2024-2025学年上海交大附中高一数学上学期9月考试卷附答案解析

-2025学年上海交大附中高一数学上学期9月考试卷2024.09一.填空题1.方程组的解集为_________.2.已知全集，集合，，则________3.已知集合，集合，若，则实数的取值范围是________4.若集合，且中只有一个元素，则________；5.用反证法证明“自然数a，b，c中至多有一个偶数”时，假设应为_______．6.若集合，，则____.7.若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围是________.8.设集合且，则实数的取值范围是______.9.若集合中有且只有3个元素，且这3个元素恰为直角三角形的三边，则________.10.设集合，，则、之间的关系为_________．11.设集合，现对M的任一非空子集A，令为A中最大数与最小数之和，则所有这样的的算术平均值为________．12.对于数集，其中，定义点集，若对于任意，存在，使得，则称集合具有性质.则下列命题中为真命题的是___________.①具有性质；②若集合具有性质，则；③集合具有性质，若，则.二.选择题13数集，，，若，，则（）A. B. C. D.A，，都有可能14.若A、B是全集I的真子集，则下列四个命题：①；②；③；④；⑤是的必要不充分条件．其中与命题等价的有（）A1个 B.2个 C.3个 D.4个15.已知，，，，，均为非零实数，不等式和的解集分别为集合M和N，且，．那么“”是“”的（）．A.充分非必要条件 B.必要非充分条件C.充要条件 D.既非充分又非必要条件16.当一个非空数集满足“如果，则，，，且时，”时，我们称就是一个数域，以下四个关于数域的命题：①0是任何数域的元素；②若数域有非零元素，则；③集合是一个数域；④有理数集是一个数域.其中假命题的个数是（）.A0 B.1 C.2 D.3三.解答题17.用适当的方法表示下列集合，并判断它是有限集还是无限集.（1）不等式的解集；（2）二元二次方程组的解集；（3）由大于且小于9的偶数组成的集合.18.已知A为方程的所有实数解构成的集合，其中a为实数.（1）若A是空集，求a的范围；（2）若A是单元素集合，求a的范围：（3）若A中至多有一个元素，求a的取值范围.19.下列命题中，判断条件p是条件q的什么条件.（1），；（2）是直角三角形，是等腰三角形；（3）四边形的对角线互相平分，四边形是矩形；（4），；（5），关于x的方程有实根.20.设集合；（1）若，求实数值；（2）若集合中有两个元素，求；（3）若，求实数的取值范围；附加题：21.集合有10个元素，设M所有非空子集为每一个中所有元素乘积为，则___________.22.设，用表示不超过的最大整数，则称为“取整函数”，如：，.现有关于“取整函数”的两个命题：①集合是单元素集：②对于任意，成立，则以下说法正确的是（）A.①②都是真命题 B.①是真命题②是假命题C.①是假命题②是真命题 D.①②都是假命题2024-2025学年上海交大附中高一数学上学期9月考试卷2024.09一.填空题1.方程组的解集为_________.【答案】【解析】【分析】通过解方程组求得正确答案.详解】依题意，，则，解得或，所以方程组的解为或，所以方程组的解集为.故答案为：2.已知全集，集合，，则________【答案】【解析】【分析】根据补集和并集的概念得到集合.【详解】或，或.故答案为：3.已知集合，集合，若，则实数的取值范围是________【答案】【解析】【分析】由,画出数轴,表示出集合,即可求解【详解】因为,则画出数轴,并表示出集合,如下:可得,故答案为:【点睛】本题考查已知交集结果求参数范围,属于基础题4.若集合，且中只有一个元素，则________；【答案】或【解析】【分析】分和两种情况讨论，当时求出的值.【详解】因为，表示关于的方程的解集，当时，由，解得，所以，符合题意；当时，要使中只有一个元素，则，解得，此时方程，解得，所以，符合题意；综上可得或.故答案为：或5.用反证法证明“自然数a，b，c中至多有一个偶数”时，假设应为_______．【答案】a，b，c中至少有两个偶数【解析】【分析】用反证法证明某命题是，应先假设命题的否定成立，所以找出命题的否定是解题的关键.【详解】用反证法证明某命题是，应先假设命题的否定成立.因为“自然数a，b，c中至多有一个偶数”的否定是：“a，b，c中至少有两个偶数”，所以用反证法证明“自然数a，b，c中至多有一个偶数”时，假设应为“a，b，c中至少有两个偶数”，故答案为：a，b，c中至少有两个偶数.6.若集合，，则____.【答案】【解析】【分析】集合A表示直线去掉一个点，集合B表示二次函数上的点，联立方程判断根即得交集.【详解】依题意，集合B表示上的点，集合A表示直线上的点，故集合中元素表示直线与二次函数的交点，联立得(舍)，故直线与二次函数有1个交点，故集合中有1个元素,.故答案：.7.若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围是________.【答案】【解析】【分析】根据题意，分与讨论，结合必要不充分条件即可得到结果.【详解】由题意可得，可以推出，则不符合题意，比如当时，不符合题意；当时，则是的充要条件，不符合题意；当时，等价于，则，所以，即实数的取值范围是.故答案为：8.设集合且，则实数的取值范围是______.【答案】【解析】【分析】由题意可得，分、、、分别求解即可.【详解】解：因为，所以，当时，，解得；当时，，解得；当时，，解得；当时，，解得；综上所述，实数的取值范围是：.故答案为：9.若集合中有且只有3个元素，且这3个元素恰为直角三角形的三边，则________.【答案】【解析】【分析】先得或，根据判别式，以及集合中元素个数，确定方程有两个根，方程有一个根；求出，以及三个元素，再由三个元素恰为直角三角形的三边，求出，得出，即可得出结果.【详解】由得或，方程的判别式为，方程的判别式为，显然，又集合中有且只有3个元素，所以方程和共三个根，且只能方程有两个根，方程有一个根；即，即；所以方程可化为，解得或，方程可化为，解得，则，又这三个元素恰为直角三角形的三边，所以，解得，则，因此.故答案为：.【点睛】本题主要考查由集合中元素个数求参数的问题，属于常考题型.10.设集合，，则、之间的关系为_________．【答案】【解析】【分析】表示的奇数倍，而表示的整数倍，故得解.【详解】因为，所以集合中的元素是的奇数倍，又因为集合中的元素是的整数倍，所以N.故答案为：.11.设集合，现对M的任一非空子集A，令为A中最大数与最小数之和，则所有这样的的算术平均值为________．【答案】7【解析】【分析】根据集合的子集和并集的概念求解.【详解】集合M的任一非空子集共有个，其中最小值为1的子集可视为的子集与集合的并集，共有个，同上可知，最小值为2的子集共有个，最小值为3的子集共有个，最小值为4的子集共有个，最小值为5的子集共有个，最小值为6的子集共有个，同上可知，最大值为6的子集共有个，最大值为5的子集共有个，最大值为4的子集共有个，最大值为3的子集共有个，最大值为2的子集共有个，最大值为1的子集共有个，所以的所有非空子集中最小值之和为，最大值之和为，所以，故答案为:7.12.对于数集，其中，定义点集，若对于任意，存在，使得，则称集合具有性质.则下列命题中为真命题的是___________.①具有性质；②若集合具有性质，则；③集合具有性质，若，则.【答案】①②③【解析】【分析】根据已知条件及集合具有性质的定义，结合反证法即可求解.【详解】因为，所以，根据集合具有性质的定义，对于任意，若，则或，或，若，取，则；若，取，则；若，取，则；若有一个为负数，则或，若，则取，则；若，则取，则；故①正确；对于任意，存在，使得取，存在使得，所以，不妨设，所以若集合具有性质，则，故②正确；③假设，令，则存在使得，同②得中必有一个数为，若，则，于是，矛盾，若，则，于是，也矛盾，所以，又由②得，所以，所以，故③正确，故真命题是①②③正确.故答案为：①②③.【点睛】解决此题的关键是抓住集合具有性质的定义，结合反证法即可.二.选择题13.数集，，，若，，则（）A. B. C. D.A，，都有可能【答案】A【解析】【分析】根据可知：集合A为奇数集，结合B为偶数集，结合元素与集合之间的关系分析判断.【详解】由题意可知：集合A为奇数集，集合B为偶数集，即a为奇数，b为偶数，则为奇数，所以BD错误，A正确；例如，令，即，解得，所以，故C错误；故选：A.14.若A、B是全集I的真子集，则下列四个命题：①；②；③；④；⑤是的必要不充分条件．其中与命题等价的有（）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【答案】B【解析】【分析】根据韦恩图和集合的交、并、补运算的定义逐一判断可得选项．【详解】解：由得韦恩图：对于①等价于，故①正确；对于②等价于，故②不正确；对于③等价于，故③正确；对于④与A、B是全集I的真子集相矛盾，故④不正确；对于⑤是的必要不充分条件等价于AB，故⑤不正确，所以与命题等价的有①③，共2个，故选：B.15.已知，，，，，均为非零实数，不等式和的解集分别为集合M和N，且，．那么“”是“”的（）．A.充分非必要条件 B.必要非充分条件C.充要条件 D.既非充分又非必要条件【答案】B【解析】【分析】利用充分条件和必要条件定义判断.【详解】解：因为，，所以，当时，等价于，所以不成立，故不充分；当时，，故必要，故选：B．16.当一个非空数集满足“如果，则，，，且时，”时，我们称就是一个数域，以下四个关于数域的命题：①0是任何数域的元素；②若数域有非零元素，则；③集合是一个数域；④有理数集是一个数域.其中假命题的个数是（）.A.0 B.1 C.2 D.3【答案】B【解析】【分析】根据任意相同元素之差是0，可判断①；根据当时，，利用定义依次推导，可判断②，举反例判断③，根据有理数的运算结果判断④.【详解】对于①，根据当，则，即，所以0是任何数域的元素，故①正确；对于②，根据当时，，则，即，进而，，，，故②正确；对于③，对，，但，不满足题意，所以集合不是一个数域，故③不正确；对于④，若，是有理数，则，，，都是有理数，故有理数集是一个数域，所以④正确;所以其中假命题的个数是1个.故选：B.三.解答题17.用适当的方法表示下列集合，并判断它是有限集还是无限集.（1）不等式的解集；（2）二元二次方程组的解集；（3）由大于且小于9的偶数组成的集合.【答案】（1），无限集（2），有限集（3），有限集【解析】【分析】（1）直接解不等式即可，解集为无限，用描述法表示；（2）解方程组，解集为有限，用列举法表示；（3）元素有限个，所以用列举法表示.【小问1详解】因为，所以解集为，为无限集；【小问2详解】二元二次方程组，所以，解得或，所以解集为，为有限集；【小问3详解】大于且小于9的偶数有，所以解集为，为有限集.18.已知A为方程的所有实数解构成的集合，其中a为实数.（1）若A是空集，求a的范围；（2）若A是单元素集合，求a的范围：（3）若A中至多有一个元素，求a的取值范围.【答案】（1）；（2）或；（3）或.【解析】【分析】（1）讨论，根据可得结果；（2）讨论，根据可得结果；（3）转化为方程至多有一个解，由（1）（2）可得结果.【小问1详解】若A是空集，则方程无解，当时，方程有解，不符合题意；当时，，得.综上所述：.【小问2详解】若A是单元素集合，则方程有唯一实根，当时，方程有唯一解，符合题意；当时，，得.综上所述：或.【小问3详解】若A中至多有一个元素，则方程至多有一个解，当方程无解时，由（1）知，；方程有唯一实根时，由（2）知，或.综上所述：或.19.下列命题中，判断条件p是条件q的什么条件.（1），；（2）是直角三角形，是等腰三角形；（3）四边形的对角线互相平分，四边形是矩形；（4），；（5），关于x的方程有实根.【答案】（1）必要不充分；（2）既不充分也不必要；（3）必要不充分；（4）充分不必要；（5）充分不必要【解析】【分析】根据充分不必要条件、必要不充分条件及充要条件的定义逐一判断即可.【小问1详解】解：由可得或，即由推不出，但由可以推出，所以条件p是条件q的必要不充分条件；【小问2详解】解：由是直角三角形推不出是等腰三角形，由是等腰三角形推不出是直角三角形，所以条件p是条件q的既不充分也不必要条件；【小问3详解】解：由四边形的对角线互相平分推不出四边形是矩形(如菱形的对角线互相平分，但菱形不是矩形)，由四边形是矩形可以推出四边形的对角线互相平分，所以条件p是条件q的必要不充分条件；【小问4详解】解：由可得，即有，但由只能得，即由可以推出，但由不可以推出，所以条件p是条件q的充分不必要不条件；【小问5详解】解：由，可得，从而得方程有实根，但由方程有实根，可得，即，即由可以推出，但由不可以推出，所以条件p是条件q的充分不必要不条件.20.设集合；（1）若，求实数的值；（2）若集合中有两个元素，求；（3）若，求实数的取值范围；【答案】（1）或（2）（3）【解析】【分析】（1）由，代入后解方程并检验是否满足题意；（2）根据韦达定理和完全差的平方公式化简求值即可；（3）根据集合B元素情况分类求解即可.【小问1详解】由题意得，因为，所以，所以即，化简得，即，解得或，检验：当时，，满足，当时，，满足，所以或.【小问2详解】因为集合中有两个元素，所以方程有两个根，所以且，，所以.小问3详解】因为，且，当时，，解得，符合题意；当时，则，无解；当时，则，所以；当时，则，无解；综上，.附加题：21.集合有10个元素，设M的所有非空子集为每一个中所有元素乘积为，则___________.【答案】-1【解析】【分析】分析可得M的所有非空子集为可分为4类，分别分析4类子集中，所有元素乘积，综合即可得答案.【详解】集合M的所有非空子集为可以分成以下几种情况①含元素0的子集共有个，这些子集中所有元素乘积；②不含元素0，含元素-1且含有其他元素的子集有个③不含元素0