初中数学教案人教版初中数学九年级下册同步测试 第28章 锐角三角函数

授课教师肖君学生姓名尉志远上课时间

学科数学年级九年级课时计划第______次

提交时间学管师汤玲教学主管

测试1锐角三角函数定义

学习要求

理解一个锐角的正弦、余弦、正切的定义.能依据锐角三角函数的定义，求给定锐角的三角函数值.

课堂学习检测

一、填空题

1.如图所示，B、B'是NMAN的AN边上的任意两点，BCLAM于C点，B'C于C'点，则

We's--从而震=普=堤，又可得

①----=_______，即在RtZ\A8C中(NC=90°),当NA确定时，它的______与______的比是一个

AB'

______值；

&C'

②——=______,即在Rt/XABC中(NC=90°),当/A确定时，它的______与______的比也是一

AB'

个；

~,即在RtzMBC中(NC=90°),当NA确定时，它的与的比还是一

AC

个.

第1题图

2.如图所示，在RI/XABC中,ZC=90°.

第2题图

())_

①sinA=sinB=

斜边斜边

()_)

②cosA=cosB==

斜边斜边

tanB=N8的对边

③tan4=()

NA的邻边()

3.因为对于锐角a的每一个确定的值,sina、cosa、tana分别都有与它，所以sina、

cosa>tana都是.又称为a的-

4.在RtZXABC中，ZC=90°，若a=9,b=\2,则c=____,

sinA=,cosA=，tanA=，

sinB=______,cosB=_____tanB=______.

5.在RtZiABC中,ZC=90°,若1,b=3,则c=,

sinA=,cosA=，tan4=，

sinB=______,cosB=_____tanB=______.

6.在RtZ\ABC中,ZB=90°,,若〃=16,c=30,则b=______

sinA=,cosA=，tanA二，

sinC=______,cosC=_____，tanC=______.

7.在RtZ\ABC中,ZC=90°,若NA=30。，则/B=______,

sinA=,cosA=，tan4=，

sinB=______,cosB=_____tanB=______•

二、解答题

8.已知：如图，RtZ\7NM中，/TMN=90°,MRL7N于R点、,TN=4,MN=3.

求：s\nZTMR.cosNTMR、tanNTMR.

3

9.已知RtZ\ABC中，NC=90°,tanA=-,BC=12,求AC、AB和cosB.

综合、运用、诊断

10.已知：如图，RtZ\4BC中，ZC=90°.。是AC边上一点，DE_LAB于E点.DE：AE=I：2.

求：sinB、cosB、tanfi.

A

D

3

11.己知：如图，。。的半径O4=16cm,OC_LAB于C点，sinNAOC=—,求：A8及0C的长.

4

3

12.已知：。0中，OCJ_A8于。点，A8=16cm,sinZAOC=--

5

(1)求。0的半径OA的长及弦心距OC；

(2)求cosNAOC及tanNAOC

13.己知：如图，△A8C中，AC=12cm,A8=16cm,sinA=--

⑴求A8边上的高CO；

(2)求△ABC的面积5；

(3)求tanB.

14.已知：如图，△A8C中，4B=9,8c=6,AABC的面积等于9,求sinB.

A

BC

拓展、探究、思考

15.已知：如图，RtZ\A5C中，ZC=90°,按要求填空:

(l)vsinA=—,

c

a=c-sinA,c=；

(2)vcosA=~,

c

♦・b=,c--；

(3)vtanA=—,

b

••u=，b=；

(4)sinB=--cosB=,tanB-；

3.

(5)vcosB=/.sinB=,tanA=；

(6)tanB=3,sinB=>sinA=.

测试2锐角三角函数

学习要求

1.掌握特殊角(30°,45°,60°)的正弦、余弦、正切三角函数值，会利用计算器求一个锐角的三角

函数值以及由三角函数值求相应的锐角.

2.初步了解锐角三角函数的一些性质.

课堂学习检测

一、填空题

1.填表.

锐角a30°45°60°

sincr

cosa

tana

二、解答题

2.求下列各式的值.

(I)2sin300-V2cos45°(2)tan300-sin600-sin300

(3)cos45°+3tan300+cos30°+2sin60°—2tan45°

(4)cos245°----!---F——!----Fcos230O+sin245°

sin30°tan30°

3.求适合下列条件的锐角a.

小1⑵tana=W

(1)cosa=—

2

(3)sin2a=孚

(4)6cos(a-16°)=3-73

综合、运用、诊断

17

6.已知：如图，在菱形ABCQ中，£>E_LAB于E,B£=16cm,sinA=上•求此菱形的周长.

13

7.已知：如图，在△ABC中，NBAC=120°,AB=\0,AC=5.求：sinNACB的值.

8.已知：如图，Rtz^ABC中，ZC=90°,ZBAC=30°,延长CA至。点，使AD=AB.求:

(1)/。及NOBC；

(2)tanD及tan/DBC；

9.已知：如图，RtZkABC中，ZC=90°,AC=BC=6,作ND4C=30°,AO交CB于3点,

求:

(l)ZBAD；

(2)sin/BAD、cos/BAO和tanNBAD.

10.已知：如图△ABC中，。为BC中点，且/8AO=90°,tanZB=—,求：sinZCADxcosZCAD>

3

tanZCAD.

测试3解直角三角形（一）

学习要求

理解解直角三角形的意义，掌握解直角三角形的四种基本类型.

课堂学习检测

一、填空题

1.在解直角三角形的过程中，一般要用的主要关系如下（如图所示）:

在RtZXABC中，ZC=90°，AC=b,BC=a,AB=c,

第1题图

①三边之间的等量关系:

②两锐角之间的关系:

③边与角之间的关系：

sinA=cos6=；cosA=sinfi=

tanA“=---1---=；----1--=tanBn=.

tanBtanA

④直角三角形中成比例的线段（如图所示）.

第④小题图

在RtZ\4BC中，ZC=90°,COJ-AB于D.

CD』；AC=；

BC=；AC•BC=.

⑤直角三角形的主要线段（如图所示）.

第⑤小题图

直角三角形斜边上的中线等于斜边的,斜边的中点是

若r是Rt4ABC（/C=90°）的内切圆半径，贝Ur==.

⑥直角三角形的面积公式.

在RtZ^/ABC中，ZC=90°,

SAASC=.（答案不唯一）

2.关于直角三角形的可解条件，在直角三角形的六个元素中，除直角外，只要再知道（其中

至少）,这个三角形的形状、大小就可以确定下来.解直角三角形的基本类型可分为已知

两条边（两条或斜边和）及已知一边和一个锐角（______和一个锐角或

和一个锐角）

3.填写下表：

已知条件解法

一条边和斜边c和锐角/ANB=—___，a=____，b=____

一个锐角直角边a和锐角NA/B=—__,b=____，c=____

两条直角边。和人c=___由_____求NA,ZB=____

两条边

直角边a和斜边cb=___由_____求乙4,ZB=____

二、解答题

4.在RtaABC中，ZC=90°.

（1）已知：a=35,c=35后，求NA、ZB,b；

(2)己知：a=2-\/3,b=2,求NA、N.B,c；

.2、

（3）已知:sinA——,c=6,求a、b；

3

3、

（4）已知:tanB——,b-9,求a、c；

2

(5)已知：NA=60°,△ABC的面积S=126,求a、b、c及NB.

综合、运用、诊断

5.已知：如图，在半径为R的。。中，ZA0B=2a,0CL4B于C点.

(1)求弦A3的长及弦心距；

(2)求。。的内接正n边形的边长斯及边心距r„.

6.如图所示，图①中，一栋旧楼房由于防火设施较差，想要在侧面墙外修建一外部楼梯，由地面到二

楼，再从二楼到三楼，共两段(图②中AB、BC两段)，其中CC'=

BB'=3.2m.结合图中所给的信息，求两段楼梯A8与BC的长度之和(结果保留到0.1m).(参考数

据：sin30°=0.50,cos30°-0.87,sin35°-0.57,cos35°—0.82)

7.如图所示，某公司入口处原有三级台阶，每级台阶高为20cm,台阶面的宽为30cm,为了方便残疾

人士，拟将台阶改为坡角为12°的斜坡，设原台阶的起点为A,斜坡的起点为C,求4C的长度(精

确到1cm).

拓展、探究、思考

8.如图所示，甲楼在乙楼的西面，它们的设计高度是若干层，每层高均为3m,冬天太阳光与水平面

的夹角为30°.

（1）若要求甲楼和乙楼的设计高度均为6层，且冬天甲楼的影子不能落在乙楼上，那么建筑时两楼之

间的距离BD至少为多少米?（保留根号）

（2）由于受空间的限制，甲楼和乙楼的距离8O=21m,若仍要求冬天甲楼的影子不能落在乙楼上，

那么设计甲楼时，最高应建几层？

9.王英同学从A地沿北偏西60°方向走100m到8地，再从2地向正南方向走200m到C地，此时王

英同学离A地多少距离？

10.已知：如图，在高2m,坡角为30°的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要多少米?（保留整数）

测试4解直角三角形（二）

学习要求

能将解斜三角形的问题转化为解直角三角形.

课堂学习检测

1.己知：如图，△ABC中，N4=30°,Zfi=60°,AC=10cm.

求AB及8c的长.

2.己知：如图，RtZvlBC中，ZD=90°,/B=45°,ZACD=f>0°.BC=10cm.求A。的长.

A

3.已知：如图，△ABC中，/A=30°,/B=135°,AC=10cm.

求AB及BC的长.

4.已知：如图，Rt/XABC.ZA=30°,ZC=90°，/8£>C=60°,BC=6cm.求A。的长.

综合、运用、诊断

5.已知：如图，河旁有一座小山，从山顶A处测得河对岸点C的俯角为30°,测得岸边点。的俯角为45°,

又知河宽CD为50m.现需从山顶A到河对岸点C拉一条笔直的缆绳AC,求山的高度及缆绳AC的长（答

案可带根号）.

6.已知：如图，一艘货轮向正北方向航行，在点A处测得灯塔M在北偏西30°,货轮以每小时20海里的

速度航行，1小时后到达B处，测得灯塔例在北偏西45°,问该货轮继续向北航行时，与灯塔M之间

的最短距离是多少?（精确到0.1海里，V3®1.732）

7.已知：如图，在两面墙之间有一个底端在A点的梯子，当它靠在一侧墙上时，梯子的顶端在8点：当它

靠在另一侧墙上时，梯子的顶端在。点.已知/ft4C=60°,ND4E=45°.点。到地面的垂直距离

DE=3V2m,求点B到地面的垂直距离BC.

8.己知：如图，小明准备测量学校旗杆A8的高度，当他发现斜坡正对着太阳时•，旗杆A8的影子恰好落

在水平地面和斜坡的坡面上，测得水平地面上的影长8c=20m,斜坡坡面上的影长CD=8m,太阳光线

AO与水平地面成26°角，斜坡8与水平地面所成的锐角为30°,求旗杆AB的高度（精确到1m）.

9.已知：如图，在某旅游地一名游客由山脚A沿坡角为30°的山坡AB行走400m,到达一个景点8,再

由B地沿山坡BC行走320米到达山顶C,如果在山顶C处观测到景点B的俯角为60°.求山高C£＞（精

确到0.01米）.

10.已知：如图，小明准备用如下方法测量路灯的高度：他走到路灯旁的一个地方，竖起一根2m长的竹竿,

测得竹竿影长为1m,他沿着影子的方向，又向远处走出两根竹竿的长度，他又竖起竹竿，测得影长正

好为2m.问路灯高度为多少米？

11.已知：如图，在一次越野比赛中，运动员从营地A出发，沿北偏东60°方向走了500百m到达B点,

然后再沿北偏西30°方向走了500m,到达目的地C点.求

(1)A、C两地之间的距离；

(2)确定目的地C在营地4的什么方向?

12.已知：如图，在1998年特大洪水时期，要加固全长为10000m的河堤.大堤高5m,坝顶宽4m,迎水

坡和背水坡都是坡度为1：1的等腰梯形.现要将大堤加高1m,背水坡坡度改为1：1.5.已知坝顶宽

不变，求大坝横截面面积增加了多少平方米，完成工程需多少立方米的土石？

G

DA

拓展、探究、思考

13.已知：如图，在△ABC中，AB=c,AC=b,锐角=

(1)BC的长；

(2)AABC的面积.

14.已知：如图，在△ABC中，AC=b,BC=a,锐角N4=a,4B=/3.

(1)求AB的长；

(2)求证：-^-=—

sinasin/?

15.已知：如图，在RtZiAZJC中,ZD=90°,NA=a,ZCBD=/3,AB=a.用含a及a、/的三角函数

的式子表示CD的长.

16.已知：△ABC中，NA=30°,AC=10,BC=572,求48的长.

17.已知：四边形48。。的两条对角线4仁8。相交于£点，/^=4,8£>=6,/8后。=(?(0°<a<90°),

求此四边形的面积.

测试5综合测试

1.计算.

⑴2cos60。2sin30°+sin245°+tan30°-tan60"

⑵

tan600-V2tan450cos2300+cos260。

2.已知：如图，ZVIBC中，ZACB=90°,CD±ABD,AB=32,8c=12.

求：sin/ACD及A£＞的长.

4

3.己知：Rt^ABC中，NAC8=90°,C0_LA8于。点，AB=2m,BD=m~\,cosA=--

5

(1)用含〃?的代数式表示BC；

(2)求机的值；

4.己知：如图，矩形ABCO中，AB=3,BC=6,BE=2EC,于M点.求DM的长.

5.已知：如图，四边形ABC。中，/A=45°,/C=90°,ZABD=75°,/DBC=

30°,AB=2a.求8c的长.

D

6.已知：如图，四边形ABCQ中，ZA=ZC=90°,ZD=60°,AD=573.AB=3,求BC的长.

7.已知：如图，/XABC内接于。0,BC=m,锐角/4=a,

⑴求。0的半径R；

(2)求△ABC的面积的最大值.

8.已知：如图，矩形纸片ABCZ)中，BC=m,将矩形的一角沿过点B的直线折叠，使A点落在。C边上,

落点记为A',折痕交A。于£若N4'BE=a.

m

求证：EB

cosa・sin2a

AB

答案与提示

第二十八章锐角三角函数

测试1

1.△8AC,AB,AC.

①—,对边，斜边，固定；

AB

必，邻边,

②斜边，固定值;

AB

③—,对边，邻边，固定值.

AC

ah

2.①NA的对边，一,NB的对边，一；

CC

hn

②NA的邻边，的邻边，

CC

③NA的对边，区,/8的邻边，--

ba

3.唯一确定的值，对应，a的函数，锐角三角函数.

”343434

4•13，~~，~~，~，二，~,

554553

而巫3V10]_3V10巫

5.

..815815815

6z•34,,,,,,

7.I。13走走1

no/7

8.sinZ.TMR=sinN=^-,cosN7MR=cos/N=—,tan/7MR=tanN=^-・

443

3

9.AC=16,AB=20,cosB=—•

2V5V5

10.sinB-—-,cosB—5JanB=2.

11.AB=2AC=2AO•sinZAOC=24cm,OC=ylo/r-AC1=4V?cm

403243

12.(1)OA=—cm,(?C=—cm;(2)cosZA(?C=—,tanZAOC=--

1

13.(1)CZ)=AC・sinA=4cm；(2)S=-ABxCD=32cm92;

2

„2+V2

(3)tanB=—-----

14.sinB=—

3

CAb

15.⑴白；(2)c-cosA,-------;

sinAcosA

(3)/7-tanA,--一(4)—,V3;

tanA2

43心3布Vio

(叼7

16.P(cosa,sina),C(l,tana).提示：作P£)_Lx轴于。点.

hi

17.(l)sinZ1=^-,cosZl=—,tanZ1=V3.

22

.八而八2s八V3

(2)sinz_l=-y—,cos/1=-二-,tanz_l

F

提示：作AE_LBC于E,设AP=2.

测试2

1.

锐角a30°45°60°

V2V3

sina

2VV

V3V2£

cosa

V22

旦

tana1V3

3

2.(1)0；(2)—2;(4)-73--y-

12224

3.(l)a=60°；(2)a=30°；(3)22.5°；(4)46°.

4.(1)0.391；(2)1.423.

5.(1)49°11'11"；(2)24°52'44".

6.104cm.提示：设£>E=12rcm,则得AO=13xcm,AE=5xcm.利用BE=16cm.

列方程8x=16.解得x=2.

7.卑，提示：作8OJ_C4延长线于。点.

8.(1)ZD=15°,ZDBC=75°；

(2)tan£)=2-6,tanZDBC=2+6；(3)tan22.5°=72-1.

9.(1)15°；

A/6-V2V6+V2广

(2)sinABAD=---------,cosABAD=--------,tanABAD=2-43.

44

10.建工驾a,3•提示：作。后〃区*

交AC于E点，或延长A。至F,使。F=

13132

AD,连结CF.

11.提示：作CE_LO4于E,作。F_LO4于凡(3)增大，(4)减小.

12.(2)增大.

13.提示：利用锐角三角函数定义证.

14.原式=Jsin，a+cos?a-2sinacosa

=J(sina-cosa)2

=|sina-cosa|

sina-cosa(45°<a<90°),

cosa—sina(0°<cr<45°).

15.⑴①〜⑥略.sin2a=2sinacosa.

(2)vS.ARr=—AC-5E=—xlxsin2<z=—sin2a,

ABC222

S^BC-gBC・AD=BDxAD=sin。cosa,

I.sin2a=2sinczcoscr.

2

16.不发生改变，设NBAC=2a,BC=2m,则•S^BC=/a.(小？,ana)=加*.

测试3

1.①42+"=/；②NA+NB=90。；③巴

ccba

®AD•BD,AD•AB,BD•BA,AB•CD：

⑤一半，它的外心，"+'-c（或）

2a+b+c

⑥Lab或>ch（h为斜边上的高）或工匕csinA或'acsin8或，r（a+b+c）.

2222

（r为内切圆半径）

2.两个元素，有一个是边，直角边，一条直角边，斜边，一条直角边.

3.90°—乙4,sinA,cosA；

90°-NA,

tanA'sinA'

c=yla2+b2,tanA=—,90°-ZA;

b

b=Ji_〃2,sinA=—,90°-ZB.

c

4.(1)ZA=45°,ZB=45°,/?=35；

(2)ZA=60°，ZB=30°,c=4；

(3)a=4,b=2石;

(4)。=6,c=3V13；

(5)。=6y[2,b-26,c=4A/6,ZB=30°.

5.⑴AB=2R,sina,