第二章 函数与基本初等函数（测试）（含答案解析）

第二章函数与基本初等函数（测试）（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分（选择题共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．函数的一个单调递减区间为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】令，则，由复合函数的单调性可知：的单调递减区间为函数的单调递减区间，又函数，即函数为偶函数，结合图象，如图所示，可知函数的单调递减区间为和，即的单调递减区间为和．故选：C．2．二维码与我们的生活息息相关，我们使用的二维码主要是大小的特殊的几何图形，即441个点.根据0和1的二进制编码规则，一共有种不同的码，假设我们1万年用掉个二维码，那么所有二维码大约可以用（

）（参考数据：）A．万年 B．万年 C．万年 D．万年【答案】A【解析】万年用掉个二维码，大约能用万年，设，则，即万年．故选：A．3．已知函数，存在最小值，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，则，当时，，所以在上单调递增，无最小值，根据题意，存在最小值，所以，即.故选：A.4．对函数作的代换，则不改变函数值域的代换是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】C【解析】因为函数的定义域为，且不是周期函数，当时，其：，对于A项，当时，，即，这与不符合，故A项不成立；对于B项，当时，，即，这与不符合，故B项不成立；对于C项，当时，，即，故C成立；对于D项，当时，，即，这与不符合，故D项不成立；故选：C．5．已知函数在上的最大值和最小值分别为，，则（

）A． B．0 C．2 D．4【答案】A【解析】令，定义域为，因为在上的最大值和最小值分别为，，所以在上的最大值和最小值分别为，，因为，所以为奇函数，的图象关于原点对称，所以的最大值和最小值互为相反数，即，所以，故选：A.6．直线与函数分别交于两点，且，则函数的解析式为（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由题意可知，定义域为，函数在定义域内单调递增，函数在定义域内单调递减，则，所以，解得，所以.故选：B.7．已知函数的图象关于直线对称，则（

）A．8 B．10 C．12 D．14【答案】B【解析】依题意，为偶函数，当时，，由可知，解得，所以.故选：B8．已知函数方程有两个不同的根，分别是则（

）A． B．3 C．6 D．9【答案】B【解析】由题意得：为R上的增函数，且当时，，，当时，，，方程有两个不同的根等价于函数与的图象有两个交点，作出函数与的图象如下图所示：由图可知与图象关于对称，则两点关于对称，中点在图象上，由，解得：.所以.故选：B二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．函数的大致图象可能是（

）A． B．C． D．【答案】ABD【解析】由题意知，则，当时，，，，当时，，，，所以的大致图象不可能为C，而当为其他值时，A，B，D均有可能出现，不妨设，定义域为，此时A选项符合要求；当时，定义域为，且，故函数为奇函数，所以B选项符合要求，当时，定义域为，且，故函数为偶函数，所以D选项符合要求.故选：ABD10．已知定义在R上的函数满足，且不是常函数，则下列说法中正确的有（

）A．若2为的周期，则为奇函数B．若为奇函数，则2为的周期C．若4为的周期，则为偶函数D．若为偶函数，则4为的周期【答案】ABD【解析】对于A：若2是的周期，则，由，可得，所以，所以为奇函数；故A正确；对于B：若为奇函数，则，由，可得，所以2是的周期，故B正确；若4是的周期，设，则，该函数的最小周期为，故为该函数的周期，当该函数为奇函数，故C不正确；对于D：若为偶函数，则，由，可得，所以，所以，所以4是的周期，故D正确.故选：ABD.11．已知函数其中，且，则（

）A． B．函数有2个零点C． D．【答案】ACD【解析】，故A正确；作出函数的图象如图所示，观察可知，，而，故，有3个交点，即函数有3个零点，故B错误；由对称性，，而，故，故C正确；b，c是方程的根，故，令，则，故，而，均为正数且在上单调递增，故，故D正确，故选：ACD.第二部分（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．若函数为偶函数，则.【答案】【解析】因为为偶函数，所以，即，即，即，所以，故答案为：13．已知函数，若，则当取得最小值时，．【答案】【解析】由得，即，令，则当且仅当，即时，取得最小值，此时z也取得最小值．故答案为：.14．已知奇函数的定义域为，，且，则在上的零点个数的最小值为.【答案】9【解析】由，可得的图象关于点对称，又是奇函数，所以，则的周期为3，所以，，而，则.故在上的零点个数的最小值为9.故答案为：9.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。15．（13分）已知函数．(1)画出函数的图象；(2)求关于的不等式的解集．【解析】（1）由，解得或，当时，，当时，，当时，，所以，（5分）画出函数的图象如图所示．（7分）（2）法一：当时，原不等式转化为，得；当时，原不等式转化为，得；（9分）当时，原不等式转化为，无解．综上，原不等式的解集为．（13分）法二：当时，解得，当时，解得，数形结合可知，当时，（12分）即原不等式的解集为．（13分）16．（15分）已知二次函数的最小值为，且关于的不等式的解集为(1)求函数的解析式；(2)若函数与的图象关于轴对称，且当时，的图象恒在直线的上方，求实数的取值范围．【解析】（1）因为是二次函数，且关于的不等式的解集为，所以，所以当时，，所以，故函数的解析式为.（6分）（2）因为函数与的图象关于轴对称，所以，当时，的图象恒在直线的上方，所以，在上恒成立，即，所以，（9分）令，则，因为(当且仅当，即时，等号成立)，所以实数的取值范围是.（15分）17．（15分）正安县是中国白茶之乡．在饮用中发现，茶水的口感与水的温度有关．经实验表明，用100℃的水泡制，待茶水温度降至60℃时，饮用口感最佳．某实验小组为探究室温下刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间，每隔测量一次茶水温度，得到茶水温度随时间变化的数据如下表：时间012345水温℃1009182.978.3772.5367.27设茶水温度从100℃经过后温度变为℃，现给出以下三种函数模型：①；②；③．(1)从上述三种函数模型中选出最符合上述实验的函数模型，并根据前3组数据求出该解析式；(2)根据（1）中所求函数模型，求刚泡好的白茶达到最佳饮用口感的放置时间（精确到）；(3)考虑到茶水温度降至室温就不能再降的事实，求进行实验时的室温约为多少．（参考数据：）【解析】（1）由表格数据知：函数单调递减且递减速度逐渐变慢，故模型①③不符合，选模型②，则，即，可得，所以且.（5分）（2）令，则.所以泡好的白茶达到最佳饮用口感的放置时间为.（12分）（3）由，即，所以进行实验时的室温约为10℃.（15分）18．（17分）已知函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是是奇函数，给定函数.(1)求函数图象的对称中心；(2)判断在区间上的单调性（只写出结论即可）；(3)已知函数的图象关于点对称，且当时，.若对任意，总存在，使得，求实数的取值范围.【解析】（1）设函数的图象的对称中心为，则，即，整理得，可得，解得，所以的对称中心为.（4分）（2）函数在上单调递增；证明如下：任取且，则，因为且，可得且，所以，即，所以函数在上单调递增.（8分）（3）由对任意，总存在，使得，可得函数的值域为值域的子集，由（2）知在上单调递增，故的值域为，所以原问题转化为在上的值域，（9分）当时，即时，在单调递增，又由，即函数的图象恒过对称中心，可知在上亦单调递增，故在上单调递增，又因为，，故，因为，所以，，解得，当时，即时，在单调递减，在单调递增，（11分）因为过对称中心，故在递增，在单调递减，故此时，欲使，只需且，（13分）解不等式，可得，又因为，此时；当时，即时，在递减，在上亦递减，由对称性知在上递减，所以，因为，所以，解得，综上可得：实数的取值范围是.（17分）19．（17分）设n次多项式，若其满足，则称这些多项式为切比雪夫多项式.例如：由可得切比雪夫多项式，由可得切比雪夫多项式.(1)若切比雪夫多项式，求实数a，b，c，d的值；(2)对于正整数时，是否有成