第15讲 圆的一般方程-2022学年高二数学同步讲义（人教A版2019选择性必修第一册）

第15讲圆的一般方程

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课程标准课标解读

1.理解与掌握圆的一般方程的形式与条件，通过本节课的学习，要求会判断圆存在的条件，会将圆

并能准确的判定圆的存在所满足的条件.会的标准形式与一般形式熟练转化，会根据圆存的条件求

判断点与圆的位置关系.待定参数的值，会用待定系数法求圆的一般式方程，会

2.会用待定系数法求圆的一般方程，并能解求简单问题中的轨迹问题，会解决与圆有关的位置与距

决与圆有关的位置、距离的综合问题.离问题.

四发知识精讲

知识点01圆的一般方程

1.圆的一般方程的定义

当。2+5一4尸>0时，方程/+/+6+4+/=。表示一个圆，这个方程叫做圆的一般方程，

其中圆心为(---,---)，半径r=—VD*2+E2—AF.

222

2.圆的一般方程的推导

把以(a,b)为圆心，r为半径的圆的标准方程(x—a)2+(y-b)2=产展开，并整理得

x2+y2-2ax-2by+/+〃一/=0.取。=-2a,E--2b,F=a2+/?2-r2,

得：x24-y2+£>x+Ey+F=0①.

。.F、n2+F2-4F

把①的左边配方，并把常数项移到右边，得(x+-)2+(y+—)2=-----------.

224

当且仅当。2+炉一4尸>0时・，方程表示圆，且圆心为(一2,-左)，半径长为LJ£>2+E2-4F；

222

nrnF

当。2+£：2-4/=0时，方程只有实数解了=一一,y=----所以它表示一个点(一一,一一)；

2-222

当。2+后2-4尸<0时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形.

【微点拨】判断圆存在的相关条件时需将圆的方程转化为一般式.

【即学即练1】圆的方程为V+y2+x+2y-10=0,则圆心坐标为()

A.(1,-1)B.(―,—1)C.(—1,2)D.1)

22

【答案】D

【分析】根据圆的一般方程可求出结果.

【详解】由x2+y2+x+2y-10=0可知。=1,£=2,

,D1E,

所rri以.一万=-5,~2='

所以圆心为

故选：D.

【即学即练2】方程d+y2+奴-2©，+2/+3a=0表示的图形是半径为，(/•>0)的圆，则该圆圆心位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】D

【分析】根据方程表示的图形是圆，求得。的范围，再由圆心为(-],。)判断.

【详解】•.•方程/+丁+3-2冲+2。2+3。=0表示的图形是半径为2>0)的圆，

.-.a2+(-2a)2-4(2a2+3a)>0,求得-4<”0,

故圆心(-],")在第四象限，

故选：D.

(即学即练3】方程2x2+2y2-4x+8y+10=0表示的图形是()

A.一个点B.一个圆

C.一条直线D.不存在

【答案】A

【解析】方程Zr2+2>,2—4x+8y+10=0,可化为r+丫?—2r+4y+5=0,即(x—l>+(y+2)2=0,故方程

表示点(1,-2).

【即学即练4】若卜则方程f+y2+2or+@+2/+4_i=0能表示的不同圆的个数为

()

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】化简圆为(x+a)2+(y+y=_%_a+],得至卜%-“+1>。，解得结合

«ej-3,-2,-l,0,|,l1,即可求解.

【详解】由圆的方程f+y~+2以+0+2矿+〃一1=0,

可化简得(x+a)~+(y—)~=—(厂—a+1,可得—cr—a+1>。，

244

即36+4a-4<0，解得一2<。<],

又因为。“一3,-2,-1,0,51},所以。=一1或a=0,

所以方程W+丁+2々尢+。),+2。2+。-1=0能表示的不同圆的个数为2个.

故选：B.

【即学即练5】已知方程42+9+y2+6+4+尸=。表示一个圆的充要条件是

【答案】A=0且。2+62一4厂>。

【分析】根据圆的定义和标准方程的形式可得到结果.

【详解】原方程可整理为："图+,+£|-+9="'+：一".,

n2F2-4F

由圆的定义可知，若方程表示圆，则需A=0且+>0,

4

即4=0且。?+E2—4尸>0；

当4=0目.。2+£2一4F>。时，方程表示以'?,一弓)为圆心，为半径的圆;

综上所述：所求的充要条件为：A=0Q.D2+E2-4F>0.

故答案为：A-0Ji£>2+£2-4F>0.

知识点02点与圆的位置关系

点尸(%，%)与圆/+丁+6+£>，+尸=0(。2+工一4/〉0)的位置关系是：

尸在圆内=x；+y；+Dx0+EyQ+F<0,

P在圆上=x；++Dx。+Ey°+F=01

P在圆外=x；+y；+Dx0+Ey0+F>0.

【即学即练6］若点A(l,2),圆的一般方程为/+y2+2x-4)，+l=0,则点A与圆位置关系()

A.圆外B.圆内且不是圆心C.圆上D.圆心

【答案】C

【分析】根据题意，将点A的坐标代入圆的方程，结合点与圆的位置关系，分析的答案.

【详解】根据题意，圆的一般方程为炉+/+2尸”+1=0,

将点A(l,2)代入，可得1+4+2-8+1=0,则点A在圆上,

故选：C.

【即学即练7】已知定点A(a,2)在圆一+/一2以-3旷+。2+a=0的夕卜部，则。的取值范围为

【答案】

。~+2~—2tz"-3x2+4i*+4?>0

【分析】解不等式<即得解.

(-2«)2+(-3)2-4(a2+a)>0

【详解】因为点A(a,2)在圆的外部,

所以［c(i一~2+42+~(—-23c)r2—-34x(24+』o~+)<>z。>0•所以2<〃<o“所以"的取值范围为(29,、4故答案为：,(2,9以、

【点睛】本题主要考查圆的方程，考查点和圆的位置关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

知识点03待定系数法求圆的一般方程

求圆的方程常用“待定系数法"，用''待定系数法”求圆的方程的大致步骤是：

①根据题意，选择标准方程或一般方程；

②根据条件列出关于。、b、r或。、E、R的方程组；

③解出a、枚r或。、E、尸，代入标准方程或一般方程.

【微点拨】求圆的方程时，应根据条件选用合适的圆的方程.一般来说，求圆的方程有两种方法：

(1)几何法，通过研究圆的性质进而求出圆的基本量.确定圆的方程时，常用到的圆的三个性质：①圆心在

过切点且垂直切线的直线上；②圆心在任一弦的中垂线上；③两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共

线：

(2)代数法，即设出圆的方程，用待定系数法求解.

【即学即练8】过三点A(1,-1),B(1,4),C(4,-2)的圆的方程是()

A.x2+y2-7x-3y+2=0B.x2+/+7x-3>-+2=0

C.x2+r+7x+3y+2=0D.x2+/-7x+3y+2=0

【答案】A

【分析】设圆的一般方程为丁+产+m+或+F=0,将A(L-1),C(4,-2)三点代入方程得到方程组,

解得答案.

22

【详解】设圆的一般方程为：X+y+Dx+Ey+F=0

l+\+D-E+F=0

将41,—1),8(1,4),«4,-2)三点代入方程得到方程组：」+16+八+4£+尸=0

16+4+4D-2£+F=0

解得：D=-1,E=-3,F=2,故圆方程为：x2+y2-7x-3y+2=0

故选A

【点睛】本题考查了圆的一般方程，也可以利用垂直平分线求圆心的方法解答.

【即学即练9】经过点A(L不)和8(2,-20),且圆心在x轴上的圆的一般方程为()

A.x2+y2-6y=0B.x2+y2+6y=0

C.x2+y2+6x=0D.x2+y2-6x=0

【答案】D

【分析】设圆的一般式方程，由圆心在x轴上，可得圆心纵坐标为0,再将两点坐标代入方程，即可得圆的

标准方程.

［详解)设圆的方程为Y+/+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),

E

因为圆心在x轴上，所以-5=0,即七=0.

又圆经过点A(l,«)和3(2,-2夜)，

2+(^5)2+D+F=0,f£>+F+6=0,{D=

l即4解得4

22+(-2^2)2+2D+F=0,12D+F+12=0,'[F=

故所求圆的一般方程为/+>2-6\=().故选：D

【点睛】本题考查了待定系数法求圆标准方程，属于基础题.

知识点04轨迹和轨迹方程

1.轨迹和轨迹方程的定义

平面上一动点"，按照一定规则运动，形成的曲线叫做动点"的轨迹.在坐标系中，这个轨迹可用一个

方程表示，这个方程就是轨迹方程.

2.求轨迹方程的五个步骤

①建系：建立适当的坐标系，用(x,y)表示曲线上任意一点M的坐标；

②设点：写出适合条件P的点M的集合P={M\P(M)］；

③列式：用坐标(x,y)表示条件p(M),列出方程R(x,y)=O；

④化简：化方程尸(x,y)=O为最简形式；

⑤查漏、剔假：证明化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点.

【即学即练10】点P(4,—2)与圆好+丁=4上任一点连线的中点的轨迹方程是()

A.(x—2尸+。+1)2=1B.(%-2)2+(y+1/=4

C.(x+4)2+(y-2)2=4D.(^+2)2+(y-1)2=1

【答案】A

【解析】设圆上任一点坐标为(M>,泗)，而+)6=4,连线中点坐标为(x,)，)，

则一''代入就+毋=4中得(X—2产+。+1)2=1.

,2y=yo~21州=2〉+2,

【即学即练11］若Rt"BC的斜边的两端点A,B的坐标分别为(一3,0)和(7,0),则直角顶点C的轨迹方程

为()

A.丹产=25(>¥0)

B.N+>2=25

C.(X—2)2+V=25()M)

D.(x-2)2+V=25

【答案】C

【解析】线段A8的中点为(2,0),因为△A8C为直角三角形，C为直角顶点，所以C到点(2,0)的距离为

||AB|=5,所以点C(x,y)满足［x—2?+y2=5()¥0),即(x—2)2+产=25()¥0).

Q能力拓展

考法01

圆的方程的判断

判断二元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F^0是否表示圆的方法：

(1)利用圆的一般方程的定义，求出+炉_4/利用其符号判断.

(2)将方程配方化为(尤一0)2+()'-42=m的形式，根据机的符号判断.

【典例1】判断下列方程是否表示圆，若是，化成标准方程.

(1)/+产+2%+1=0；

(2)x2+y2+2fzy-l=0；

(3)x2+/+20x+121=0；

(4)/+)2+20¥=0.

【解析】(1)原方程可化为(x+1)2+/=0,它表示点(-1,0),不表示圆.

(2)原方程可化为(y+〃)2=屋+1,它表示圆心为(0,-a),半径为+］的圆,

标准方程为(y+a)2=(77+1)2.

(3)原方程可化为(x+10)2+/=-21<0,故方程不表示任何曲线，故不能表示圆.

(4)原方程可化为(x+a)2+y2=a2.

①当。=0时，方程表示点(0,0),不表示圆；

②当W0时，方程表示以(-«,0)为圆心，半径为⑷的圆，标准方程为(x+a)2+y2=a2.

【即学即练12］方程x2+)?+4〃ix_2y+5m=0表示圆的条件是()

A.—<m<\B.或〃?>1

44

C.m<—D.m>\

4

【答案】B

【解析】由于二元二次方程%2+)2+4)7状-2>+5n7=0表示一个圆，则》+^^尸=脂加+4-20〃?>0,解得〃?>1或

1

in<——.

4

【即学即练13】如果/+y2-2x+y+A=0是圆的方程，则实数々的取值范围是()

A.(—oo,5)FT

18,|)D.|，+8

C.

【答案】B

,155

【解析】方法一：圆的方程化为(X—1)+。+2)2=彳—%,若方程是圆的方程，则需满足%>0,解得

5/5、

k<~.所以实数*的取值范围是-8,了.故选B.

4I4；

方法二：若方程表示圆，则需满足(一2)2+l2-4A:>0，解得％<:.所以实数k的取值范围是[一吗：).故

选B.

考法02

用待定系数法求圆的一般方程

应用待定系数法求圆的一般方程的步骤如下：

【典例2】已知圆C：x2+y1+Dx+Ey+3=0,圆心在直线x+y—1=0上，且圆心在第二象限，半径为明,

求圆的一般方程.

【解析】圆心《一亨，-f),因为圆心在直线x+y—1=0t,

nE

所以一5一1=0,即£>+E=-2,①

又,=恒零三亘=小，所以^+£2=20,②

由①②可得)n=2'或fn=-4'

£=­4[E=2.

D[0=2,

又圆心在第二象限，所以一不<0,即。>0,所以

2[E=-4,

所以圆的一般方程为：f+)a+2x—4y+3=0.

【典例3】试判断41,2),3(0,1),C(7,-6),。(4,3)四点是否在同一个圆上.

【解析】解法-：线段的斜率分别是4赫=1，⑥c=—l，得心8力原一则力,民。三点不共线，设

过A,5,C三点的圆的方程为―+尸+队+£\+b=0.

O+2E+尸+5=0[。=-8

因为A,B,C三点在圆上，所以＜E+E+l=0，解得＜E=4

7D-6E+F+85=0[F=-5

所以过A,5,C三点的圆的方程为丁+丁一8x+4y-5=0，

将点。的坐标(4,3)代入方程，得42+32-8x4+4x3-5=0,即点。在圆上，

故A,B,C,O四点在同一个圆上.

解法二：因为3B.心c=SxL2=—l,所以AB_L3C,

ABBC1-00-7

所以AC是过A,5,C三点的圆的直径，|AC|="(1—7)2+(2+6＞=10,线段AC的中点M即圆心

"(4,-2).

因为|DM|=,(4—4)2+(3+2f=5=；|AC|,所以点。在圆M上，所以AB,C,。四点在同一个圆上.

【名师点睛】判断四点是否在同一个圆上，一般可先求过其中三点的圆的方程，然后把第四个点的坐标代

入，若满足方程，则四点在同一个圆上，若不满足方程，则四点不在同一个圆上.

【即学即练14】已知圆C经过原点0(0,0),A(4,3),8(1,-3)三点，则圆C的方程为()

A.x2+y2-4x-3y=0B.+y~—x+3y—0

C.x2+y2-5x-5=0D.x2+y2-7x+y=0

【答案】D

【分析】设圆的方程为丁+丁+瓜+4+尸=。(。2+片—46>0),

16+9+4。+3七+尸=0

解方程组Jl+9+D-3E+F=0即得解.

F=0

【详解】设圆的方程为炉+),2+6+4+/=。(。2+炉—4£>0),

把点。(0,0),A(4,3),"(1,—3)代入得

16+9+4。+3£+b=0

，1+9+O-3E+尸=0,

F=0

解得。=一7,E=l,F=0,所以圆的方程是Y+y2-7x+y=0.故选：D.

【点睛】求圆的方程，一般利用待定系数法，先定式（•般式和标准式），再定量.

考法03

与圆有关的轨迹问题

求与圆有关的轨迹方程的常用方法：

（1）直接法：能直接根据题目提供的条件列出方程.步骤如下：

港系｝■!建立适当的直角坐标系

____________________________________

迹〉用（x,y）表示轨迹（曲线比任意一点M的坐标

~jr-------------------

伊最卜列出关五。的方程

:但1陵卜:把_方程_化_为最_简形式

:1:--------------------------------------------------

留证明以化简后的方程的解为坐标的点都

—I是曲线上的点_______________

（2）定义法：当动点的轨迹符合圆的定义时，可直接写出动点的轨迹方程.

（3）相关点法：若动点P（x,y）随着圆上的另一动点。（$，x）运动而运动，且和乂可用工,丁表示，则

可将。点的坐标代入已知圆的方程，即得动点P的轨迹方程.

【典例4】已知直角△ABC的斜边为AB，且A（T,0）,5（3,0）,求：

（1）直角顶点。的轨迹方程；

（2）直角边3c中点M的轨迹方程.

【解析】（1）解法一：设顶点C（x,y）,因为AC_L3C，且A8,C三点不共线，所以x/3且x。—1.

乂^AC~,kfic-—-，旦^AC'^HC=-1，

x+1x—3

所以“——匕=一1,化简得f+丁—2x—3=0.

x+1x-3

因此，直角顶点C的轨迹方程为f+>2—2x—3=0（xW3且X丰-1）.

解法二：同解法一得X/3且XH-1.

由勾股定理得|AC|2+|BC|2HABI2,即（x+1）2+y2+（x-3）2+/=16,

化简得/+>2-2%一3=0.

因此，直角顶点C的轨迹方程为尤2+y2—2x—3=0(X73且x7—1).

解法三：设A6中点为。，由中点坐标公式得。(1,0),由直角三角形的性质知，|CO=L|A8|=2,

2

由圆的定义知，动点C的轨迹是以。。,0)为圆心，以2为半径的圆(由于C三点不共线，所以应

除去与x轴的交点).

设C(x,y),则直角顶点C的轨迹方程为(x-I)2+V=4(x丰3且xN-1).

(2)设点M(x,y),点C(x(),%),

因为8(3,0),M是线段3C的中点，由中点坐标公式得了=翌0(%。3且xHl),y=粤，

22

于是有豌=2x—3,%=2y.

由(1)知，点。在圆(x—l)2+y2=4(x声3且XH—1)上运动，将九0，为代入该方程得

(2元一4y+(2y)2=4,即。-2)2+/=1.

所以动点”的轨迹方程为(x-2)2+:/=1(x03且xw1).

【典例5】己知点P(x,y),A(1,0),8(-1,1),且|PA|=”仍叫

(1)求点P的轨迹方程；

(2)判断点P的轨迹是否为圆，若是，求出圆心坐标及半径；若不是，请说明理由.

【解析】⑴由题意得J(x-l)2+y2=V2-J(x+l)2+(y_l)2,两边同时平方，化简得炉+产+6a4)，+3=0,

即点P的轨迹方程为r+V+GxYy+BuO.

(2)解法一：由(1)得(x+3)2+(广2)2=10,故点尸的轨迹是圆，其圆心坐标为(-3,2),半径为屈•

解法二：由(1)得D=6,£=T,F=3,所以。2+E2-4F=36+16-12=40>0,故点P的轨迹是圆.

又一彳=-3,--=2,所以圆心坐标为(-3,2),半径广〈5。2+七2—4尸=病.

222

M分层提分

题组A基础过关练

1.若方程f+y2—x+y+机=0表示一个圆，则实数机的取值范围是（）

A.ZW<yB.AH<y

C.m<2D.m<2

【答案】A

【分析】根据表示圆的条件Q2+£2—4F>O,解不等式即可.

【详解】由。2+£2-4尸>0得（-1）2+[2-4相>0,解得mV；故选：A.

2.圆/+>2-26》+2^+1=0的半径是（）

A.1B.y/2C.6D.2

【答案】C

【分析】把圆的•般方程配方成标准方程可得半径.

【详解】由已知圆的标准方程是（x-6y+（y+l）2=3,...半径为由.故选：C.

3.圆x?+y2+2ar-26“y+3片=0的圆心坐标和半径长依次为（）

A.（兄-疯/）,aB.卜a,6a）,a

C.同D.卜a,岛），同

【答案】D

【分析】将圆的一般式化为标准方程，写出圆心坐标和半径判定即可.

【详解】圆丁+丁+2以-2疯<y+3a2=0化为标准方程为（x+a）?+（y-疯z）2=/.

所以圆心坐标为（-a,6a）,半径为时.故选：D.

4.方程x?+y2+ar-2ay+2/+34=0表示的图形是半径为r（r>0）的圆，则该圆圆心位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】D

【分析】根据方程表示的图形是圆，求得。的范围，再由圆心为（-与，。）判断.

【详解】•.•方程/+/+奴-2@+2/+3。=0表示的图形是半径为r（r>0）的圆，

:./+（-2°）2-4（2/+3a）>0,求得-4<a<0,故圆心（-],。）在第四象限，故选：D.

5.若直线2x-y+a=0始终平分圆/+丫2-4*+4），=0的周长，则a的值为（）

A.4B.6C.-6D.-2

【答案】C

【分析】利用圆的性质可得直线平分圆的周长，必经过圆心，根据圆的一般方程的到圆心坐标，代入直线

方程求得。的值.

【详解】圆/+丁-4x+4y=0的圆心坐标为（2,-2）.直线平分圆的周长，必经过圆心，

二点（2,-2）在直线2》-、+“=0上，.•.4+2+a=0,a=-6,故选：C.

【点睛】根据圆的一般方程求圆心坐标，父+/+公+纱+/=0（筋+/一4/>0）的圆心坐标为（一女,一|）.

6.若方程/+丁+2工一4纱-5。=0表示圆，则下列四个数中。不能取的是（）

A.-1B.-2C.1D.2

【答案】A

【分析】根据二元二次方程表示圆的方程的条件为£>2+^2—4尸>0,解关丁。的不等式，即可得到答案；

【详解】

,••方程/+尸+2尢-44），-54=0表示圆，D2+E2-4F>0=>4+（-4«）2+20«>0=>4«2+5«+l>0,

a>或a<-1,1不能取，故选：A

4

7.点与圆/+丁-2》=0上的动点P之间的最近距离为（）.

A.夜B.2C.V2+1D.72-1

【答案】D

【分析】求出点〃到圆心的距离，然后减去半径即得最近距离.

【详解】将圆丁+丁-2%=0化为标准方程得（x-lf+V=1,

可知圆心为（1,0）,半径为1,

则点M到圆心的距离为J（0-l）2+（l-0）2=夜,

所以点/与圆上的动点P之间的最近距离为&-1.故选：D.

【点睛】本题考查圆上动点到圆外定点距离最小值的求法，属于基础题.

8.若点加（3,0）是圆好+丫2-8》-4>+10=0内一点，则过点M（3,0）的最长的弦所在的直线方程是（）.

A.x+y-3=0B.x-y-3=0

C.2x-y-6=0D.2x+y-6=0

【答案】C

【分析】

先化圆标准方程，再结合几何意义确定最长的弦所在的直线方程.

【详解】

圆*2+y2-8x-4y+10=0的圆心坐标为(4,2),

则过点M(3,0)且过圆心(4,2)的弦最长.

则最长弦所在直线的斜率左=m=2,直线方程是尸2(x-3);.2x-y-6=0

故选：C

【点睛】

本题考查圆标准方程以及几何意义，考查基本分析求解能力，属基础题.

9.直线/:5-y+6=。，OA/:x2+y2-2ax+2by=0,贝U/与M在同一坐标系中的图形可能是()

【答案】A

【分析】

先求出圆例的圆心和半径，可排除B,C选项,再由圆心的位置可得其横纵坐标的正负，从而可判断直线

的位置.

【详解】

解：由炉+产一2〃尤+2切=0,得(x-a)2+(x+6)2=/+从,

所以圆心M(a,-b),半径为J/+从,

山此可知圆加过坐标原点，所以排除B,C,

由选项A,D可知。>0,6<0,

所以直线/：以一〉+〃=0过一、三、四象限,

故选：A.

10.已知圆过4-1,2）,8（1,0）,C（-3,0）三点,则圆的方程是（)

A.x2+y2-4x-9=0B.x2+y2+4x-5=0

C.X2+/-2X-7=0D.x2+y2+2x-3=0

【答案】D

【分析】

‘1+4-D+2E+尸=0

设圆的方程为丁+丫2+6+珍+尸=0,解方程组<1+0+尸=0即得解.

9-30+尸=0

【详解】

设圆的方程为丁+/+6+力，+F=0,

1+4-D+2E+F=0

由题意得“+Q+F=0,

9-3D+F=0

解得。=2,E=0,尸=—3.

•••圆的方程是丁+9+2工-3=0.

故选：D.

【点睛】

方法点睛：求圆的方程，一般利用待定系数法，先定式（一般式和标准式），再定量.

题组B能力提升练

1.在平面直角坐标系中，四点坐标分别为4（2,0）,网3,2-6）,C0,2+6）,。（4,0,若它们都在同一个圆

周上，则。的值为（）

A.0B.1C.2D.6

【答案】C

【分析】

£>=-4

设出圆的•般式/+丁+m+既，+尸=0,根据A（2,0）,8（3,2—百）,C（l,2+石），求出,E=-4,然后将点

F=4

。（4,可带入圆的方程即可求得结果.

【详解】

设圆的方程为/+/+6+4+尸=0,

22

2+0+2D+F=0rn/

由题意得,32+（2-^）:+3D+（2-^）£+F=0,解得E=-4,

0尸=4

12+（2+^）"+D+（2+X/3）£+F=0

所以尤2+y2-4x-4y+4=0,

又因为点D（4,a）在圆上，所以42+/_4乂4-4〃+4=0，即a=2.

故选：C.

2.圆/+/+4），=0的圆心到经过点例（-3,-3）的直线/的距离为右，则直线/的方程为（）

A.x+2y-9=0或2x-y+3=0B.x+2y+9=0或2x-y+3=0

C.x+2y+9=0或2x—y—3=0D.x—2y+9=0或2x—y+3=0

【答案】B

【分析】

当宜线/的斜率存在时，设/的方程为y+3=Z（x+3）,再根据距离公式解方程即可，当宜线/的斜率不存在

时，不满足题意.

【详解】

当直线/的斜率存在时，设经过点M（-3,-3）的直线/的方程为y+3=Z（x+3）,即丘-y+3Z-3=0,

所以圆/+丁+分=0的圆心（0,-2）到直线/的距离为d==石，解得：k=_g或k=2,

yj\+k-2

所以直线/的方程为x+2y+9=0或2x-y+3=0

当直线/的斜率不存在时，直线/的方程为x=-3,此时圆心（0,-2）到直线的距离为3,不满足题意；

综上，直线/的方程为x+2y+9=0或2x-y+3=0.

故选：B

【点睛】

本题考查圆的一般方程求圆心，点到直线的距离求参数，考查运算求解能力，是基础题.本题解题的关键在

于分直线/的斜率存在与不存在两种情况讨论求解.

3.方程/+V-履+2声炉-2=0表示圆的一个充分不必要条件是()

A.k^(-00,-2)U(2,+co)B.kG(2,+oo)

C.&e(-2,2)D.yo,i]

【答案】D

【分析】

L3

化f+y2-kx+2y+^-2=0为(x-万产+(y+l)?=3-j/?,

由3-1二>0求得《的范围，然后逐•核对四个选项得答案.

4

【详解】

k3

由^+y2-kjc+2y+k2-2=0,^(x--)2+(y+l)2=3--k2,

3

若方程x^y2-fcv+2y+好-2=0表示圆，则3—k2>0,即-2<k<2.

4

・・・A,8为方程/+)，2.履+2),+F-2=0表示圆的既不充分也不必要条件，C为充要条件,

而(0,l]u(-2,2),则D为充分不必要条件.

故选：D.

【点睛】

本题主要考查了圆的一般方程，充分条件，必要条件，属于中档题.

4.若x+M=°,则号的取值范围为()

【答案】D

【分析】

将x+JTy=0化为/+9=1(*40),作出图形，根据号的几何意义，结合图形和斜率公式可求出结

果.

【详解】

因为x+y/1—y2=0>所以y/1—y2=—x

所以Y+V=1(x40)

如图，此方程表示的是圆心在原点，半径为1的半圆,

如图，A（O,1）,B（O,-1）,*2,0）%=为=4，即8=旁=、.所以T的取值范围为

U-ZZU—ZZX—2.ZZ

故选：D

5.若ae卜3,-2,贝IJ方程*2+/+2依+。>+2a2+。-1=0能表示的不同圆的个数为（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】

化简圆为。+02+。+号2=_。42_a+1,得到_。42_〃+]>0,解得一2<a<]结合ae

即可求解.

【详解】

由圆的方程尤2+y2+2ax+ay+2a2+〃-1=0,

可化简得（x+a）2+（y+3）2=-3/-"+l，可得-3/-"+l>0,

244

即3/+4。一4<0，解得一2<〃<],

又因为。£卜3,-2,-1,0,,所以a=—1或a=0,

所以方程f+y2+2以+砂+2/+4-1=0能表示的不同圆的个数为2个.

故选：B.

6.已知圆C:f+y2—6尤一8y=0,则：f+））的最大值与最小值的和为（）

A.5B.10C.25D.100

【答案】D

【分析】

设x=3+5cos。，y=4+5sin。，代入V+y2化简，利用辅助角公式以及三角函数的有界性可得答案.

【详解】

把已知圆的一般方程化为标准方程得（x-3）2+（＞-4）2=25,

可设x=3+5cos8,y=4+5sin/9.

x2+y2=50+40sin夕+30cos，=50+50sin（夕+。），

因为一14sin（e+0）〈l,

所以，0450+50sin（g+e）4100,

即x2+y2的最大值为100,最小值为0,

9+52的最大值与最小值的和为100,

故选：D.

【点睛】

本题主要考查圆的方程与性质，考查了辅助角公式以及三角函数的有界性，属于中档题.

7.（多选）由方程/+丁+》+（"?—l）y+；病=0所确定的圆的面积不能为（）

A.乃B.37r

24

C.7tD.27r

【答案】ACD

【分析】

先表示出圆的半径/，可求出r的最大值，即可判断.

【详解】

所给圆的半径为

〃="1+（旭-1）2-2疗=\_,_（加+1）2+3

所以当”=—1时，半径r取最大值正，此时最大面积是1乃.

24

故选：ACD

8.（多选题）若过点（2,0）有两条直线与圆炉+〉2一2》+2》+m+1=（）相切，则实数用的可能取值是（）

A.-3B.3C.0D.j

【答案】CD

【分析】

由题意得点（2,0）在圆外，列出不等式解出机，再由二元二次方程表示圆时的特征列出不等式，综合得结果.

【详解】

山题意过点（2,0）有两条直线与圆/+9-2彳+2〉+机+1=0相切，

则点（2,0）在圆外,即22—2x2+m+l>0,解得“>-1,

由方程Y+y2-2x+2y+〃?+l=0表示圆，则（一2>+2?-4（机+1）>0,解得〃?<1,

综上，实数〃，的取值范围是（-U）.

即实数旭取值范围是0,

故选：CD.

【点睛】

关键点点睛：

（1）将题意等价转化为点和圆的位置关系；

（2）理解二元二次方程在什么情况下表示圆.

9.（多选题）已知圆M的一般方程为J+y2-8x+6y=0,则下列说法正确的是（）

A.圆也的圆心为（4,-3）

B.圆M被x轴截得的弦长为8

C.圆M的半径为5

D.圆M被》轴截得的弦长为6

【答案】ABCD

【分析】

将圆M一般方程化为标准方程，可求得圆心和半径，即可判断AC是否正确，再令x=0和>=0,算出弦长

可判断BD是否正确.

【详解】

由圆M的一般方程为f+y2-8x+6y=0,则圆用:（x-4）2+（y+3）2=52,

故圆心为（4,-3）,半径为5,则AC正确;

令x=0,得y=0或y=-6,弦长为6,故D正确；

令y=0,得x=0或x=8,弦长为8,故B正确.

故选：ABCD.

【点睛】

本题考查了圆的一般方程与标准方程的互化，圆被》轴，）轴所截的弦长问题，属于基础题.

10.已知点在圆/+卜2一2小+1=0外，则实数/的取值范围为.

【答案】（-4,T）U（L0）

【分析】

由方程/+丁-2。+1=0表示圆可得（-2。2-4>0,再由点”（1,。在圆/+>2_2。+1=0外，可得

1+*_2/+1>0,从而可求出实数f的取值范围

【详解】

解：因为在圆丁+丁-2。+1=0外，

所以（一2。2-4>0且1+/_2r+1>0,得1<产<2,

解得-五<f<-l或1</<0>

所以实数r的取值范围为卜垃,-l）U（l，&），

故答案为：（-72,-1）U（1,V2）

11.已知平面上到两直线y=》与>=去的距离平方和为1的点的轨迹是一个圆，则实数左=.

【答案】T

【分析】

根据题意列出方程，再化简，满足圆的方程的条件得到关于左的方程，最后解方程即可.

【详解】

设此点的坐标为（x,y）,则依题意有（"、份'卜+（^7=）2=1,

化简得&+工濡+（〈+昌）/一（冷+1）孙=1，

2K+12Ar+1k+\

2k

此方程要表示圆，则k=+l=0n攵=-1.

k

故答案为：-1.

12.已知方程。「X2+（2-a）/+8x-4y-5a=0表示圆,则圆心坐标是_.

【答案】T2)

【分析】

根据方程。y+(2-〃犷+以-4｝，-5〃=0表示圆，先由〃=(2-a),解得。=1或_2,然后再分别讨论是否为圆

并求圆心坐标.

【详解】

若方程CTJC+(2-a)y2+8x-4.y-5〃=0表示圆，则有/=(2-㈤，

UPa2+<z-2=0,解可得：。=1或一2,

当。=1时，方程为x2+V+8x-4y_5=0,变形可得(x+4)?+(丫-2尸=25,表示圆心为(Y,2),半径为5的圆，

当a=-2时，方程为4犬+4/+8x-4y+10=0,即x2+/+2x-y+'|=0,变形可得(工+1尸+(y-g)2+[=0,不

能表示圆，故圆心的坐标为(Y⑵，故答案为：(Y2).

13.已知点A(0,