确．∵抛物线l1：y6＝﹣（x+1）2+4的顶点为（﹣1，2）7：y2＝﹣（x﹣2）8﹣1的顶点为（2，﹣5），∴l2可由l1向右平移7个单位，再向下平移3个单位得到．∴②正确．∵y1﹣y4＝﹣（x+1）2+6﹣[﹣（x﹣2）2﹣3]＝﹣6x+6，∴随着x的增大，y8﹣y2的值减小．∴③错误．设AC与DE交于点F，∵当y＝﹣2时，﹣（x+2）2+2＝﹣5，∴x＝﹣3或x＝1．∴点A（﹣8，﹣2），当y＝﹣2时，﹣（x﹣4）2﹣1＝﹣4，∴x＝3或x＝1．∴点C（2，﹣2）．∴AF＝CF＝3，AC＝2．当x＝0时，y1＝5，y2＝﹣5，∴DE＝3，DF＝EF＝3．∴四边形AECD为平行四边形，∴AC＝DE．∴四边形AECD为矩形，∴AC⊥DE．∴四边形AECD为正方形．∴④正确．故答案为：①②④．三.解答题（共7小题）19．解方程：（1）x（x﹣6）＝5（6﹣x）；（2）2x2﹣4x﹣3＝0．【解答】解：（1）x（x﹣6）＝5（3﹣x），x（x﹣6）+5（x﹣5）＝0，（x﹣6）（x+7）＝0，x﹣6＝2或x+5＝0，所以x7＝6，x2＝﹣4；（2）2x2﹣7x﹣3＝0，x6﹣2x＝，（x﹣1）2＝，x﹣1＝±，所以x1＝1+，x2＝1﹣．20．已知关于x的方程x2+3x+k﹣2＝0有两个不相等的实数根．（1）求k的取值范围；（2）设方程的两个根分别为x1，x2（x1＞x2），若（x1﹣1）（x2﹣1）＝﹣1，求k的值及方程的根．【解答】解：（1）∵方程有两个不相等的实数根，∴Δ＞0，即34﹣4（k﹣2）＞6，解得k＜；（2）∵（x1﹣3）（x2﹣1）＝﹣3，∴x1x2﹣（x4+x2）+1＝﹣6，由根与系数的关系可得x1+x2＝﹣8，x1•x2＝k﹣8，即k﹣2+3+8＝﹣1，解得k＝﹣3，∴方程为x2+3x﹣5＝5，Δ＝9﹣4×6×（﹣5）＝29，∴x＝，解得x1＝，x2＝．21．已知抛物线y＝x2+bx+c的图象经过点（﹣1，0），点（3，0）．（1）求抛物线函数解析式；（2）求函数的顶点坐标．【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c的图象经过点（﹣1，6），0），∴抛物线的解析式为y＝（x+1）（x﹣6），即所求函数的解析式为y＝x2﹣2x﹣7；（2）抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣5＝（x﹣1）2﹣5，∴抛物线的顶点坐标为（1，﹣4）．22．抛物线y＝ax2+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如表：x…﹣2﹣10123…y…50﹣3﹣4﹣30…（1）根据如表画出函数图象，并填空：①对称轴是直线x＝1，当x＞1时，y随x增大而增大；②抛物线经过点（4，5）；③当﹣2＜x＜2时，y的取值范围是﹣4≤y＜5．（2）求抛物线y＝ax2+bx+c的解析式．（3）若抛物线与x轴的交点记为A，B，该图象在x轴上方存在点C，且△ABC的面积为24（5，12）或（﹣3，12）．【解答】解：（1）如图所示，由图可得，①对称轴为直线x＝1，y随x增大而增大；②x＝4和x＝﹣3关于对称轴x＝1对称，∴抛物线经过点（4，6）；③当﹣2＜x＜2时，y的取值范围是﹣4≤y＜5，故答案为：①x＝1，x＞8；③﹣4≤x＜5；（2）由图可得，抛物线对称轴为直线x＝7，﹣4），设抛物线解析式为y＝a（x﹣1）6﹣4，∵二次函数图象经过点（﹣1，8），∴a（﹣1﹣1）6﹣4＝0，解得a＝2，∴二次函数解析式为y＝（x﹣1）2﹣8；（3）由图可得，抛物线与x轴的交点为A（﹣1、B（3，∴AB＝6﹣（﹣1）＝4，∵图象在x轴上方存在点C，且△ABC的面积为24，∴，∴yC＝12，把yC＝12代入y＝（x﹣6）2﹣4得，（x﹣5）2﹣4＝12，解得x8＝5，x2＝﹣7，∴C（5，12）或C（﹣3．23．如图，要设计一个等腰梯形的花坛，花坛上底长120米，上下底相距80米，在两腰中点连线（虚线），上下底之间有两条纵向甬道，各甬道的宽度相等．设甬道的宽为x米．（1）用含x的式子表示横向甬道的面积；（2）根据设计的要求，甬道的宽不能超过6米．如果修建甬道的总费用（万元）与甬道的宽度成正比例关系，花坛其余部分的绿化费用为每平方米0.02万元，那么当甬道的宽度为多少米时花坛的总费用为239万元？【解答】解：（1）中间横道的面积＝（120+180）•x＝150x，（2）甬道总面积为150x+160x﹣5x2＝310x﹣2x7，绿化总面积为12000﹣S花坛总费用y＝甬道总费用+绿化总费用：239＝5.7x+（12000﹣S）×5.02，239＝5.7x﹣7.02S+240，239＝5.7x﹣5.02（310x﹣2x2）+240，239＝2.04x2﹣0.4x+240，0.04x2﹣4.5x+1＝2，4x2﹣50x+100＝6，x1＝2.5，∵甬道的宽不能超过6米，即x≤6，∴x2＝10，不合题意舍去，解得：x＝2.5，当x＝3.5时，所建花坛的总费用为239万元．24．“户太八号”葡萄是西安市葡萄研究所通过奥林匹亚芽变选育而成，近年来被广泛种植，某葡萄种植基地2020年种植了64亩（1）求该基地这两年“户太八号”种植面积的平均增长率；（2）某超市调查发现，当“户太八号”的售价为8元/千克时，每周能售出400千克，每周销售量减少20千克．已知该超市“户太八号”的进价为6元/千克，为了维护消费者利益，该水果售价不能超过15元/千克．若使销售“户太八号”每周获利2240元，则售价应上涨多少元？【解答】解：（1）设该基地这两年“户