2024-2025学年高一数学必修第一册（配湘教版）教学课件 4.3.2 对数的运算法则

第4章幂函数、指数函数和对数函数4.3.2对数的运算法则课标要求1.理解对数运算法则,并能运用运算法则化简、求值.2.知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数.3.能运用运算法则和换底公式进行一些简单的化简和证明.基础落实·必备知识一遍过重难探究·能力素养速提升学以致用·随堂检测促达标目录索引基础落实·必备知识一遍过知识点一对数的运算法则条件a>0且a≠1,M>0,N>0法则(1)loga(M·N)=logaM+logaN(2)logaMN=NlogaM(N∈R)(3)loga=logaM-logaN名师点睛1.逆向应用对数的运算法则,可以将几个对数式化为一个对数式,有利于化简.2.对于每一条运算法则,都要注意只有当式子中所有的对数都有意义时,等式才成立.如log2[(-2)×(-3)]是存在的,但log2(-2)与log2(-3)均不存在,不能写成log2[(-2)×(-3)]=log2(-2)+log2(-3).3.法则(1)可以推广到真数为无限多个正因数相乘的情况,即loga(N1·N2·…·Nk)=logaN1+logaN2+…+logaNk.其中Nk>0,k∈N+.过关自诊用lgx,lgy,lgz表示下列各式:(1)lg(xyz);(2)lg(x2yz3);解

lg(xyz)=lg

x+lg

y+lg

z.解

lg(x2yz3)=lg

x2+lg

y+lg

z3=2lg

x+lg

y+3lg

z.知识点二两种特殊的对数名称定义常用对数将以

为底的对数叫作常用对数,并且把log10N记为

自然对数将以e(e=2.71828…)为底的对数叫作自然对数,并且把logeN记作

10lgNlnN过关自诊计算下列各式的值:(1)lg100=

;

(3)lg2+lg5=

;

(4)elnπ=

.

2-41π知识点三对数换底公式名师点睛1.换底公式成立的条件是公式中的每一个对数式都有意义.2.换底公式的意义就在于把对数式的底数改变,把不同底问题转化为同底问题进行化简、计算和证明.换底公式在实际应用中究竟换成以什么为底,要由具体已知的条件来确定,一般换成以10为底的常用对数.过关自诊计算:(1)log2781;(2)log1625·log58;(3)logab·logba(a>0,b>0,且a≠1,b≠1).重难探究·能力素养速提升探究点一对数运算法则的应用【例1】

计算下列各式的值:解

原式=2lg

5+2lg

2+lg

5×(1+lg

2)+(lg

2)2=2(lg

5+lg

2)+lg

5+lg

2(lg

5+lg

2)=2+lg

5+lg

2=2+1=3.规律方法

对于底数相同的对数式的化简、求值常用的方法(1)“收”,将同底的两个对数的和(差)收成积(商)的对数;(2)“拆”,将积(商)的对数拆成对数的和(差).对数式的化简、求值一般是正用或逆用公式,要养成正用、逆用、变形应用公式的习惯.lg

2+lg

5=1在计算对数值时会经常用到,同时注意各部分变形要化到最简形式.变式训练1计算下列各式的值:探究点二换底公式的应用【例2】

计算下列各式的值:(1)log89×log2732;规律方法

1.换底公式的本质是化异底为同底,主要用途是将一般对数化为常用对数或自然对数,解决一般对数的求值问题.2.利用换底公式计算、化简、求值的一般思路:变式训练2计算:(1)log23×log36×log68;(2)(log23+log43)×(log32+log274).探究点三有附加条件的对数求值问题解

∵6x=5y=a(a>0),∴xlg

6=lg

a,ylg

5=lg

a.解

设ax=by=cz=k(k>0).∵a,b,c是不等于1的正数,∴lg

ax=lg

k,lg

by=lg

k,lg

cz=lg

k.∴x=logak,y=logbk,z=logck.变式探究

证明

设3x=4y=6z=m(m>0),则x=log3m,y=log4m,z=log6m.规律方法

条件求值问题的求解方法带有附加条件的代数式求值问题,需要对已知条件和所求式子进行化简转化,原则上是化为同底的对数,以便利用对数的运算法则.要整体把握对数式的结构特征,灵活运用指数式与对数式的互化进行解题.探究点四换底公式在实际中的应用【例4】

分贝是计量声音强度相对大小的单位.物理学家引入了声压级来描述声音的大小:把一很小的声压P0=2×10-5帕作为参考声压,把所要测量的声压P与参考声压P0的比值取常用对数后乘20得到的数值称为声压级.声压级是听力学中最重要的参数之一,单位是分贝(dB).分贝值在60以下为无害区,说明声音环境优良,60~110为过渡区,110以上为有害区.(1)试列出分贝y与声压P的函数关系式.(2)某地声压P=0.002帕,则该地为以上所说的什么区?声音环境是否优良?(3)假若某精彩的文艺节目引起了观众多次响亮的掌声,某记者用仪器测得其中一次掌声的音量达到了90分贝,试求此时会场内的声压是多少.由已知条件知40分贝小于60分贝,所以此地为噪音无害区,声音环境优良.所以P=104.5P0=104.5×2×10-5=2×10-0.5≈0.63(帕),即此时会场内的声压约是0.63帕.规律方法

解决对数应用题的一般步骤变式训练3一台机器原价20万元,由于磨损,该机器每年比上一年的价值降低8.75%,问经过多少年这台机器的价值为8万元?(lg2≈0.3010,lg9.125≈0.9602)解

设经过x年,这台机器的价值为8万元,则8=20(1-0.087

5)x,即0.912

5x=0.4,所以约经过10年这台机器的价值为8万元.学以致用·随堂检测促达标1234561.下列等式成立的是(

)A.log2(8-4)=log28-log24C.log2(8+4)=log28+log24D.log223=3log22D123456解析

∵log2(8-4)=log24=2,log28-log24=3-2=1,∴log2(8-4)≠log28-log24,故A错误;∵log2(8+4)=log212,log28+log24=log232,∴log2(8+4)≠log28+log24,故C错误;由对数的运算法则得log223=3log22,故D正确.故选D.1234562.已知m=lg2,n=lg3,用m,n表示lg15=(

)A.1+m+n B.1-m+nC.1+m-n D.1-m-nB解析

lg

15=lg(3×5)=lg

3+lg

5=lg

3+(1-lg

2)=n+(1-m)=1-m+n,故选B.

1234563.log52×log425等于(

)C1234564.已知3a=2,用a表示log34-log36=

.

a-1解析

∵3a=2,∴a=log32,∴log34-log36=log322-log3(2×3)=2log32-log32-log33=a-1.1234565.已知方程x2+xlog26+log23=0的两根为α和β,则α+β=