天津市河西区2025届高三数学上学期期中试题含解析

PAGE15-天津市河西区2025届高三数学上学期期中试题（含解析）第I卷（选择题）一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设为虚数单位，复数，则的共轭复数为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由题意首先由复数的运算法则求得z的值，然后求解其共轭复数的值即可.【详解】，则，故选：B.【点睛】本题主要考查复数的运算法则，共轭复数的概念与计算等学问，意在考查学生的转化实力和计算求解实力.2.设全集，集合，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】求出全集后可得.【详解】，所以，选C.【点睛】本题考查集合的补运算，是基础题，解题时留意集合中元素的属性.3.函数的最小周期为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由题意利用正切函数的最小正周期公式即可求得函数的最小正周期.【详解】由最小正周期公式可得函数最小正周期为：.故选：C.【点睛】本题主要考查正切函数的最小正周期公式，属于基础题.4.已知=(2,3)，=(3，t)，=1，则=A.-3 B.-2C2 D.3【答案】C【解析】【分析】依据向量三角形法则求出t，再求出向量的数量积.【详解】由，，得，则，．故选C．【点睛】本题考点为平面对量的数量积，侧重基础学问和基本技能，难度不大．5.对于函数,“的图象关于轴对称”是“=是奇函数”的（）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要【答案】B【解析】【详解】由奇函数，偶函数的定义,简单得选项B正确.6.已知各项均为正数的等比数列的前4项和为15，且，则（）A.16 B.8 C.4 D.【答案】C【解析】【分析】利用方程思想列出关于的方程组，求出，再利用通项公式即可求得的值．【详解】设正数的等比数列{an}的公比为，则，解得，，故选C．【点睛】本题利用方程思想求解数列的基本量，娴熟应用公式是解题的关键。7.已知函数在区间内单调递增，且，若，，，则的大小关系为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依据题意，由f（﹣x）＝f（x）可得f（x）为偶函数，结合函数的单调性可得f（x）在（0，+∞）上递减，进而又由2﹣1.2＜2﹣1＜1＜log23，分析可得答案．【详解】解：依据题意，函数y＝f（x）满意f（﹣x）＝f（x），则函数f（x）为偶函数，又由函数y＝f（x）在区间（﹣∞，0）内单调递增，则f（x）在（0，+∞）上递减，a＝f（3）＝f（log23），b＝f（2﹣1.2），c＝f（）＝f（2﹣1），又由2﹣1.2＜2﹣1＜1＜log23，则b＞c＞a，故选：B．【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，留意分析函数的奇偶性，属于基础题．8.若实数满意，则的最小值为（）A. B.2 C. D.4【答案】C【解析】，（当且仅当时取等号），所以的最小值为，故选C.考点：基本不等式【名师点睛】基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”放缩功能，因此可以用在一些不等式的证明中，还可以用于求代数式的最值或取值范围．假如条件等式中，同时含有两个变量的和与积的形式，就可以干脆利用基本不等式对两个正数的和与积进行转化，然后通过解不等式进行求解．【此处有视频，请去附件查看】9.已知函数，若集合含有4个元素，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】化简f（x）的解析式，作出f（x）的函数图象，利用三角函数的性质求出直线y=﹣1与y=f（x）在（0，+∞）上的交点坐标，则π介于第4和第5个交点横坐标之间．【详解】f（x）=2sin（ωx﹣），作出f（x）的函数图象如图所示：令2sin（ωx﹣）=﹣1得ωx﹣=﹣+2kπ，或ωx﹣=+2kπ，∴x=+，或x=+，k∈Z，设直线y=﹣1与y=f（x）在（0，+∞）上从左到右的第4个交点为A，第5个交点为B，则xA=，xB=，∵方程f（x）=﹣1在（0，π）上有且只有四个实数根，∴xA＜π≤xB，即＜π≤，解得．故选：B．【点睛】本题考查了三角函数的恒等变换，三角函数的图象与性质，属于中档题．第II卷（非选择题）二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，多空题对一空得3分，共30分）10.命题“”的否定是_______.【答案】【解析】【分析】利用特称命题的否定方法对所给的命题进行否定即可.【详解】分别否定量词和结论可得命题“”的否定是：.故答案为：．【点睛】本题主要考查特称命题的否定，属于基础题.11.在中，若则三个内角中最大角的余弦值为______.【答案】【解析】【分析】由题意首先利用比例关系设出边长，然后利用余弦定理求解最大角的余弦值即可.【详解】由题意不妨设：，利用大边对大角可知∠A为△ABC中最大的角，由余弦定理可得：.故答案为：．【点睛】本题主要考查余弦定理及其应用，大边对大角结论的应用等学问，意在考查学生的转化实力和计算求解实力.12.设函数若，则__________．【答案】3【解析】由函数解析式，可得即，则即答案为3.13.在梯形中，，，，，，若，则的值为_______．【答案】7【解析】【分析】用表示出各向量，依据3，计算，再计算的值．【详解】∵AB∥CD，AB＝4，CD＝2，∴，∵，∴，∴，∴（）•（）3，即93，∴4．又，∴•（）9﹣2＝7．故答案为：7．【点睛】本题考查了平面对量的基本定理的应用，考查了数量积的运算性质的应用，属于中档题．14.已知实数，，且，则的最小值为___________.【答案】【解析】【分析】依据题干得到，则，再依据均值不等式得到最值即可.【详解】依据题意得到，变形为，则因为，故得到当且仅当时等号成立.故故答案为：.【点睛】本题考查了在利用基本不等式求最值时，要特殊留意“拆、拼、凑”等技巧，使其满意基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必需为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.15.已知函数，若函数有6个零点，则实数的取值范围是_________.【答案】【解析】【分析】由题意首先探讨函数的性质，然后结合函数的性质数形结合得到关于a的不等式，求解不等式即可确定实数a的取值范围.【详解】当时，函数在区间上单调递增，很明显，且存在唯一的实数满意，当时，由对勾函数的性质可知函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，结合复合函数的单调性可知函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，且当时，，考查函数在区间上的性质，由二次函数的性质可知函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，函数有6个零点，即方程有6个根，也就是有6个根，即与有6个不同交点，留意到函数关于直线对称，则函数关于直线对称，绘制函数的图像如图所示，视察可得：，即.综上可得，实数的取值范围是.故答案为：．【点睛】本题主要考查分段函数的应用，复合函数的单调性，数形结合的数学思想，等价转化的数学思想等学问，意在考查学生的转化实力和计算求解实力.三、解答题（本大题共5小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16.在中，内角所对的边分别为.已知，.（I）求的值；（II）求的值.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】试题分析：利用正弦定理“角转边”得出边的关系，再依据余弦定理求出，进而得到，由转化为，求出，进而求出，从而求出的三角函数值，利用两角差的正弦公式求出结果.试题解析：（Ⅰ）解：由，及，得.由，及余弦定理，得.（Ⅱ）解：由（Ⅰ），可得，代入，得.由（Ⅰ）知，A为钝角，所以.于是，，故.考点：正弦定理、余弦定理、解三角形【名师点睛】利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值.利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，常常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题.17.已知函数最小正周期为.（1）求的值及函数的对称轴方程；（2）将函数的图象向左平移个单位，得到的图象对应的函数解析式为，求的单调递增区间.【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】(1)首先将函数的解析式整理为的形式，然后利用最小正周期公式求得的值，最终由函数的解析式求解其对称轴方程即可；(2)结合(1)中的解析式首先求得函数的解析式，然后求解其单调递增区间即可.【详解】（1），∵函数的最小正周期为，∴，，对称轴方程，（2），单调递增区间：解得：，所以的单调递增区间为.【点睛】本题主要考查三角函数对称轴的求解三角函数式的化简，三角函数单调区间的求解等学问，意在考查学生的转化实力和计算求解实力.18.已知函数=.（1）若不等式的解集为，求不等式的解集；（2）若对于随意的，不等式恒成立，求实数的取值范围；（3）已知，若方程在有解，求实数的取值范围.【答案】（1）或；（2）；（3）.【解析】【分析】(1)由题意首先求得a的值，然后求解二次不等式即可得到不等式的解集；(2)首先将原问题转化为二次函数求最值的问题，然后结合二次函数的性质得到关于a的不等式组，求解不等式组即可求得实数a的取值范围；(3)首先整理所给的方程，分别参数得到关于的二次函数，结合二次函数的值域即可确定实数a的取值范围.【详解】（1）由的解集是，可得有2个不等的实根1和2，由韦达定理，可得此时等价于，即，解得或所以不等式的解集是或；（2）对于随意的，不等式恒成立，也即对随意的恒成立，因为二次函数开口向上，最大值在或处取得，所以只需满意，解得：，据此可得；综上可得，实数a的取值范围是：.（3）若方程在有解，可得到在有实数根.参数分别得，则，结合二次函数性质可得，所以，也即.综上可得，实数a的取值范围是：.【点睛】二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常结合在一起，有关二次函数的问题，数形结合，亲密联系图象是探求解题思路的有效方法．一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析．19.在公差不为零的等差数列中，，且成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）设数列的前项和，求；（3）求的值.【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】(1)由题意首先求得数列的公差，然后利用等差数列的首项即可确定数列的通项公式；(2)由题意首先确定数列的通项公式，然后利用等比数列前n项和公式即可求得；(3)由题意结合(1)中的通项公式裂项求和即可求得的值.【详解】（1）由成等比数列，可得，解得或(舍).（2），利用等比数列前n项和公式可得：；（3）,所以.即.【点睛】本题主要考查数列通项公式的求解，等比数列前n项和公式，裂项求和的方法等学问，意在考查学生的转化实力和计算求解实力.20.已知函数.（1）若曲线存在斜率为-1的切线，求实数a的取值范围；（2）求的单调区间；（3）设函数，求证：当时，在上存在微小值.【答案】(1).(2)答案见解析；(3)证明见解析.【解析】【详解】试题分析：（1）求出函数的导数，问题转化为存在大于的实数根，依据在时递增，求出的范围即可；（2）求出函数的导数，通过探讨的范围，推断导数的符号，求出函数的单调区间即可；（3）求出函数，依据，得到存在，满意，从而让得到函数单调区间，求出函数的微小值，证处结论即可.试题解析：（1）由得.由已知曲线存在斜率为-1的切线，所以存在大于零的实数根，即存在大于零的实数根，因为在时单调递增，所以实数a的取值范围.（2）由可得当时，，所以函数的增区间为；当时，若，，若，，所以此时函数的增区间为，减区间为.（3）由及题设得，由可得，由（2）可知函数在上递增，所以，取，明显，，所以存在满意，即存在满意，所以，在区间（1，+∞）上的状况如下：－0+↘微小