信号与系统第2版 课件2连续时间信号与系统的时域分析

信号与系统主讲：严国志信号与系统

课程目录第1章绪论第2章连续时间信号与系统的时域分析第3章连续时间信号与系统的频域分析第4章连续时间信号与系统的复频域分析第5章离散时间信号与系统的时域分析第6章离散时间信号与系统的频域分析第7章离散时间信号与系统的Z域分析2024/10/162第二章

连续时间信号与系统的时域分析

第2章连续时间信号与系统的时域分析2.1引言2.2典型连续时间信号及其基本特性2.3连续时间信号的基本运算2.4连续时间系统的数学模型及其求解经典解法零输入响应和零状态响应2.5单位冲激响应和单位阶跃响应2.6卷积积分及其性质2.7单位冲激响应表示的线性时不变系统的特性2.2典型连续时间信号及其基本特性典型普通信号

正弦信号

实指数信号

虚指数信号

复指数信号抽样信号奇异信号

单位阶跃信号

单位冲激信号

符号函数冲激偶信号2.2典型连续时间信号及其基本特性对时间的微、积分仍是同频率正弦正弦信号是周期信号，其周期T与角频率和频率f满足下列关系式：（1）正弦信号：一、典型普通信号2.2典型连续时间信号及其基本特性（2）指数信号---实指数信号指数信号一般形式实指数信号，即2.2典型连续时间信号及其基本特性（2）指数信号---虚指数信号复指数信号的周期：复指数信号的基波周期：2.2典型连续时间信号及其基本特性（2）指数信号---复指数信号2.2典型连续时间信号及其基本特性例：试画出f=50Hz,,的电力系统常见暂态波形t=0:0.0001:0.2;U=1;tao=0.1;f=50;w0=2*pi*f;ut=U*sqrt(2)*exp(-1/tao*t).*cos(w0*t);plot(t*1000,ut)xlabel('t/ms')ylabel('u(t)')

2.2典型连续时间信号及其基本特性抽样信号Sa(t)

（3）抽样信号

抽样函数的性质注意MATLAB中的sinc函数定义为2.2典型连续时间信号及其基本特性例：t=-10:0.01:10;xt=sinc(t);plot(t,xt)xlabel('t')ylabel('x(t)')title('抽样信号')2.2典型连续时间信号及其基本特性（4）单位阶跃信号1）定义2.2典型连续时间信号及其基本特性2）单位阶跃信号的性质：可以方便地表示某些信号

2.2典型连续时间信号及其基本特性用阶跃函数表示信号的作用区间2.2典型连续时间信号及其基本特性微积分

2.2典型连续时间信号及其基本特性（5）单位冲激信号

1)定义

单位冲激信号又可称为冲激函数、狄拉克函数等，记为δ(t)。单位冲激信号反映一种持续时间极短、函数值极大的信号类型。如：单位阶跃信号加在电容两端，流过电容的电流可用冲激信号表示。2.2典型连续时间信号及其基本特性时移性单位冲激函数为偶函数2)冲激信号的性质2.2典型连续时间信号及其基本特性抽样特性

把冲激函数与连续时间函数的乘积在整个时间范围内积分，可以得到冲激时刻的连续时间信号的取值，即“抽样”。所以，冲激函数具有抽样（检测）特性。为一个在t=0处连续且处处有界的信号，则2.2典型连续时间信号及其基本特性乘积特性

连续时间信号x(t)与单位冲激信号相乘，等于将冲激时刻t0的信号值x(t0)“筛分”出来赋给冲激函数做冲激强度2.2典型连续时间信号及其基本特性尺度特性证明：分析：用两边与f(t)的乘积的积分值相等证明，分a>0、a<0两种情况

两边相等2.2典型连续时间信号及其基本特性

两边相等2.2典型连续时间信号及其基本特性微积分特性冲激函数与阶跃函数互为微积分关系2.2典型连续时间信号及其基本特性例：2.2典型连续时间信号及其基本特性2.2典型连续时间信号及其基本特性注意（1）在冲激信号的取样特性中，其积分区间不一定都是（-∞，+∞），但只要积分区间不包括冲激信号δ(t-t0)的t0时刻，则积分结果必为0.

2.2典型连续时间信号及其基本特性（6）符号信号符号函数也可以用阶跃函数来表示，即2.2典型连续时间信号及其基本特性（7）单位斜变信号单位斜变函数与阶跃函数ε(t)互为微积分关系，即：2.2典型连续时间信号及其基本特性（8）冲激偶信号2.2典型连续时间信号及其基本特性冲激偶的重要性质若x(t)在t=0点(或)连续，则

例2.2典型连续时间信号及其基本特性冲激偶的重要性质

冲激偶信号的另一个性质是，它所包含的面积等于零，这是因为正、负两个冲激的面积相互抵消。

冲激偶信号为奇函数，即2.2典型连续时间信号及其基本特性四种奇异信号的关系2.3连续时间信号的基本运算信号相加、乘信号的时移信号的翻转信号的尺度变换信号的微分、积分信号的分解和合成2.3连续时间信号的基本运算1、信号的相加2.3连续时间信号的基本运算2、信号的相乘2.3连续时间信号的基本运算3、信号的时移时移：将信号x(t)的自变量t用t-t0替代表示信号右移t0单位表示信号左移t0单位2.3连续时间信号的基本运算4、信号的翻转翻转：将信号x(t)的自变量t用-t替代2.3连续时间信号的基本运算5、信号的尺度变换尺度变换：将信号x(t)的自变量t用at替代若0<a<1,则x(at)是x(t)的扩展若a>1,则x(at)是x(t)的压缩2.3连续时间信号的基本运算例：已知x(t)的波形如图所示，试画出x(-2t+4)的波形2.3连续时间信号的基本运算6、信号的微、积分140130tttt101340-12.3连续时间信号的基本运算6、信号的微、积分2.3连续时间信号的基本运算结论：（1）信号经过微分运算后突出显示了它的变化部分，起到了锐化的作用；（2）信号经过积分运算后，使得信号突出变化部分变得平滑了，起到了模糊的作用；利用积分可以削弱信号中噪声的影响。2.3连续时间信号的基本运算连续信号的微分与积分例：已知三角波x(t)，画出其微分与积分的波形2.3连续时间信号的基本运算dt=0.001;t=-2:dt:2;y1=diff(triwave(t))/dt;subplot(311)plot(t,triwave(t))xlabel('t/s');title('x(t)');subplot(312)plot(t(1:length(t)-1),y1)xlabel('t/s');title('dx(t)/dt');forx=1:length(t)y2(x)=integral(@triwave,0,t(x));endsubplot(313)plot(t,y2)xlabel('t/s');title('integralofx(t)');2.3连续时间信号的基本运算8、连续时间信号的合成和分解一个信号的平均功率等于直流功率与交流功率之和。信号的平均值即为信号的直流分量，去掉直流分量即得交流分量（1）任意信号分解为直流分量与交流分量之和2.3连续时间信号的基本运算2.3连续时间信号的基本运算(2)奇偶分解

对任何实信号而言：信号的平均功率=偶分量功率+奇分量功率2.3连续时间信号的基本运算例：将信号分解为奇、偶分量的实例。2.3连续时间信号的基本运算矩形窄脉冲序列此窄脉冲可表示为(3)冲激信号2.3连续时间信号的基本运算出现在不同时刻的不同强度的冲激函数的和。2.4连续时间系统的数学模型连续时间系统用N阶常系数微分方程描述2.4连续时间系统的数学模型连续时间LTI系统的响应经典时域分析方法零输入响应和零状态响应卷积法微分方程的完全解应为微分方程的齐次解与特解之和

2.4.2经典时域分析方法齐次方程为（1）当特征方程存在n个不同的单根时（单根中包括实根也包含共轭复根），其解为

为待定常数，由系统初始条件确定（2）当特征方程存在r个重根λ，n-r个单根

2.4.2经典时域分析方法

2.4.2经典时域分析方法常用激励对应的特解形式2.4.2经典时域分析方法例2-6：已知某二阶线性时不变连续时间系统的动态方程初始条件y(0)=4,y’(0)=-6,输入信号，求系统的齐次解、特解、完全解解：1）求齐次方程的齐次解特征方程为特征根为齐次解为2.4.2经典时域分析方法2）求非齐次方程的的特解由输入的形式，设方程的特解为将特解带入原微分方程即可求得常数3）求方程的全解解得2.4.2经典时域分析方法齐次解的函数形式仅与系统本身的特性有关，而与激励x(t)的形式无关，称为系统的固有响应或自由响应；特解的函数形式由激励确定，称为强迫响应。自由响应强迫响应2.4.2经典时域分析方法讨论1）若初始条件不变，输入信号改变，系统的完全响应2）若输入信号不变，初始条件改变，系统的完全响应2.4.2经典时域分析方法经典法不足之处若微分方程右边激励项较复杂，则难以处理。若激励信号发生变化，则须全部重新求解若初始条件发生变化，则须全部重新求解这种方法是一种纯数学方法，无法突出系统响应的物理概念系统的响应可以分为零输入响应和零状态响应之和。零输入响应是当外加激励为零时，仅由系统初始条件产生的响应。它与激励无关，其数学模型是齐次微分方程。零状态响应是不考虑起始时刻系统储能的作用，由系统外加激励信号所产生的响应。2.4.3零输入响应和零状态响应2.4.3零输入响应和零状态响应1.零输入响应是当外加激励为零时，仅由系统初始条件产生的响应。它与激励无关，其数学模型是齐次微分方程。数学模型求解方法根据微分方程的特征根确定零输入响应的形式再由初始条件（0-时刻）确定待定系数2.4.3零输入响应和零状态响应

求的基本步骤

①求系统的特征根，写出的通解表达式。

③将确定出的积分常数C1，C2，…，Cn代入通解表达式，即得。

②由于激励为零，所以零输入的初始值：

确定积分常数C1，C2，…，Cn2.4.3零输入响应和零状态响应例2-7：已知某二阶线性时不变连续时间系统的动态方程系统的初始状态为，求系统的零输入响应解：特征方程为特征根为解得2.4.3零输入响应和零状态响应2.零状态响应是不考虑起始时刻系统储能的作用，由系统外加激励信号所产生的响应。求解方法1）直接求解初始状态为0的微分方程2）卷积法：

利用信号分解和线性时不变系统的特性求解2.4.3零输入响应和零状态响应（1）即求解对应非齐次微分方程的解（2）求解基本步骤①求系统的特征根，写出的通解表达式。②根据

的形式，确定特解形式，代入方程解得特解③求全解，若方程右边有冲激函数（及其各阶导数）时，根据冲激函数匹配法求得，确定积分常数C1，C2，…，Cn④将确定出的积分常数C1，C2，…，Cn代入全解表达式，即得。

2.4.3零输入响应和零状态响应冲激平衡法原因：如果微分方程右边包含δ（t）及其各阶导数，那么（0＋）时刻的值不一定等于（0－）时刻的值。方法：2.4.3零输入响应和零状态响应冲激平衡法由于t>0+后，方程右端为零，故当n>m时当n≤m时，为使方程两边平衡，h(t)应含有冲激及其高阶导数，即

2.4.3零输入响应和零状态响应例2-8：描述某系统的微分方程为已知y(0-)=2，y’(0-)=0，。求该系统的全响应，零输入响应和零状态响应。

解：

（2）零状态响应满足

2.4.3零状态响应对于方程1，根据冲激平衡法，n>m，所以将零状态响应方程分为2.4.3零状态响应

则2.4.3零状态响应对于方程2：其特解为B，带入方程2，则2B=6，即B=3方程2的解为

则总的零状态响应：全响应：暂态分量稳态分量2.4.3零状态响应求零状态响应方法还可以用以下方法：

2.4.3零输入响应和零状态响应自由响应＋强迫响应

(Natural+forced)零输入响应＋零状态响应

(Zero-input+Zero-state)暂态响应+稳态响应

(Transient+Steady-state)3．系统响应划分2.4.3零输入响应和零状态响应零输入响应是自由响应的一部分，零状态响应由自由响应的一部分和强迫响应构成。自由响应强迫响应零输入响应零状态响应2.4.3零输入响应和零状态响应

可求得

2.4.3零输入响应和零状态响应

2.4.3零输入响应和零状态响应

连续时间系统零状态响应的求解

y=lsim(sys,s,t)

t:表示计算系统响应的抽样点向量x:是系统输入信号向量sys:是LTI系统模型，借助tf函数获得

sys=tf(b,a)

b和a分别为微分方程右端和左端各项的系数向量a=[a3,a2,a1,a0];b=[b3,b2,b1,b0];sys=tf(b,a)2.4.3零输入响应和零状态响应

连续时间系统零输入响应的求解2.4.3零输入响应和零状态响应例2-10：描述某系统的微分方程为已知y(0-)=2，y’(0-)=0，。求该系统的全响应，零输入响应和零状态响应。

%零输入响应ts=0;te=5;dt=0.01;t=ts:dt:te;a=[1,3,2];b=[2,6];p=roots(a);%求出特征根V=rot90(vander(p));y0=[2,0];C=V\y0';fork=1:length(p)

y_ji(k,:)=exp(p(k)*t);endyzit=C.'*y_ji;figuresubplot(311);plot(t,yzit)xlabel('t/s');ylabel('yzi(t)');title('零输入响应')%%%%%ezplot(dsolve('D2y+3*Dy+2*y=0','y(0)=2,Dy(0)=0'),t)%零状态响应sys=tf(b,a);x=ones(1,length(t));yzst=lsim(sys,x,t);subplot(312);plot(t,yzst)xlabel('t/s');ylabel('yzs(t)')title('零状态响应')yt=yzit+yzst';subplot(313)plot(t,yt)xlabel('t/s');ylabel('y(t)')title(全响应')2.4.3零输入响应和零状态响应2.5单位冲激响应和单位阶跃响应连续时间系统单位冲激响应的定义冲激平衡法求系统的单位冲激响应连续时间系统的单位阶跃响应2.5.1连续时间系统单位冲激响应在系统初始状态为零的条件下，以单位冲激信号激励系统所产生的输出响应，称为系统的单位冲激响应，以符号h(t)表示N阶连续时间LTI系统的冲激响应h(t)满足2.5.1连续时间系统单位冲激响应

---冲激平衡法由于t>0+后，方程右端为零，故当n>m时当n≤m时，为使方程两边平衡，h(t)应含有冲激及其高阶导数，即将h(t)带入微分方程，使方程两边平衡，确定系数Ci，Aj2.5.1连续时间系统单位冲激响应例2-11：已知某线性时不变连续时间系统的动态方程试求系统的单位冲激响应解：当x(t)=δ(t)时，y(t)=h(t)，即动态方程式的特征根λ=-5，且n>m，故h(t)的形式为

解得C=22.5.1连续时间系统单位冲激响应例2-12：已知某线性时不变连续时间系统的动态方程试求系统的单位冲激响应解：当x(t)=δ(t)时，y(t)=h(t)，即动态方程式的特征根λ1=-2，λ2=-1且n=m，故h(t)的形式为

解得A=-2，B=42.5.1连续时间系统单位冲激响应冲激平衡法小结1)由系统的特征根来确定ε(t)前的指数形式2)由动态方程右边δ(t)的最高阶导数与方程左边h(t)的最高阶导数确定δ(j)(t)项求解方法1．求解微分方程2．利用冲激信号与阶跃信号的关系求解

系统在单位阶跃信号作用下的零状态响应，称为单位阶跃响应，简称阶跃响应，一般用g(t)表示。2.5.2连续时间系统单位阶跃响应2.5.2连续时间系统单位阶跃响应例2-13：求系统的单位阶跃响应g(t)解：系统的单位冲激响应为

利用单位冲激响应与单位阶跃响应的关系，可得2.5单位冲激响应和单位阶跃响应连续时间系统冲激响应和阶跃响应的求解

y=impulse(sys,t)连续时间系统冲激响应可用impulse函数直接求出，其调用形式为连续时间系统阶跃响应可用step函数直接求出，其调用形式为

y=step(sys,t)

t:表示计算系统响应的抽样点向量sys:是LTI系统模型2.5单位冲激响应和单位阶跃响应例2-14：求以下系统的冲激响应和阶跃响应a=[1,3,2];b=[2,6];subplot(211)impulse(b,a);subplot(212)step(b,a)2.6卷积积分及其性质卷积积分的定义及计算卷积积分的性质

交换律、分配律、结合律、位移特性展缩特性零状态响应的卷积法求解

2.6.1卷积积分的定义和计算卷积积分的定义卷积积分的计算步骤1）将x1(t)和x2(t)中的自变量由t改为τ，τ称为函数的自变量2）把其中一个信号翻转、平移3）将x1(τ)与x2(t-τ)相乘，对乘积后的图形积分2.6.1卷积积分的定义和计算例2-15：计算2.6.1卷积积分的定义和计算a)-∞<t≤0b)0<t≤12.6.1卷积积分的定义和计算c)1<t≤2d)2<t≤32.6.1卷积积分的定义和计算d)3<t2.6.2卷积积分的性质卷积代数性质交换律分配律结合律2.6.2卷积积分的性质1)微分：2)积分卷积微分和积分性质2.6.2卷积积分的性质3)微积分性则若：特别地：注：应用微积分性质的条件是必须成立即必须有否则不能应用。可推导：2.6.2卷积积分的性质由卷积的第二种形式，同理可证证：交换运算次序微分性质的证明2.6.2卷积积分的性质与奇异信号的卷积1）2）微分性质可推导2.6.2卷积积分的性质3）积分性质

任意函数与卷积，相当信号通过一个积分器，如图所示4）微积分性质2.6.2卷积积分的性质解例2-16:、如图所示，用微、积分性质求10210E如图所示。和阶跃响应激励导数2.6.2卷积积分的性质21/2100(E)(-E)2.6.2卷积积分的性质2.6.2卷积积分的性质卷积的时移

已知

则展缩2.6.2卷积积分