第4讲长方体与三角形（讲义）原卷版

第4讲长方体与三角形模块一：长方体的再认识一．长方体的元素及特征1、元素：长方体有六个面，八个顶点，十二条棱．2、特征：（1）长方体的每个面都是长方形．（2）长方体的十二条棱可以分为三组，每组中的四条棱的长度相等．（3）长方体的六个面可以分为三组，每组中的两个面的形状和大小相同．二.长方体的直观图画法：斜二侧画法水平放置的长方体直观图通常画法的基本步骤：第一步：画平行四边形ABCD，使AB等于长方体的长，AD等于长方体宽的二分之一，．（如图1所示）第二步：过AB分别画AB的垂线AE、BF，过C、D分别画CD的垂线CG、DH，使它们的长度都等于长方体的高．（如图2所示）第三步：顺次联结E、F、G、H．（如图3所示）第四步：将被遮住的线段改用虚线（隐藏线）表示．（如图4所示）图4表示的长方体通常表示为ABCDEFGH．它的六个面通常表示为：平面ABCD、平面ABFE、平面BCGF等．它的十二条棱通常分别表示为：棱AB、棱AE、棱EF等．三.长方体中棱与棱的位置关系如图4所示的长方体ABCDEFGH中：棱EH与棱EF所在的直线在同一平面内，它们有唯一的公共点，我们称这两条棱相交．棱EF与棱AB所在的直线在同一平面内，但它们没有公共点，我们称这两条棱平行．棱EH与棱AB所在的直线既不平行，也不相交，我们称这两条棱异面．四.长方体中棱与平面的位置关系如图5，直线PQ垂直于平面ABCD，记作：直线PQ平面ABCD，读作：直线PQ垂直于平面ABCD．如图6，直线PQ平行于平面ABCD，记作：直线PQ//平面ABCD，读作：直线PQ平行于平面ABCD．如图4所示的长方体ABCDEFGH中：棱EF与面BCGF，棱FG与面ABFE，棱BF与面ABCD都给我们以直线与平面垂直的形象．棱EF与面ABCD，棱BF与面ADHE，都给我们以直线与平面平行的形象．五.长方体中平面与平面的位置关系如图7，平面垂直于平面，记作平面平面，读作平面垂直于平面．如图8，平面平行于平面，记作平面//平面，读作平面平行于平面．如图4所示的长方体ABCDEFGH中：面EFGH，面ABFE与面BCGF三个面中，任意两个都给我们以平面与平面垂直的形象．面ABCD与面EFGH，面BCGF与面ADHE，面ABFE与面DCGH，都给我们以平面与平面平行的形象．例1.如图，已知长方体ABCDEFGH．（1）哪些棱与AB平行？（2）哪些棱与AB垂直？（3）哪些棱与AB异面？AABCDEFGH例2。如图，已知长方体ABCDEFGH，与平面ADHE平行的平面是____________，与平面ADHE垂直的平面是____________．AABCDEFGH例3.下列关于长方体的说法中正确的是()A．长方体中互相平行的棱不一定相等B．长方体中12条棱的位置关系只有平行和相交C．长方体中相对的两个面一定平行D．长方体中6个面的面积都相等例4.关于长方体有下列三个结论：eq\o\ac(○,1)长方体中每个面都是长方形；eq\o\ac(○,2)长方体中每两个面都互相垂直；eq\o\ac(○,3)长方体中相对的两个面是全等的长方形．其中结论错误的个数是()A．0个 B．1个 C．2个 D．3个例5.如图，已知长方体ABCDEFGH．这个长方体中与棱HE平行的平面是____________，与棱HE垂直的平面是____________．AABCDEFGH例6.已知一个长方体的长、宽、高的比是3:2:1，它的所有棱长的和是72cm，那么这个长方体的体积是______模块二：相交线与平行线一.邻补角1、邻补角的概念：两个角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角叫做互为邻补角．如图，与有一条公共边OD，它们的另一条边OA、OB互为反向延长线，则与互为邻补角．2、若与互为邻补角，则．3、互为邻补角的两个角一定互补，但互补的两个角不一定互为邻补角．对顶角1、对顶角的概念：两个角有公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，具有这种关系的两个角叫做互为对顶角．如图，与有一个公共顶点O，并且的两边OB、OC分别与的两边OA、OD互为反向延长线，则与互为对顶角．2、对顶角相等．二.垂线1、垂线的概念：如果两条直线的夹角为直角，那么就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．2、垂直的符号：记作：“⊥”，读作：“垂直于”，如：，读作“AB垂直于CD”．注：垂直是特殊的相交．3、在平面内，过直线上或直的一点作已知直线的垂线可以作一条，并且只能作一条．简单地说：过一点，有且仅有一条直线与已知直线垂直．4、联结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．5、点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这个点到直线的距离．如果一个点在直线l上，那么就说这个点到直线l的距离为零．三.同位角、内错角、同旁内角若直线a，b被直线l所截：（1）同位角：两个角都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线同侧的位置的角叫做同位角．如：和．（2）内错角：两个角分别在截线的两侧，且在两条直线之间，具有这样位置关系的一对角叫做内错角．如：和．（3）同旁内角：两个角都在截线的同一侧，且在两条被截线之间，具有这样位置关系的一对角互为同旁内角．如和．注意：三线八角是位置关系，数量上没有确定的关系．四.平行线1、平行线的定义：同一平面内不想交的两条直线叫做平行线．“平行”用符号“//”表示．2、经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行．3、平行线的判定：（1）两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．简单地说，同位角相等，两直线平行．（2）两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简单地说，内错角相等，两直线平行．（3）两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．简单地说，同旁内角互补，两直线平行．4、平行线的性质：（1）两条平行线被第三条直线所截，同位角相等；简单地说：两直线平行，同位角相等．（2）两条平行线被第三条直线所截，内错角相等；简单地说：两直线平行，内错角相等．（3）两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补；简单地说：两直线平行，同旁内角互补相等．（4）如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．（5）两条平行线中，任意一条直线上的所有点到另一条直线的距离都是一个定值，这个定值叫做这两条平行线间的距离．夯实基础一、单选题1．（2019·上海普陀区·中考模拟）如图，直线//，如果，，那么（）A．； B．；C．； D．．2．（2020·上海九年级专题练习）把一副三角尺放在同一水平桌面上，如果它们的两个直角顶点重合，两条斜边平行（如图所示），那么的度数是（）A．75°； B．90°； C．100°； D．105°．3．（2019·上海浦东新区·九年级期中）如果点D、E分别在△ABC的两边AB、AC上，下列条件中可以推出DE∥BC的是()A．， B．，C．, D．，二、填空题4．（2020·上海九年级二模）如图，直线AB分别交直线a和直线b于点A，B，且，点C在直线b上，且它到直线a和到直线AB的距离相等，若，则________．5．（2019·上海徐汇区·中考模拟）如图，AB∥CD，若∠E＝34°，∠D＝20°，则∠B的度数为_____．6．（2020·上海市静安区实验中学九年级专题练习）如图，已知a∥b，∠1=50°，那么∠2=______度．三、解答题7．（2020·上海市静安区实验中学九年级专题练习）已知，如图：∠1=∠2，AD=2BC，△ABC的面积为3，求△CAD的面积．8．（2020·上海市静安区实验中学九年级专题练习）如图，已知AB⊥BC，DC⊥BC，BE∥CF，求证：∠1=∠2．9．（2021·上海九年级专题练习）如图，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D、C分别落在、的位置上，的延长线与BC的交点为G，若∠EFG＝55°，你能分别求出∠1和∠2的度数吗？请你试一试．10．（2020·上海嘉定区·九年级一模）已知：如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB、AC上，DE∥BC，∠ABE=∠C，（1）求证：（2）当BE平分∠ABC时，求证：能力提升一、单选题1．（2019·上海九年级课时练习）如图，梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=90°，E在AD上，且CE平分∠BCD，BE平分∠ABC，则下列关系式中成立的有()①；②；③；④CE2=CD×BC；⑤BE2=AE×BCA．2个 B．3个 C．4个 D．5个2．（2020·上海市静安区实验中学九年级专题练习）如图，已知直线AB∥CD，∠C=115°，∠A=25°，则∠E=A．70° B．80°C．90° D．100°3．（2020·上海金山区·九年级二模）如图，∠MON=30°，p是∠MON的角平分线，PQ平行ON交OM于点Q，以P为圆心半径为4的圆ON相切，如果以Q为圆心半径为r的圆与相交，那么r的取值范围是（）A．4<r<12 B．2<r<12 C．4<r<8 D．r>4二、填空题4．（2020·上海市静安区实验中学九年级课时练习）如图，在△ABC中，DE∥BC，则=______．5．（2020·上海崇明区·九年级二模）如图，在中，，直线，点在直线上，直线交于点，交于点，如果，那么的度数是_____．6．（2020·上海市静安区实验中学九年级专题练习）如图，已知，，，则__________．三、解答题7．（2020·上海市静安区实验中学九年级专题练习）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D是BC延长线上一点，E是AB上的一点，且在BD的垂直平分线EG上，DE交AC于点F，求证：点E在AF的垂直平分线上．8．（2020·上海市静安区实验中学九年级专题练习）如图，已知∠1＝∠2，∠C＝∠F，请问∠A与∠D存在怎样的关系？验证你的结论．9．（2019·上海市杨浦区黄兴学校九年级月考）如图，已知在△ABC中，AB＝AC＝6，BC＝5，D是AB上一点，BD＝2，E是BC上一动点，联结DE，并作∠DEF＝∠B，射线EF交线段AC于F．（1）求证：△DBE∽△ECF；（2）当F是线段AC中点时，求线段BE的长；（3）联结DF，如果△DEF与△DBE相似，求FC的长．模块三：三角形一.三角形的边与角1、三角形的三边关系：三角形任意两边的和大于第三边，任意两边之差小于第三边．2、三角形的高、中线、角平分线：①在三角形中，从一个顶点向它的对边所在的直线画垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高；②联结三角形一个顶点及其对边中点的线段叫做三角形的中线；③三角形一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线．3、三角形的内角和：三角形的内角和等于180°．※一个三角形的三个内角中最多有一个钝角或直角．4、三角形的外角：（1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；（2）三角形的外角和定义：对于三角形的每个内角，从与它相邻的两个外角中取一个，这样取得的三个外角相加所得的和，叫做三角形的外角和；三角形的外角和等于360°．5、三角形的分类三角形（按角分）；三角形（按边分）．二.全等三角形1、全等形的概念：能够重合的两个图形叫做全等形．2、全等三角形的性质和判定方法：一般三角形直角三角形判定边角边（S．A．S．）角边角（A．S．A．）角角边（A．A．S．）边边边（S．S．S．）具备一般三角形的判定方法斜边和一条直角边对应相等（H．L．）性质对应边相等，对应角相等对应中线相等，对应高相等，对应角平分线相等注：①判定两个三角形全等必须有一组边对应相等；②全等三角形面积相等．3、证明题的思路：三.等腰三角形1、等腰三角形的两个底角相等，简称：等边对等角．2、等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边的高互相重合，简称：等腰三角形三线合一．3、等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是顶角的角平分线所在的直线．4、等腰三角形的判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等，这个三角形是等腰三角形．简称：等角对等边．四.直角三角形1、直角三角形全等的判定：斜边与一直角边对应相等的两个直角三角形全等（H．L．）．2、直角三角形的性质：（1）两个定理定理1：直角三角形的两个锐角互余；定理2：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．（2）两个推论推论1：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；推论2：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°．3、勾股定理（1）如果直角三角形两直角边分别为a、b，斜边为c，那么一定有，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．（2）勾股定理逆定理：如果三角形的三边满足，那么三角形是直角三角形．夯实基础一、单选题1．（2020·上海大学附属学校九年级三模）如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，∠A=15°，半径为2，则弦CD的长为（）A．2 B．﹣1 C． D．42．（2020·上海市静安区实验中学九年级专题练习）如果一个三角形的两边长分别为4cm和7cm，那么第三边的长可能是（）A．1cm B．4cm C．2cm D．3cm3．（2020·上海九年级一模）三角形的外心是（）A．三角形三条边上中线的交点 B．三角形三条边上高线的交点C．三角形三条边垂直平分线的交点 D．三角形三条内角平分线的交点4．（2019·上海市民办新北郊初级中学九年级期中）已知中，，则等于（）A． B． C． D．5．（2020·上海市西南模范中学九年级月考）如图，在中，，若，则等于（）A． B． C． D．6．（2020·上海市静安区实验中学九年级课时练习）如图，梯形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AD∥BC，AD=1cm，BC=3cm，则下列说法中，不正确的是（）A． B．C． D．7．（2020·上海普陀区·九年级二模）如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，如果OB＝4，∠AOB＝60°，那么矩形ABCD的面积等于（）A．8 B．16 C．8 D．168．（2020·上海市静安区实验中学九年级专题练习）如图，在等腰三角形ABC中，AD是BC边上的高，点E、F是AD上的两点，若△ABC的面积为12cm2，那么图中阴影部分的面积是（）A．4 B．5 C．6 D．二、填空题9．（2020·上海市静安区实验中学九年级专题练习）长方形ABCD被等分为12个边长相等的小正方形，三角形EFC的面积占长方形ABCD的面积________(填“几分之几”)．10．（2019·上海市嘉定区唐行九年制学校九年级二模）若a、b、c是的三边，且，，，则最大边上的高是______cm．11．（2019·上海青浦区·九年级一模）如果α是锐角，且tanα＝cot20°，那么α＝度．12．（2020·上海市第二工业大学附属龚路中学九年级期中）已知在Rt△ABC中，，tanA=，BC=6，则AB的长为__________．13．（2020·上海九年级二模）中，点D在边AB上，点E在边AC上，联结DE，DE是的一条中位线，点G是的重心，设，，则________（用含，的式子表示）14．（2021·上海九年级专题练习）如图，在矩形纸片ABCD中，AB=6，BC=10，点E在CD上，将△BCE沿BE折叠，点C恰落在边AD上的点F处；点G在AF上，将△ABG沿BG折叠，点A恰落在线段BF上的点H处，有下列结论：①∠EBG=45°；②△DEF∽△ABG；③S△ABG=1.5S△FGH；④AG+DF=FG；其中正确的是______________．（填写正确结论的序号）15．（2021·上海市徐汇区教育学院九年级一模）如图，已知在中，，点G是的重心，，，那么______．16．（2021·上海崇明区·九年级一模）我们约定：如果一个四边形存在一条对角线，使得这条对角线是四边形某两边的比例中项，那么就称这个四边形为“闪亮四边形”，这条对角线为“闪亮对角线”．相关两边为“闪亮边”．例如：图1中的四边形中，，则，所以四边形是闪亮四边形，是闪亮对角线，、是对应的闪亮边．如图2，已知闪亮四边形中，是闪亮对角线，、是对应的闪亮边，且，，，，那么线段的长为________．17．（2021·上海闵行区·九年级一模）如图，在中，，，，将绕着点A顺时针旋转后，点B恰好落在射线CA上的点D处，点C落在点E处，射线DE与边AB相交于点F，那么BF＝_________．18．（2021·上海闵行区·九年级一模）如图，在中，，，，点P在边AC上，的半径为1，如果与边BC和边AB都没有公共点，那么线段PC长的取值范围是___________．19．（2021·上海松江区·九年级期末）如图，在边长为1个单位的方格纸中，的顶点在小正方形顶点位置，那么的正弦值为_____．20．（2021·上海奉贤区·九年级一模）如果点是的重心，，那么边上的中线长为_______________________．21．（2021·上海嘉定区·九年级期末）如图，飞机P在目标A的正上方，飞行员测得目标B的俯角为30°，那么的度数为______°．三、解答题22．（2020·上海市静安区实验中学九年级专题练习）如图，四边形ABCD中，AB=20，BC=15，CD=7，AD=24，∠B=90°，求证：∠A+∠C=180°.23．（2020·上海长宁区·九年级一模）如图，已知是的弦，点在上，且，联结、，并延长交弦于点，，．（1）求的大小；（2）若点在上，，求的长．24．（2020·上海九年级专题练习）已知：如图，在Rt△ABC和Rt△ACD中，AC=BC，∠ACB=90°，∠ADC=90°，CD=2，(点A、B分别在直线CD的左右两侧)，射线CD交边AB于点E，点G是Rt△ABC的重心，射线CG交边AB于点F，AD=x，CE=y.(1)求证：∠DAB=∠DCF.(2)当点E在边CD上时，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围.(3)如果△CDG是以CG为腰的等腰三角形，试求AD的长.能力提升一、单选题1．（2021·上海松江区·九年级期末）如图，已知在中，，点是的重心，，垂足为，如果，则线段的长为（）A． B． C． D．2．（2020·上海市第二工业大学附属龚路中学九年级期中）已知两个三角形相似，其中一个三角形的两个内角分别为，则另一个三角形的最小内角为（）A． B． C． D．不能确定3．（2020·上海市静安区实验中学九年级课时练习）在中，若tanA=1，cosB=，则下列判断最确切的是（）A．是等腰三角形 B．是等腰直角三角形C．是直角三角形 D．是一般锐角三角形4．（2020·上海青浦区·九年级二模）如图，点G是△ABC的重心，联结AG并延长交BC边于点D．设，，那么向量用向量、表示为（）A． B． C． D．5．（2020·上海九年级专题练习）如图，在正方形ABCD中，是等边三角形，AP、BP的延长线分别交边CD于点E、F，联结AC、CP、AC与BF相交于点H，下列结论中错误的是（）A．AE=2DE B． C． D．6．（2019·上海九年级课时练习）如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠ADC＝90°，AB＝AD＝，CD＝，点P在四边形ABCD的边上．若点P到BD的距离为，则点P的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题7．（2020·上海宝山区·九年级月考）如图，△ABC的两条中线AD、BE相交于点G，如果S△ABG＝2，那么S△ABC＝_____．8．（2021·上海九年级专题练习）在直角坐标系中，点(2，－2)与点（－2，1)之间的距离__________．9．（2021·上海市徐汇区教育学院九年级一模）新定义：有一组对角互余的凸四边形称为对余四边形.如图，已知在对余四边形中，，，，，那么边的长为______．10．（2021·上海虹口区·九年级一模）如图，在，，，，是的中点，点在边上，将沿直线翻折，使得点落在同一平面内的点处，线段交边于点，联结，当是直角三角形时，的长为_______．11．（2020·上海九年级二模）在矩形ABCD中，P在边BC上，联结AP，DP，将△ABP，△DCP分